专题13 函数与方程-高考数学一轮复习讲义（新高考专用）-在线组卷题库

1. 设 $a \in R$ ，函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \cos (2 π x - 2 π a) . & x < a \\ x^{2} - 2 (a + 1) x + a^{2} + 5 ， & x \geq a \end{array}$ ，若 $f (x)$ 在区间 $(0 ， + \infty)$ 内恰有6个零点，则a的取值范围是（）

A、 $(2 ， \frac{9}{4}] \cup (\frac{5}{2} ， \frac{11}{4}]$ B、 $(\frac{7}{4} ， 2) \cup (\frac{5}{2} ， \frac{11}{4})$ C、 $(2 ， \frac{9}{4}] \cup [\frac{11}{4} ， 3)$ D、 $(\frac{7}{4} ， 2) \cup [\frac{11}{4} ， 3)$ .

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2. 若函数 $f (x) = a \ln x + \frac{b}{x} + \frac{c}{x^{2}} (a \neq 0)$ 既有极大值也有极小值，则（）．

A、 $b c > 0$ B、 $a b > 0$ C、 $b^{2} + 8 a c > 0$ D、 $a c < 0$

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3. 噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级 $L_{p} = 20 \times l g \frac{p}{p_{0}}$ ，其中常数 $p_{0} (p_{0} > 0)$ 是听觉下限阈值， $p$ 是实际声压．下表为不同声源的声压级：
声源
与声源的距离 $/ m$
声压级 $/ d B$
燃油汽车
10
$60 ~ 90$
混合动力汽车
10
$50 ∼ 60$
电动汽车
10
40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车 $10 m$ 处测得实际声压分别为 $p_{1}, p_{2}, p_{3}$ ，则（）．

A、 $p_{1} \geq p_{2}$ B、 $p_{2} > 10 p_{3}$ C、 $p_{3} = 100 p_{0}$ D、 $p_{1} \leq 100 p_{2}$

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4. 已知函数f(x)=cosωx−1(ω>0)在区间[0，2π]有且仅有3个零点，则ω的取值范围是.

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5. 设 $a \in R$ ，函数 $f (x) = a x^{2} - 2 x - | x^{2} - a x + 1 |$ ，若 $f (x)$ 恰有两个零点，则 $a$ 的取值范围为．

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6. 设 $a \in R$ ，对任意实数x，记 $f (x) = m i n {| x | - 2 ， x^{2} - a x + 3 a - 5}$ ．若 $f (x)$ 至少有3个零点，则实数 $a$ 的取值范围为.

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7. 已知函数 $f (x) = 2^{x} + \sqrt{x} - 4$ ，若存在 $x_{1} < x_{2}$ ，使得 $f (x_{1}) f (x_{2}) < 0$ ，则下列结论不正确的是（）

A、 $x_{1} < 1$ B、 $x_{2} > 1$ C、 $f (x)$ 在 $(x_{1}, x_{2})$ 内有零点 D、若 $f (x)$ 在 $(x_{1}, \frac{x_{1} + x_{2}}{2})$ 内有零点，则 $f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) > 0$

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8. 若函数 $f (x) = 2 a x^{2} + 3 x - 1$ 在区间 $(- 1, 1)$ 内恰有一个零点，则实数a的取值集合为（）

A、 ${a | - 1 < a < 2}$ B、 ${a | a = - \frac{9}{8}$ 或 $- 1 < a < 2}$ . C、 ${a | - 1 \leq a \leq 2}$ D、 ${a | a = - \frac{9}{8}$ 或 $- 1 \leq a \leq 2}$ .

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9. 已知函数 $f (x) = x l n x + a (1 - x) + x$ 在区间（1，＋∞）内没有零点，则实数a的取值可以为（）

A、－1 B、2 C、3 D、4

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10. 已知函数 $f (x) = l n x - \frac{x + 1}{x - 1}$ ，则( )

A、 $f (x)$ 的定义域为 $(0, + \infty)$ B、 $f (x)$ 的图像在 $(2, f (2))$ 处的切线斜率为 $\frac{5}{2}$ C、 $f (\frac{1}{x}) + f (x) = 0$ D、 $f (x)$ 有两个零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $x_{1} x_{2} = 1$

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11. 定义开区间 $(a ， b)$ 的长度为 $b - a$ ．经过估算，函数 $f (x) = \frac{1}{2^{x}} - x^{\frac{1}{3}}$ 的零点属于开区间（只要求写出一个符合条件，且长度不超过 $\frac{1}{6}$ 的开区间）．

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12. 函数 $f (x) = e^{x} + a x + b$ 在区间 $[1, 3]$ 上存在零点，则 $a^{2} + b^{2}$ 的最小值为.

