人教版数学七年级上册知识点训练营——绝对值方程（拓展）

（阅读）|5-2|表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；|5+2|可以看作|5-（-2）|，表示5与-2的差的绝对值，也可理解为5与-2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．

所以式子 $\left|x-2\right|$ 的几何意义是数轴上表示 $x$ 的点与表示2的点之间的距离．借助于数轴回答下列问题：

①数轴上表示2和5两点之间的距离是 ， 数轴上表示1和 $-3$ 的两点之间的距离是 ．

②数轴上表示 $x$ 和 $-2$ 的两点之间的距离表示为 ．

③数轴上表示 $x$ 的点到表示1的点的距离与它到表示-3的点的距离之和可表示为： $\left|x-1\right|+\left|x+3\right|$ ．则 $\left|x-1\right|+\left|x+3\right|$ 的最小值是 ．

④若 $\left|x-3\right|+\left|x+1\right|=8$ ，则 $x=$

根据以上知识解题：

材料一：我们知道|a|的几何意义是：数轴上表示数a的点到原点的距离；|a﹣b|的几何意义是：数轴上表示数a，b的两点之间的距离；|a+b|的几何意义是：数轴上表示数a，﹣b的两点之间的距离；根据绝对值的几何意义，我们可以求出以下方程的解.

（ 1 ）|x﹣3|＝4

解：由绝对值的几何意义知：

在数轴上x表示的点到3的距离等于4

∴x₁＝3+4＝7，x₂＝3﹣4＝﹣1

（ 2 ）|x+2|＝5

解：∵|x+2|＝|x﹣（﹣2）|，∴其绝对值的几何意义为：在数轴上x表示的点到﹣2的距离等于5.∴x₁＝﹣2+5＝3，x₂＝﹣2﹣5＝﹣7

材料二：如何求|x﹣1|+|x+2|的最小值.

由|x﹣1|+|x+2|的几何意义是数轴上表示数x的点到表示数1和﹣2两点的距离的和，要使和最小，则表示数x的这点必在﹣2和1之间（包括这两个端点）取值.

∴|x﹣1|+|x+2|的最小值是3；由此可求解方程|x﹣1|+|x+2|＝4，把数轴上表示x的点记为点P，由绝对值的几何意义知：当﹣2≤x≤1时，|x﹣1|+|x+2|恒有最小值3，所以要使|x﹣1|+|x+2|＝4成立，则点P必在﹣2的左边或1的右边，且到表示数﹣2或1的点的距离均为0.5个单位.

故方程|x﹣1|+|x+2|＝4的解为：x₁＝﹣2﹣0.5＝﹣2.5，x₂＝1+0.5＝1.5.

阅读以上材料，解决以下问题：