【培优版】北师大版数学九年级上册第六章反比例函数章节测试卷

试卷更新日期：2024-10-10 类型：单元试卷

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一、选择题（每题3分，共24分）

1. 如图所示双曲线y＝ $\frac{k}{x}$ 与y＝﹣ $\frac{3}{x}$ 分别位于第三象限和第二象限，A是y轴上任意一点，B是y＝﹣ $\frac{3}{x}$ 上的点，C是y＝ $\frac{k}{x}$ 上的点，线段BC⊥x轴于D，且4BD＝3CD，则下列说法：①双曲线y＝ $\frac{k}{x}$ 在每个象限内，y随x的增大而减小；②若点B的横坐标为﹣3，则C点的坐标为（﹣3， $\frac{4}{3}$ ）；③k＝4；④△ABC的面积为定值7，正确的有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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2. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在第一象限，点B在x轴的正半轴上，点G为△OAB的重心，连接BG并延长，交OA于点C，反比例函数y＝ $\frac{k}{x}$ （k＞0）的图象经过C，G两点．若△AOB的面积为6，则k的值为（）

A、 $\frac{9}{4}$ B、 $\frac{12}{5}$ C、 $\frac{5}{2}$ D、3

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3. 如图，在 $x$ 轴正半轴上依次截取 $O A_{1} = A_{1} A_{2} = A_{2} A_{3} = \dots = A_{n - 1} A_{p} = 1$ ，过点 $A_{1}$ 、 $A_{2}$ 、 $A_{3}$ 、…… $A_{n}$ 分别作 $x$ 轴的垂线，与反比例函数 $y = \frac{2}{x} (x > 0)$ 交于点 $P_{1}$ 、 $P_{2}$ 、 $P_{3}$ 、…、 $P_{n}$ ，连接 $P_{1} P_{2}$ 、 $P_{2} P_{3}$ 、… $P_{n - 1} P_{n}$ ，过点 $P_{2}$ 、 $P_{3}$ 、…、 $P_{n}$ 分别向 $P_{1} A$ 、 $P_{2} A_{2}$ 、…、 $P_{n - 1} A_{n - 1}$ 作垂线段，构成的一系列直角三角形（图中阴影部分）的面积和等于（）.

A、 $2^{n}$ B、 $\frac{n - 1}{n}$ C、 $2 n + 1$ D、 $\frac{n + 2}{2 n}$

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4. 如图， $▱$ OABC的边OA在x轴正半轴上，点D在边AB上，线段CD的延长线交x轴于点E，连接OB、OD．反比例函数y= $\frac{k}{x}$ (k>0)经过点B、D．若S_△O_BC=4，S_△_BDE=2，则k的值为（）

A、 $\frac{8}{3}$ B、3 C、 $\frac{10}{3}$ D、4

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5. 已知点A是双曲线y＝ $\frac{1}{x}$ 在第一象限分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为边作等边三角形ABC，点C在第四象限内，随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线y＝ $\frac{k}{x}$ （x＞0）上运动，则k的值是（）

A、3 B、 $\sqrt{3}$ C、﹣3 D、﹣ $\sqrt{3}$

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6. 如图，在以 $O$ 为原点的平面直角坐标系中，矩形 $O A B C$ 的两边 $O C$ 、 $O A$ 分别在 $x$ 轴、 $y$ 轴的正半轴上，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象与 $A B$ 相交于点 $D$ ，与 $B C$ 相交于点 $E$ ，若 $B D = 3 A D$ ，且 $△ O D E$ 的面积是 $6$ ，则 $k$ 的值为（）.

