广东省广州市广东实验中学2024届高三教学情况测试（一）

试卷更新日期：2024-06-22 类型：高考模拟

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合 $P = \{x \in Z| - 2 < x < 4\}$ ， $Q = \{x| x^{2} + 2 x - 3 \leq 0\}$ ，则 $P \cap Q =$ （）

A、 $(- 2, 1]$ B、 $[- 3, 4)$ C、 $\{- 1, 1\}$ D、 $\{- 1, 0, 1\}$

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2. 已知 $|\vec{a}| = 5$ ， $|\vec{b}| = 4$ ，若 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $- \frac{5}{8} \vec{b}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、60° B、120° C、135° D、150°

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3. 斜拉桥是桥梁建筑的一种形式，在桥梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向与中央索塔一致．如下图是重庆千厮门嘉陵江大桥，共有 $10$ 对永久拉索，在索塔两侧对称排列．已知拉索上端相邻两个锚的间距 $|P_{i} P_{i + 1}| (i = 1, 2, 3, \dots, 9)$ 均为 $3.4 m$ ，拉索下端相邻两个锚的间距 $|A_{i} A_{i + 1}| (i = 1, 2, 3, \dots, 9)$ 均为 $16 m$ ．最短拉索的锚 $P_{1}$ ， $A_{1}$ 满足 $|O P_{1}| = 66 m$ ， $|O A_{1}| = 86 m$ ，则最长拉索所在直线的斜率为（）

A、 $\pm 0.47$ B、 $\pm 0.45$ C、 $\pm 0.42$ D、 $\pm 0.40$

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4. 从属于区间 $[2 ， 8]$ 的整数中任取两个数，则至少有一个数是质数的概率为（）

A、 $\frac{6}{7}$ B、 $\frac{5}{7}$ C、 $\frac{9}{14}$ D、 $\frac{11}{14}$

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5. 在某款计算器上计算 $\log_{a} b$ 时，需依次按下“Log”､“（”､“a”､“，”､“b”､“）”6个键.某同学使用该计算器计算 $\log_{a} b$ （ $a > 1$ ， $b > 1$ ）时，误将“Log”､“（”､“b”､“，”､“a”､“）”这6键，所得到的值是正确结果的 $\frac{4}{9}$ 倍，则（）

A、 $2 a = 3 b$ B、 $a^{3} b^{2} = 1$ C、 $a^{2} = b^{3}$ D、 $a^{3} = b^{2}$

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6. 已知实数 $a > 0$ ， $b > 0$ ， $a \neq 1$ ，且 $l n b = \frac{a - 1}{\sqrt{a}}$ ，则必有（）

A、 $l o g_{a} b > 1$ B、 $a < b$ C、 $l o g_{a} b < 1$ D、 $a > b$

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7. 已知 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 分别为双曲线 $\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的两个焦点，双曲线上的点 $P$ 到原点的距离为 $b$ ，且 $s i n ∠ P F_{2} F_{1} = 3 s i n ∠ P F_{1} F_{2}$ ，则该双曲线的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} x$ B、 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} x$ C、 $y = \pm \sqrt{2} x$ D、 $y = \pm \sqrt{3} x$

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8. 在棱长为6的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M$ 是 $B C$ 的中点，点 $P$ 是正方形 $D C C_{1} D_{1}$ 面内(包括边界)的动点，且满足 $∠ A P D = ∠ M P C$ ，则三棱锥 $P - B C D$ 的体积最大值是（）

A、36 B、24 C、 $18 \sqrt{3}$ D、 $12 \sqrt{3}$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 下列说法正确的是（）

A、 $z \cdot \bar{z} = {|z|}^{2}$ ， $z \in C$ B、 $i^{2024} = - 1$ C、若 $|z| = 1$ ， $z \in C$ ，则 $|z - 2|$ 的最小值为1 D、若 $- 4 + 3 i$ 是关于x的方程 $x^{2} + p x + q = 0 (p, q \in R)$ 的根，则 $p = 8$

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10. 已知抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F，过F且倾斜角为 $\frac{π}{4}$ 的直线l与抛物线相交于A，B两点， $|A B| = 12$ ，过A，B两点分别作抛物线的切线，交于点Q．则下列结论正确的是（）

A、 $Q A ⊥ Q B$ B、若 $M (1, 1)$ ， P是抛物线上一动点，则 $|P M| + |P F|$ 的最小值为 $\frac{5}{2}$ C、 $△ A O B$ （O为坐标原点）的面积为 $3 \sqrt{2}$ D、 $M (- \frac{p}{2}, 0)$ ，则 $\tan ∠ A M B = 2 \sqrt{2}$