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13. 若函数 $f (x) = \frac{l n x}{x} - \frac{x}{m}$ 有两个零点，则实数m的取值范围为（）

A、 $(0, e)$ B、 $(e, + \infty)$ C、 $(0, 2 e)$ D、 $(2 e, + \infty)$

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14. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x e^{x}, x \leq 0 \\ - | l n x |, x > 0 \end{array}$ ，若关于x的方程 $f^{2} (x) + a f (x) + a - 1 = 0$ 的不同实数根的个数为6，则a的取值范围为（）．

A、 $(1 - \frac{1}{e}, 1)$ B、 $(- 1 - \frac{1}{e}, - 1)$ C、 $(1, 1 + \frac{1}{e})$ D、 $(1 - \frac{1}{e}, 1 + \frac{1}{e})$

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15. 已知函数 $f (x) = | s i n x | + c o s | 2 x |$ ，则（）

A、函数 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、函数 $f (x)$ 在 $[0, \frac{π}{3}]$ 上单调递增 C、函数 $f (x)$ 的最大值为 $\frac{9}{8}$ D、若方程 $f (x) = a (a \in R)$ 在 $[- π, π]$ 上有且仅有8个不同的实根，则 $1 < a < \frac{9}{8}$

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16. 已知函数 $f (x) = e^{|x + k|}$ ，函数 $g (x) = \frac{1}{2} e^{|x - \frac{k}{2}|}$ ，且 $k < 0$ ，定义运算 $a \otimes b = \{\begin{matrix} b, a > b, \\ a, a \leq b, \end{matrix}$ 设函数 $h (x) = f (x) \otimes g (x)$ ，则下列命题正确的是（）

A、 $h (x)$ 的最小值为 $\frac{1}{2}$ B、若 $h (x)$ 在 $[0, ln 2]$ 上单调递增，则k的取值范围为 $(- \infty, - 2 \ln 2]$ C、若 $h (x) = m$ 有4个不同的解，则m的取值范围为 $(1, e^{- \frac{1}{2}}^{(ln 2 + \frac{3 k}{2})})$ D、若 $h (x) = m$ 有3个不同的解 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3},$ 则 $x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0$

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17. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + φ)$ （ $ω > 0$ ， $| ϕ | < \frac{π}{2}$ ）的最小正周期为T ， $f (\frac{T}{6}) = f (\frac{T}{3})$ ，若 $f (x)$ 在 $[0, 1]$ 内恰有10个零点则 $ω$ 的取值范围是．

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18. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} + 2 x, x \leq 0, \\ l n (1 - x), 0 < x < 1, \end{array}$ 若曲线 $y = f (x)$ 与直线 $y = a x$ 恰有2个公共点，则 $a$ 的取值范围是.

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19. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | 3 - 2 x | + 1, x > 0, \\ \frac{(x + 2)^{2}}{e^{x}}, x \leq 0 . \end{array}$ 若函数 $y = [f (x)]^{2} - a f (x)$ 有5个不同的零点，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0, 1]$ B、 $(1, 4]$ C、 $(1, 4)$ D、 $(1, + \infty)$

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20. 已知函数 $f (x) = e^{x} - e^{- x} + 2 \sin x$ ， $g (x) = \{\begin{matrix} 2 x + 2, x < 0 \\ e^{x} - 1, x \geq 0 \end{matrix}$ ，若关于 $x$ 的方程 $f (g (x)) - m = 0$ 有两个不等实根 $x_{1}, x_{2}$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ，则 $x_{2} - x_{1}$ 的最大值是（）

A、 $ln 2$ B、 $ln 2 + \frac{1}{2}$ C、 $3 - ln 2$ D、 $ln 2 + 1$

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21. 已知函数 $f (x) = a x (e^{x} + e^{- x}) - e^{x} + e^{- x}$ 恰有三个零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，则（）

A、 $x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0$ B、实数 $a$ 的取值范围为 $(0, 1]$ C、 $a x_{1} + 1 > 0$ D、 $a x_{3} + a > 1$

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22. 已知函数 $h (x) = \frac{1}{a} x e^{x} + x^{2}$ ，若函数 $g (x) = \frac{2}{a} e^{x} + 2 x - 1$ 的图象与 $h (x)$ 的图象有两个不同的交点，则实数 $a$ 的可能取值为（）

A、 $- 3$ B、 $l n \frac{1}{2}$ C、 $l n 2$ D、 $3$

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23. 若函数 $f (x) = \sqrt{1 - x^{2}} - k (x - 1) - 4$ 有两个零点，则实数 $k$ 的取值范围是.