A、 $\frac{8}{5}$ B、8 C、6 D、 $\frac{16}{5}$

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7. 两个反比例函数y＝ $\frac{k}{x}$ 和y＝ $\frac{1}{x}$ 在第一象限内，点P在y＝ $\frac{k}{x}$ 的图象上，PC垂直于X轴于点C，交y＝ $\frac{1}{x}$ 的图象于点A，PD垂直于Y轴于D，交y＝ $\frac{1}{x}$ 的图象于点B，当点P在y＝ $\frac{k}{x}$ 的图象上运动时，下列结论错误的是（）

A、△ODB与△OCA的面积相等 B、当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点 C、只有当四边形OCPB为正方形时，四边形PAOB的面积最大 D、 $\frac{CA}{PA}$ ＝ $\frac{DB}{PB}$

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8. 如图，正方形ABCD位于第一象限，边长为3，点A在直线y=x上，点A的横坐标为1，正方形ABCD的边分别平行于x轴、y轴．若双曲线 $y = \frac{k}{x}$ 与正方形ABCD有公共点，则k的取值范围为（　　）

A、1＜k＜9 B、2≤k≤34 C、1≤k≤16 D、4≤k＜16

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二、填空题（每题3分，共15分）

9. 如图，点P是反比例函数 $y_{1} = \frac{5 \sqrt{2}}{x} (x > 0)$ 上一点，过点P作x轴、y轴的垂线，分别交反比例函数 $y_{2} = \frac{k}{x} (k > 0)$ 的图象于点A、B ，若 $O P = 2 A B$ ， $∠ O B A = 90 °$ ，则点P的坐标为．

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10. 如图，矩形 $A B C D$ 中，点 $B$ ， $C$ 在 $x$ 轴上， $A D$ 交 $y$ 轴于点 $E$ ，点 $F$ 在 $A B$ 上， $\frac{A F}{B F} = \frac{1}{2}$ ，连接 $C F$ 交 $y$ 轴于点 $G$ ，过点 $F$ 作 $F P ∥ x$ 轴交 $C D$ 于点 $P$ ，点 $P$ 在函数 $y = \frac{k}{x} (k < 0 ， x < 0)$ 的图象上.若 $△ B C G$ 的面积为 $2$ ，则 $k$ 的值为； $△ D E G$ 的面积与 $△ B O G$ 的面积差为 .

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11. 如图，在平面直角坐标系中，已知第一象限上的点A（m，n）是双曲线 $y = \frac{k}{x}$ 上的动点，过点A作AM∥y轴交x轴于点M，过点N（0，2n）作NB∥x轴交双曲线于点B，交直线AM于点C，若四边形OACB的面积为4，则k的值为．

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12. 如图， $▱ A B C D$ 的顶点 $A$ 在反比例函数 $y = - \frac{2}{x}$ 的图象上，顶点 $B$ 在 $x$ 轴的正半轴上，顶点 $C$ 和 $D$ 在反比例函数 $y = \frac{8}{x}$ 的图象上，且对角线 $A C // x$ 轴，则 $▱ A B C D$ 的面积等于．

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13. 如图，正方形ABCD的两个顶点A，B分别在x轴，y轴上，对角线相交于点E， $A B = 2 \sqrt{5}$ .若反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象经过D，E两点，则k的值是.

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三、解答题（共7题，共61分）

14. 如图，一次函数 $y = a x + b$ 的图与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象交于 $A (- 2 ， m)$ ， $B (4 ， - 2)$ 两点，与 $x$ 轴交于 $C$ 点，过 $A$ 作 $A D ⊥ x$ 轴于 $D$ ．

(1)、求这两个函数的解析式；

(2)、求 $△ A D C$ 的面积；

(3)、根据图象直接写出不等式 $a x + b > \frac{k}{x}$ 的解集．

(4)、在 $x$ 轴上是否存在一点 $P$ ，使 $△ A B P$ 的面积为9，求点 $P$ 的坐标

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15. 如图，已知一次函数图象y=x+b与y轴交于点C(0，1)，与反比例函数图象y= $\frac{k}{x}$ 交于点A(a，2)和点B两点．

(1)、求一次函数和反比例函数的解析式.

(2)、求点B的坐标和△AOB的面积.

(3)、若点M为y轴上的一个动点，N为平面内任意一点，当四边形ABMN是矩形时，请求出M点坐标．

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16. 如图，一次函数 $y = k x + b$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{m}{x} (x < 0)$ 的图象相交于点 $A (- 1 ， 6)$ ，与x轴交于点C，且 $∠ A C O = 45 °$ .

(1)、求反比例函数与一次函数关系式；

(2)、线段AC上是否存在一点D，使以点O、C、D为顶点的三角形是等腰三角形，若存在请求出D点坐标；若不存在，请说明理由.

