专题15 导数的概念及运算-高考数学一轮复习讲义（新高考专用）-在线组卷题库

1. 曲线 $y = \frac{e^{x}}{x + 1}$ 在点 $(1 ， \frac{e}{2})$ 处的切线方程为（）

A、 $y = \frac{e}{4} x$ B、 $y = \frac{e}{2} x$ C、 $y = \frac{e}{4} x + \frac{e}{4}$ D、 $y = \frac{e}{2} x + \frac{3 e}{4}$

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2. 当 $x = 1$ 时，函数 $f (x) = a l n x + \frac{b}{x}$ 取得最大值 $- 2$ ，则 $f^{'} (2) =$ （）

A、 $- 1$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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3. 若过点（a,b)可以作曲线y=e^x的两条切线，则（）

A、e^b<a B、e^a<b C、0<a<e^b D、0<b<e^a

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4. 已知函数 $f (x) = s i n (2 x + φ) (0 < φ < π)$ 的图像关于点 $(\frac{2 π}{3}, 0)$ 中心对称，则（）

A、 $f (x)$ 在区间 $(0, \frac{5 π}{12})$ 单调递减 B、 $f (x)$ 在区间 $(- \frac{π}{12}, \frac{11 π}{12})$ 有两个极值点 C、直线 $x = \frac{7 π}{6}$ 是曲线 $y = f (x)$ 的对称轴 D、直线 $y = \frac{\sqrt{3}}{2} - x$ 是曲线 $y = f (x)$ 的切线

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5. 已知函数 $f (x) = x^{3} - x + 1 ，$ 则（）

A、f(x)有两个极值点 B、f(x)有三个零点 C、点(0，1)是曲线 $y = f (x)$ 的对称中心 D、直线 $y = 2 x$ 是曲线 $y = f (x)$ 的切线

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6. 若曲线 $y = (x + a) e^{x}$ 有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是.

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7. 曲线 $y = l n | x |$ 过坐标原点的两条切线的方程为，．

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8. 已知 $x = x_{1}$ 和 $x = x_{2}$ 分别是函数 $f (x) = 2 a^{x} - e x^{2}$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）的极小值点和极大值点．若 $x_{1} < x_{2}$ ，则a的取值范围是．

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9. 已知函数 $f (x) = | e^{x} - 1 |, x_{1} < 0, x_{2} > 0$ ，函数 $f (x)$ 的图象在点 $A (x_{1}, f (x_{1}))$ 和点 $B (x_{2}, f (x_{2}))$ 的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则 $\frac{| A M |}{| B N |}$ 取值范围是．

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10. 曲线 $y = \frac{2 x - 1}{x + 2}$ 在点 $(- 1 ， - 3)$ 处的切线方程为．

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11. 已知函数 $f (x) = 2^{x} - k x - b$ 恰有一个零点 $x_{0}$ ，且 $b > k > 0$ ，则 $x_{0}$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty, \frac{1 - l n 2}{l n 2})$ B、 $(- \infty, \frac{l n 2}{1 - l n 2})$ C、 $(\frac{1 - l n 2}{l n 2}, + \infty)$ D、 $(\frac{l n 2}{1 - l n 2}, + \infty)$

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12. 函数 $f (x) = - x^{2} + a x + 1 - \ln x$ ，若 $f (x)$ 在 $(0, \frac{1}{2})$ 是减函数，则实数a的取值范围为（）

A、 $(- \infty, 2]$ B、 $(- \infty, 2)$ C、 $(- \infty, 3]$ D、 $(- \infty, 3)$

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13. 已知函数 $f (x) = \sin (3 x + \frac{π}{3})$ ，下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $\frac{2π}{3}$ B、点 $(\frac{π}{6}, 0)$ 为 $f (x)$ 图象的一个对称中心 C、若 $f (x) = a (a \in R)$ 在 $x \in [- \frac{π}{18}, \frac{π}{9}]$ 上有两个实数根，则 $\frac{\sqrt{3}}{2} \leq a < 1$ D、若 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，则函数 $y = f (x) + f^{'} (x)$ 的最大值为 $\sqrt{10}$

