人教版数学九年级全册知识点训练营——根式方程

试卷更新日期：2024-10-12 类型：复习试卷

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一、选择题

1. 在下列方程中，有实数根的是（）

A、 $\sqrt{x - 2} + 3 = 0$ B、 $x^{2} + 2 x + 3 = 0$ C、 $\sqrt{2 x + 3} = x$ D、 $\frac{x}{x - 1} = \frac{1}{x - 1}$

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2. 在下列方程中，有实数根的方程的个数有（）
① $\sqrt{x + 2} + 3 = 0$ ；
② $\sqrt{x - 4} + \sqrt{3 - x} = 0$ ；
③ $\sqrt{x + 1} = - x$ ；
④ $\sqrt{2 x - 3} + \sqrt{3 - 2 x} = 0$ ；
⑤ $x^{2} - 2 x + 4 = 0$ ；
⑥ $\frac{2}{x + 1} + \frac{3}{x - 1} = \frac{6}{x^{2} - 1}$ ．

A、 $1$ 个 B、 $2$ 个 C、 $3$ 个 D、 $4$ 个

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3. 已知实数a满足 $| 2000 - a | + \sqrt{a - 2001} = a$ ，那么 $a - 2000^{2}$ 的值是（）

A、1999 B、2000 C、2001 D、2002

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4. 如果关于 $x$ 的方程 $\sqrt{2 x + m} = x$ 有实数根 $x = 1$ ，那么m的值是（）

A、 $- 1$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $0$ D、 $2$

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5. 下列方程中，判断中不正确的是（）

A、方程 $\frac{x + 2}{3 x + 1} - \frac{x}{6} = 0$ 是分式方程 B、方程 $3 x y + 2 x + 1 = 0$ 是二元二次方程 C、方程 $\sqrt{3} x^{2} + \sqrt{2} x - \sqrt{7} = 0$ 是无理方程 D、方程 $(x + 2) (x - 2) = - 6$ 是一元二次方程

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二、填空题

6. 方程 $\sqrt{3 x + 4} = x$ 的解是．

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7. 当 $x =$ 时， $\sqrt{4 x + 5}$ 的值为 0 ．

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三、计算题

8. 解下列方程：

(1)、 $\sqrt{18 - 7 x} = x$ .

(2)、 $x + 2 \sqrt{x - 5} = 6$ .

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9. $\sqrt{x + 2} - \sqrt{x} - 2 \sqrt{x^{2} + 2 x} = - 2 x$ ．

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四、解答题

10. 我们知道，整式，分式，二次根式等都是代数式，代数式是用基本运算符号连接起来的式子，而当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似 $\frac{\sqrt{b}}{a}$ 这样的形式，我们称形如这种形式的式子称为根分式，例如 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ ， $\frac{\sqrt{x + 1}}{x^{2} - 2}$ 都是根分式．

(1)、请根据以上信息，写出根分式 $M = \frac{\sqrt{x - 1}}{x - 2}$ 中 $x$ 的取值范围：；

(2)、已知两个根分式 $M = \frac{\sqrt{x - 1}}{x - 2}$ 与 $N = \frac{\sqrt{x^{2} - 5 x + 7}}{x - 2}$ ．
①是否存在 $x$ 的值使得 $N^{2} - M^{2} = 1$ ，若存在，请求出 $x$ 的值，若不存在，请说明理由；
②当 $M^{2} + N^{2}$ 是一个整数时，求无理数 $x$ 的值．

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11. 小颖利用平方差公式，自己探究出一种解某一类根式方程的方法.下面是她解方程 $\sqrt{x - 2}$ ＋ $\sqrt{x - 7}$ ＝5的过程.
解：设 $\sqrt{x - 2}$ ﹣ $\sqrt{x - 7}$ ＝m，与原方程相乘得：

（ $\sqrt{x - 2}$ ＋ $\sqrt{x - 7}$ ）×（ $\sqrt{x - 2} - \sqrt{x - 7}$ ）＝5m，

x﹣2﹣（x﹣7）＝5m，解之得m＝1，

∴ $\sqrt{x - 2}$ ﹣ $\sqrt{x - 7}$ ＝1，与原方程相加得：

（ $\sqrt{x - 2}$ ＋ $\sqrt{x - 7}$ ）+（ $\sqrt{x - 2} - \sqrt{x - 7}$ ）＝5＋1，

2 $\sqrt{x - 2}$ ＝6，解之得，x＝11，经检验，x＝11是原方程的根.

学习借鉴解法，解方程 $\sqrt{x - 3}$ ﹣ $\sqrt{x - 6}$ ＝1.

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12. 阅读小明用下面的方法求出方程2

\sqrt{x}

﹣3x＝0的

解法1：令 $\sqrt{x}$ ＝t，则x＝t²

原方程化为2t﹣3t²＝0

解方程2t﹣3t²＝0，得t₁＝0，t₂＝ $\frac{2}{3}$ ；

所以 $\sqrt{x}$ ＝0或 $\frac{2}{3}$ ，

将方程 $\sqrt{x}$ ＝0或 $\frac{2}{3}$ 两边平方，

得x＝0或 $\frac{4}{9}$ ，

经检验，x＝0或 $\frac{4}{9}$ 都是原方程的解.

所以，原方程的解是x＝0或 $\frac{4}{9}$ .

解法2：移项，得2 $\sqrt{x}$ ＝3x，

方程两边同时平方，得4x＝9x² ，

解方程4x＝9x² ，得x＝0或 $\frac{4}{9}$ ，

经检验，x＝0或 $\frac{4}{9}$ 都是原方程的解.

所以，原方程的解是x＝0或 $\frac{4}{9}$ .

请仿照他的某一种方法，求出方法x﹣ $\sqrt{2 x + 5}$ ＝﹣1的解.

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