(3)、点P是x轴上一点，是否存在以点A、C、P为顶点的三角形与 $△ A O C$ 相似，若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由.

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17. 如图，函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象过点 $A (n ， 2)$ 和 $B (\frac{8}{5} ， 2 n - 3)$ 两点．

(1)、求n和k的值；

(2)、将直线 $O A$ 沿x轴向左移动得直线 $D E$ ，交x 轴于点D ，交y 轴于点E ，交 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 于点C ，若 $S_{△ A C O} = 6$ ，求直线 $D E$ 解析式；

(3)、在（2）的条件下，第二象限内是否存在点F ，使得 $△ D E F$ 是以 $D E$ 为腰的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

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18. 如图，在平面直角坐标系中，四边形 $O A B C$ 是菱形，点 $A$ 在 $y$ 轴正半轴上，点 $B$ 的坐标是 $(- 4, 8)$ ，反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ （ $x < 0$ ）的图像经过点 $C$ ．

(1)、求反比例函数的解析式；

(2)、点 $D$ 在边 $C O$ 上，且 $\frac{C D}{D O} = \frac{3}{4}$ ，过点D作 $D E$ $∥ x$ 轴，交反比例函数的图象于点 $E$ ，求点 $E$ 的坐标；

(3)、在x轴上找一点 $P$ ，使 $P E + P C$ 的值最小，直接写出此时点 $P$ 的坐标．

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19. 综合与实践
如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为8m²的矩形地块ABCD种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为am．
【问题提出】
小组同学提出这样一个问题：若a＝10，能否围出矩形地块？

(1)、【问题探究】
小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：
设AB为xm，BC为ym．由矩形地块面积为8m² ，得到xy＝8，满足条件的（x，y）可看成是反比例函数y＝ $\frac{8}{x}$ 的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为10m，得到2x+y＝10，满足条件的（x，y）可看成一次函数y＝﹣2x+10的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的（x，y）就可以看成两个函数图象交点的坐标．
如图2，反比例函数y＝ $\frac{8}{x}$ （x＞0）的图象与直线l₁：y＝﹣2x+10的交点坐标为（1，8）和，因此，木栏总长为10m时，能围出矩形地块，分别为：AB＝1m，BC＝8m；或AB＝m，BC＝m．
根据小颖的分析思路，完成上面的填空；

(2)、【类比探究】
若a＝6，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由；

(3)、【问题延伸】
当木栏总长为am时，小颖建立了一次函数y＝﹣2x+a．发现直线y＝﹣2x+a可以看成是直线y＝﹣2x通过平移得到的，在平移过程中，当过点（2，4）时，直线y＝﹣2x+a与反比例函数y＝ $\frac{8}{x}$ （x＞0）的图象有唯一交点．
请在图2中画出直线y＝﹣2x+a过点（2，4）时的图象，并求出a的值；

(4)、【拓展应用】
小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“y＝﹣2x+a与y＝ $\frac{8}{x}$ 图象在第一象限内交点的存在问题”．
若要围出满足条件的矩形地块，且AB和BC的长均不小于1m，请直接写出a的取值范围．

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20. 如图①，一次函数 $y = \frac{1}{2} x + 2$ 的图象与 $y$ 轴交于点 $A$ ，点 $B$ 是反比例函数 $y = \frac{6}{x}$ 的图象与一次函数 $y = \frac{1}{2} x + 2$ 的图象在第一象限的交点．

(1)、求点B的坐标；

(2)、点 $C$ 是反比例函数 $y = \frac{6}{x}$ 在第一象限内的图象上有别于 $B$ 的另外一点，过点 $C$ 作 $C D$ $∥ A B$ 交 $x$ 轴于点 $D$ ．在 $x$ 轴正半轴上是否存在一点 $D$ ，使四边形 $A B C D$ 是平行四边形，如果存在，请确定 $A D$ 的长度，如果不存在，请说明理由．

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【培优版】北师大版数学九年级上册第六章 反比例函数 章节测试卷

一、选择题（每题3分，共24分）

二、填空题（每题3分，共15分）

三、解答题（共7题，共61分）

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