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14. 已知函数 $f (x) = x^{3} + x^{2} + a x - 4$ 有3个不同的零点 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ ，且 $x_{1} x_{2} = \frac{x_{3}^{2}}{2}$ ，则（）

A、 $a = - 4$ B、 $f (x) < 0$ 的解集为 $(- 1, 2)$ C、 $y = x - 7$ 是曲线 $y = f (x)$ 的切线 D、点 $(- 1, 0)$ 是曲线 $y = f (x)$ 的对称中心

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15. 已知抛物线 $C : x^{2} = 4 y$ ，圆 $O : x^{2} + y^{2} = 1$ ，直线 $l$ 与抛物线 $C$ 和圆 $O$ 分别切于 $P$ 、 $Q$ 两点，则点 $P$ 的纵坐标为.

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16. 已知函数 $f (x) = 2 f^{'} (3) \cdot x - \frac{2}{9} x^{2} + l n x$ ，则 $f (1) =$ ．

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17. $\underset{Δ x \to 0}{l i m} \frac{{(2 + Δ x)}^{3} - 2^{3}}{Δ x} =$ （）

A、72 B、12 C、8 D、4

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18. 与曲线在某点处的切线垂直，且过该点的直线称为曲线在某点处的法线，若曲线 $y = x^{4}$ 的法线的纵截距存在，则其最小值为（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $1$ C、 $\frac{17}{16}$ D、 $\frac{5}{4}$

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19. 已知函数 $f (x) = s i n (2 x + ϕ) (0 < ϕ < π)$ 的图象关于 $x = - \frac{π}{12}$ 对称，则（）

A、函数 $f (x - \frac{π}{3})$ 为奇函数 B、 $f (x)$ 在区间 $(- \frac{π}{12}, \frac{11 π}{12})$ 有两个极值点 C、 $(\frac{7 π}{6}, 0)$ 是曲线 $y = f (x)$ 的对称中心 D、直线 $y = \frac{\sqrt{3}}{2} - x$ 是曲线 $y = f (x)$ 的切线

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20. 直线 $x + a y - a = 0$ 是曲线 $y = \frac{s i n x}{x}$ 的切线，则实数 $a$ 的值可以是（）

A、3π B、π C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{π}{3}$

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21. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知曲线 $C : y = e^{x} (x < 1)$ 的一条切线 $l$ 与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别交于 $A$ ， $B$ 两点，则 $△ O A B$ 的面积的最大值为．

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22. 已知函数 $f (x) = 4 e^{x} - f^{'} (0) x + 2$ （ $f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数），则曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 0$ 处的切线方程为．

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23. 斜率为 $1$ 的直线 $l$ 与曲线 $y = l n (x + a)$ 和圆 $x^{2} + y^{2} = \frac{1}{2}$ 都相切，则实数 $a$ 的值为（）

A、 $0$ 或 $2$ B、 $- 2$ 或 $0$ C、 $－ 1$ 或 $0$ D、 $0$ 或 $1$

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24. 若过点 $P (m, 0)$ 与曲线 $f (x) = \frac{x + 1}{e^{x}}$ 相切的直线只有2条，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, + \infty)$ B、 $(- \infty, - 3) ∪ (1, + \infty)$ C、 $(- 1, 3)$ D、 $(- \infty, - 1) \cup (3, + \infty)$

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25. 已知函数 $f (x) = x + \frac{4}{x} + 2$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的值域为 $[6, + \infty)$ B、直线 $3 x + y + 6 = 0$ 是曲线 $y = f (x)$ 的一条切线 C、 $f (x - 1)$ 图象的对称中心为 $(- 1, 2)$ D、方程 $f^{2} (x) - 5 f (x) - 14 = 0$ 有三个实数根

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26. 已知函数 $f (x) = - x^{2} + 2 x$ ， $g (x) = x^{2} + a$ ，则（）