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11. 曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，表明曲线偏离直线的程度，曲率越大，表示曲线的弯曲程度越大．曲线 $y = f (x)$ 在点 $(x, f (x))$ 处的曲率 $K (x) = \frac{|f^{″} (x)|}{{[1 + {(f^{'} (x))}^{2}]}^{1.5}}$ ，其中 $f^{″} (x)$ 是 $f^{'} (x)$ 的导函数．下面说法正确的是（）

A、若函数 $f (x) = x^{3}$ ，则曲线 $y = f (x)$ 在点 $(- a, - a^{3})$ 与点 $(a, a^{3})$ 处的弯曲程度相同 B、若 $f (x)$ 是二次函数，则曲线 $y = f (x)$ 的曲率在顶点处取得最小值 C、若函数 $f (x) = \sin x$ ，则函数 $K (x)$ 的值域为 $[0, 1]$ D、若函数 $f (x) = \frac{1}{x} (x > 0)$ ，则曲线 $y = f (x)$ 上任意一点的曲率的最大值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 设 $a = C_{19}^{0} + C_{19}^{1} 7 + C_{19}^{2} 7^{2} + \dots + C_{19}^{19} 7^{19}$ ，则 $a$ 除以9所得的余数为．

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13. 将函数 $f (x) = sin (ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度后得到函数 $y = g (x)$ 的图象，若函数 $y = f (x)$ 和 $y = g (x)$ 在 $(0, π)$ 上都恰好存在两个零点，则 $ω$ 的取值范围是．

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14. 已知长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面ABCD为边长是2的正方形， $D D_{1} = 2 C D$ ， E，F分别为棱AB， $C C_{1}$ 的中点，则过 $D_{1}$ ， E，F的平面截长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的表面所得截面的面积为.

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四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = \frac{1}{2} n (n + 1)$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = {\begin{array}{l} \frac{1}{a_{n} a_{n + 2}}, n 为奇数 \\ 2^{a_{n}}, n 为偶数 \end{array}$ ，求 ${b_{n}}$ 的前 $2 n$ 项和 $T_{2 n}$ .

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16. 如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点．设 $\overset{⃑}{A B} = \overset{⃑}{a}$ ， $\overset{⃑}{A C} = \overset{⃑}{b}$ ， $\overset{⃑}{A D} = \overset{⃑}{c}$ .

(1)、求证EG⊥AB；

(2)、求异面直线AG和CE所成角的余弦值．

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17. 统计与概率主要研究现实生活中的数据和客观世界中的随机现象，通过对数据的收集、整理、分析、描述及对事件发生的可能性刻画，来帮助人们作出合理的决策.

(1)、现有池塘甲，已知池塘甲里有50条鱼，其中A种鱼7条，若从池塘甲中捉了2条鱼.用 $ξ$ 表示其中A种鱼的条数，请写出 $ξ$ 的分布列，并求 $ξ$ 的数学期望 $E (ξ)$ ；

(2)、另有池塘乙，为估计池塘乙中的鱼数，某同学先从中捉了50条鱼，做好记号后放回池塘，再从中捉了20条鱼，发现有记号的有5条.
（ⅰ）请从分层抽样的角度估计池塘乙中的鱼数.
（ⅱ）统计学中有一种重要而普遍的求估计量的方法─最大似然估计，其原理是使用概率模型寻找能够以较高概率产生观察数据的系统发生树，即在什么情况下最有可能发生已知的事件.请从条件概率的角度，采用最大似然估计法估计池塘乙中的鱼数.

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18. 在 $Rt △ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知 $\frac{\cos A}{a} = \frac{\cos B + \cos C}{b + c}$ .

(1)、求角A；

(2)、已知 $c \neq 2 b$ ， $a = 2 \sqrt{3}$ ，点P，Q是边 $A C$ 上的两个动点（P，Q不重合），记 $∠ P B Q = θ$ .
①当 $θ = \frac{π}{6}$ 时，设 $△ P B Q$ 的面积为S，求S的最小值：
②记 $∠ B P Q = α$ ， $∠ B Q P = β$ .问：是否存在实常数 $θ$ 和k，对于所有满足题意的 $α$ ， $β$ ，都有 $\sin 2 α + \sin 2 β + k = 4 k \sin α \sin β$ 成立?若存在，求出 $θ$ 和k的值；若不存在，说明理由.

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19. 已知函数 $f (x)$ = $e^{x} - e^{- x} - 2 x$ .
（1）讨论 $f (x)$ 的单调性；
（2）设 $g (x) = f (2 x) - 4 b f (x)$ ，当 $x > 0$ 时， $g (x) > 0$ ，求 $b$ 的最大值；
（3）已知 $1.4142 < \sqrt{2} < 1.4143$ ，估计ln2的近似值（精确到0.001）

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