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24. 若函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} - a x + \frac{4}{3} a + 1, x \geq \frac{4}{3} \\ x^{2} + a x - \frac{4}{3} a + 1, x < \frac{4}{3} \end{array}$ 恰有两个不同的零点 $m, n$ ，且 $m < n$ ，则 $n$ 的取值范围为．

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25. 三个函数 $f (x) = x^{3} + x - 3$ ， $g (x) = l n x + x - 3$ ， $h (x) = e^{x} + x - 3$ 的零点分别为 $a, b, c$ ，则 $a, b, c$ 之间的大小关系为（）

A、 $a < b < c$ B、 $c < a < b$ C、 $a < c < b$ D、 $b < c < a$

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26. 已知 $x_{0}$ 是函数 $f (x) = \frac{1}{1 - x} + l n x$ 的一个零点，若 $x_{1} \in (1, x_{0})$ ， $x_{2} \in (x_{0}, + \infty)$ ，则（）

A、 $f (x_{1}) < 0$ ， $f (x_{2}) < 0$ B、 $f (x_{1}) > 0$ ， $f (x_{2}) > 0$ C、 $f (x_{1}) > 0$ ， $f (x_{2}) < 0$ D、 $f (x_{1}) < 0$ ， $f (x_{2}) > 0$

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27. 将函数 $f (x) = s i n (2 x + \frac{π}{6})$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位后得到函数 $g (x)$ 的图象.若 $y = g (x)$ 在 $(- m ， m)$ 上恰有三个不同的零点，则实数 $m$ 的取值范围为（）

A、 $(\frac{7 π}{12} ， \frac{11 π}{12}]$ B、 $(\frac{7 π}{12} ， \frac{13 π}{12}]$ C、 $(\frac{5 π}{12} ， \frac{13 π}{12}]$ D、 $(\frac{5 π}{12} ， \frac{11 π}{12}]$

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28. 某同学用二分法求函数 $f (x) = 2^{x} + 3 x - 7$ 的零点时，计算出如下结果： $f (1.5) = 0.33, f (1.25) = - 0.87$ ， $f (1.375) = - 0.26, f (1.4375) = 0.02, f (1.4065) = - 0.13, f (1.422) = - 0.05$ ，下列说法正确的有（）

A、 $1.4065$ 是满足精度为 $0.01$ 的近似值. B、 $1.375$ 是满足精度为 $0.1$ 的近似值 C、 $1.4375$ 是满足精度为 $0.01$ 的近似值 D、 $1.25$ 是满足精度为 $0.1$ 的近似值

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29. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - x, x \leq 0 \\ x^{2} - 4 x, x > 0 \end{array}$ ，则下列结论中正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 有且仅有一个零点 B、函数 $f (x)$ 是奇函数 C、 $f (x)$ 在 $(- \infty, 2)$ 上单调递减 D、函数 $f (x)$ 的最小值为 $- 4$

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30. 下列选项中说法正确的是（）

A、若幂函数 $f (x) = m x^{α}$ 过点 $(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ ，则 $m + α = \frac{3}{2}$ B、用二分法求方程 $3^{x} + 3 x - 8 = 0$ 在 $x \in (1, 2)$ 内的近似解的过程中得到 $f (1) < 0$ ， $f (1.5) > 0$ ， $f (1.25) < 0$ ，则方程的根落在区间 $(1.25, 1.5)$ 上 C、某校一次高三年级数学检测，经抽样分析，成绩 $ξ$ 近似服从正态分布 $N (95, σ^{2})$ ，且 $P (91 < ξ \leq 95) = 0.3$ ，若该校 $1800$ 学生参加此次检测，估计该校此次检测成绩不低于 $99$ 分的学生人数为 $360$ D、 $5$ 位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有 $25$ 种

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31. 已知函数 $f (x) = 2 s i n (ω x + \frac{π}{4}) (ω > 0)$ ，则下列说法正确的是（）

A、若函数 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ ，则其图象关于直线 $x = \frac{π}{8}$ 对称 B、若函数 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ ，则其图象关于点 $(\frac{π}{8} ， 0)$ 对称 C、若函数 $f (x)$ 在区间 $(0 ， \frac{π}{8})$ 上单调递增，则 $ω$ 的最大值为2 D、若函数 $f (x)$ 在 $[0 ， 2 π]$ 有且仅有5个零点，则 $ω$ 的取值范围是 $\frac{19}{8} \leq ω < \frac{23}{8}$

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32. 函数 $f (x) = l n x + 2 x - 6$ 零点的一个近似值为.（误差不超过0.25）

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33. 已知函数 $f (x) = s i n (π x + \frac{π}{3})$ 在 $[- 1, m]$ 内恰有3个零点，则 $m$ 的取值范围是．

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34. 已知函数 $f (x) = (x - 3) e^{x} + \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + 1$ 在区间 $(2 m - 2, 3 + m)$ 上不单调，则m的取值范围是．

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35. 已知 $0 < a < 1$ ，函数 $f (x) = \frac{a e^{x - a}}{x} (x \neq 0)$ .