A、 $f (x) \leq g (x)$ 恒成立的充要条件是 $a \geq \frac{1}{2}$ B、当 $a = \frac{1}{4}$ 时，两个函数图象有两条公切线 C、当 $a = \frac{1}{2}$ 时，直线 $4 x - 4 y + 1 = 0$ 是两个函数图象的一条公切线 D、若两个函数图象有两条公切线，以四个切点为顶点的凸四边形的周长为 $2 + 2 \sqrt{2}$ ，则 $a = 1$

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27. 已知函数 $y_{1} = x^{\frac{1}{2}}$ 的图象与函数 $y_{2} = a^{x} (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ 的图象在公共点处有相同的切线，则 $a =$ ，切线方程为.

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28. 曲线 $f (x) = (x + 1) e^{x} + l n x$ 在 $(1, a)$ 处的切线与直线 $b x - y + 2 = 0$ 平行，则 $b - a =$ .

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29. 利用导数的定义计算 $\underset{Δ x \to 0}{l i m} \frac{l n (e + 2 Δ x) - l n e}{Δ x}$ 值为（）

A、1 B、 $\frac{2}{e}$ C、0 D、2

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30. 已知曲线 $f (x) = x l n x$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线为 $l$ ，则 $l$ 在 $y$ 轴上的截距为（）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、1 D、2

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31. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{e^{x}} - 1$ ，则曲线 $y = f (x)$ 在点 $(- 1, f (- 1))$ 处的切线方程为（）

A、 $e x + y + 1 = 0$ B、 $e x - y + 1 = 0$ C、 $e x + y - 1 = 0$ D、 $e x - y - 1 = 0$

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32. 函数 $f (x) = | x^{3} | + 1$ 在 $x = - 1$ 处的切线方程为（）

A、 $y = 4 x + 6$ B、 $y = - 2 x + 6$ C、 $y = - 3 x - 3$ D、 $y = - 3 x - 1$

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33. 已知函数 $f (x) = s i n x + s i n (1 - x)$ ， $f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数，则下列结论正确的是（）

A、 $f (- x) = f (1 + x)$ B、 $f (x) + f (π + x) = 0$ C、 $f^{'} (\frac{1}{2}) = f (\frac{1}{2})$ D、 $f^{'} (x) = f (x + \frac{π}{2})$

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34. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 4 x + 4 (x \in [0 ， 3])$ ，则（）

A、函数 $f (x)$ 在区间 $[0 ， 2]$ 上单调递减 B、函数 $f (x)$ 在区间 $[0 ， 3]$ 上的最大值为1 C、函数 $f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程为 $y = - 3 x + \frac{10}{3}$ D、若关于 $x$ 的方程 $f (x) = a$ 在区间 $[0 ， 3]$ 上有两解，则 $a \in (- \frac{4}{3} ， 4)$

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35. 为了评估某治疗新冠肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量.已知该药物在人体血管中药物浓度 $c$ 随时间 $t$ 的变化而变化，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间 $t$ 变化的关系如图所示.则下列结论正确的是（）

A、在 $t_{1}$ 时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同； B、在 $t_{2}$ 时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同； C、在 $[t_{2} ， t_{3}]$ 这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同； D、在 $[t_{1} ， t_{2}]$ 和 $[t_{2} ， t_{3}]$ 两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率相同.

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36. 过原点作曲线 $y = l n x$ 的切线l ，并与曲线 $y = t l n x (t > 1)$ 交于 $A (x_{1}, t l n x_{1})$ ， $B (x_{2}, t l n x_{2})$ 两点，若 $x_{2} = 2 x_{1}$ ，则 $t =$ ．

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37. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a x + b (a, b \in R), g (x) = x^{2} + x$ ，若这两个函数的图象在公共点 $A (1, 2)$ 处有相同的切线，则 $a - b =$ ．

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38. 已知直线 $y - 2 x = 0$ 与曲线 $f (x) = x + l n x$ 的某条切线平行，则该切线方程为.