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间.

(2)、讨论方程 $f (x) = a$ 的根的个数.

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36. 已知函数 $f (x) = \frac{c x - 1}{x + 1}$ （ $c$ 为常数），若1为函数 $f (x)$ 的零点.

(1)、求 $c$ 的值；

(2)、证明函数 $f (x)$ 在 $[0, 2]$ 上是单调增函数；

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37. 若 $f (x)$ 为 $R$ 上的偶函数，且 $f (x) = f (4 - x)$ ，当 $x \in [0, 2]$ 时， $f (x) = 2^{x} - 1$ ，则函数 $g (x) = 3 | s i n (π x) | - f (x)$ 在区间 $[- 1, 5]$ 上的所有零点的和是（）

A、20 B、18 C、16 D、14

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38. 已知函数 $f (x) = (x^{2} + x) e^{x} + l n x$ 的零点为 $x_{0}$ ，下列判断正确的是（）

A、 $x_{0} < \frac{1}{2}$ B、 $x_{0} > \frac{1}{e}$ C、 $e^{x_{0}} + l n x_{0} < 0$ D、 $x_{0} + l n x_{0} < 0$

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39. 过点 $(1, m)$ 可以向曲线 $f (x) = x e^{x}$ 作 $n$ 条切线，写出满足条件的一组有序实数对 $(m, n)$

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40. 设n次多项式 $P_{n} (t) = a_{n} t^{n} + a_{n - 1} t^{n - 1} + ⋯ + a_{2} t^{2} + a_{1} t + a_{0} (a_{n} \neq 0)$ ，若其满足 $P_{n} (c o s x) = c o s n x$ ，则称这些多项式 $P_{n} (t)$ 为切比雪夫多项式.例如：由 $c o s θ = c o s θ$ 可得切比雪夫多项式 $P_{1} (x) = x$ ，由 $c o s 2 θ = 2 c o s^{2} θ - 1$ 可得切比雪夫多项式 $P_{2} (x) = 2 x^{2} - 1$ .

(1)、若切比雪夫多项式 $P_{3} (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ ，求实数a ， b ， c ， d的值；

(2)、对于正整数 $n ⩾ 3$ 时，是否有 $P_{n} (x) = 2 x \cdot P_{n - 1} (x) - P_{n - 2} (x)$ 成立？

(3)、已知函数 $f (x) = 8 x^{3} - 6 x - 1$ 在区间 $(- 1, 1)$ 上有3个不同的零点，分别记为 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ ，证明： $x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0$ .

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41. 已知 $2^{a} = l o g_{\frac{1}{2}} a$ ， ${(\frac{1}{2})}^{b} = l o g_{\frac{1}{2}} b$ ，则下面正确的是（）

A、 $a > b$ B、 $a < \frac{1}{4}$ C、 $b > \frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $| a - b | < \frac{1}{2}$

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42. 对于函数 $f (x) = \frac{x}{l n x}$ ，下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的单调递减区间为 $(0, 1) ∪ (1, e)$ B、 $f (π) < f (2)$ C、若方程 $| f (| x |) | = k$ 有6个不等实数根，则 $k > e$ D、对任意正实数 $x_{1}, x_{2}$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，若 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ，则 $x_{1} x_{2} > e^{2}$

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43. 函数 $f (x) = e^{s i n x} - e^{c o s x}$ 在 $(0, 2 π)$ 范围内极值点的个数为.

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专题13 函数与方程-高考数学一轮复习讲义（新高考专用）

一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、单选题

五、多选题

六、填空题

七、单选题

八、多选题

九、填空题

十、单选题

十一、多选题

十二、填空题

十三、单选题

十四、多选题

十五、填空题

十六、解答题

十七、单选题

十八、多选题

十九、填空题

二十一、解答题

二十二、单选题

二十三、多选题

二十四、填空题

声源	与声源的距离 $/ m$	声压级 $/ d B$
燃油汽车	10	$60 ~ 90$
混合动力汽车	10	$50 ∼ 60$
电动汽车	10	40