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39. 已知函数 $f (x) = l n x$ ， $g (x) = \frac{a}{x} - 1$ 其中 $a$ 为常数.

(1)、过原点作 $f (x)$ 图象的切线 $l$ ，求直线 $l$ 的方程；

(2)、若 $\exists x \in (0, + \infty)$ ，使 $f (x) \leq g (x)$ 成立，求 $a$ 的最小值.

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40. 设函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{f^{'} (- 1)}{4} x^{2} + 2 x - f (1)$ ，

(1)、求 $f^{'} (- 1)$ 、 $f (1)$ 的值；

(2)、求 $f (x)$ 在 $[0, 2]$ 上的最值．

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41. 若过点 $(a, 2)$ 可以作曲线 $y = l n x$ 的两条切线，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty, e^{2})$ B、 $(- \infty, l n 2)$ C、 $(0, e^{2})$ D、 $(0, l n 2)$

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42. 已知定义域为 $R$ 的函数 $f (x)$ 满足 $f (x y) = y^{3} f (x) + x^{3} f (y)$ ，则（）

A、 $f (0) = 0$ B、 $f (- 1) = - 1$ C、 $f (x)$ 是奇函数 D、存在函数 $f (x)$ 以及 $x_{0}$ ，使得 $f^{'} (x_{0})$ 的值为 $4 e^{2}$

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43. 若两个函数 $f (x) = l n x + a$ 和 $g (x) = b e^{x} (a, b \in R)$ 存在过点 $(2, \frac{1}{2})$ 的公切线，设切点坐标分别为 $(x_{1}, f (x_{1})), (x_{2}, g (x_{2}))$ ，则 $(x_{1} + 2 x_{2}) [f (x_{1}) + 2 g (x_{2})] =$ .

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44. 已知函数 $f (x) = l n x - a x + 1$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的极值；

(2)、证明： $l n x + x + 1 \leq x e^{x}$ ．

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45. 已知过点 $(- 2, 0)$ 的直线与函数 $f (x) = x e^{x + 2} + 2$ 的图象有三个交点，则该直线的斜率的取值范围为（）

A、 $(- \infty, - 1)$ B、 $(- \infty, 0)$ C、 $(- 1, 0)$ D、 $(- 1, + \infty)$

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46. 已知函数 $f^{'} (x)$ 为定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 的导函数， $f (x - 1)$ 为奇函数， $f (x + 1)$ 为偶函数，且 $f^{'} (0) = 2$ ，则下列说法正确的有（）

A、 $f (0) = f (2)$ B、 $f^{'} (- 1) + f^{'} (3) = 0$ C、 $f^{'} (4) = 2$ D、 $\sum_{i = 1}^{10} i f^{^{'}} (2 i) = - 22$

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47. 如图，有一张较大的矩形纸片 $A B C D$ ， $O$ ， $O_{1}$ 分别为 $A B$ ， $C D$ 的中点，点 $P$ 在 $O O_{1}$ 上， $| O P | = 2 .$ 将矩形按图示方式折叠，使直线 $A B ($ 被折起的部分 $)$ 经过 $P$ 点，记 $A B$ 上与 $P$ 点重合的点为 $M$ ，折痕为 $l .$ 过点 $M$ 再折一条与 $B C$ 平行的折痕 $m$ ，并与折痕 $l$ 交于点 $Q$ ，按上述方法多次折叠， $Q$ 点的轨迹形成曲线 $E .$ 曲线 $E$ 在 $Q$ 点处的切线与 $A B$ 交于点 $N$ ，则 $△ P Q N$ 的面积的最小值为．

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专题15 导数的概念及运算-高考数学一轮复习讲义（新高考专用）

一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、单选题

五、多选题

六、填空题

七、单选题

八、多选题

九、填空题

十、单选题

十一、多选题

十二、填空题

十三、单选题

十四、多选题

十五、填空题

十六、解答题

十七、单选题

十八、多选题

十九、填空题

二十一、解答题

二十二、单选题

二十三、多选题

二十四、填空题