浙江省东阳市2024届高三5月模拟考试数学试题

试卷更新日期：2024-05-19 类型：高考模拟

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知全集 $U = R$ ，集合 $A = \{x ∣ x - 2 x^{2} \geq - 15\}$ ， $B = {x ∣ x \leq - 3$ 或 $x \geq 2}$ ，则 $A \cap ∁_{U} B =$ （）

A、 $[- \frac{5}{2}, 2)$ B、 $(- 3, - \frac{5}{2}]$ C、（－3，3] D、（2，3]

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2. 已知 $|\vec{a}| = 4$ ， $|\vec{b}| = 3$ ， $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}|$ ，则 $\vec{a} \cdot (\vec{a} - \vec{b}) =$ （）

A、 $- 16$ B、16 C、 $- 9$ D、9

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3. 命题P： $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， …， $x_{10}$ 的平均数与中位数相等；命题Q： $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， …， $x_{10}$ 是等差数列，则P是Q的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 已知 $△ A B C$ 中， $A = \frac{π}{6}$ ， $a = \sqrt{13}$ ， $b = 2$ ，则 $c =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $3 \sqrt{2}$ D、 $3 \sqrt{3}$

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5. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $3 S_{n} = 2 a_{n} - 1$ ，则 $a_{1} a_{3} a_{5} =$ （）

A、8 B、-8 C、64 D、-64

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6. 从数字1，2，3，4中选出3个不同的数字构成四位数，且相邻数位上的数字不相同，则这样的四位数个数为（）

A、36 B、54 C、60 D、72

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7. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{5} = 1 (a > \sqrt{5})$ ， $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 分别为其左右焦点，点M在C上，且 $∠ M F_{1} F_{2} = 60 °$ ，若 $△ M F_{1} F_{2}$ 的面积为 $\frac{5 \sqrt{3}}{2}$ ，则 $a =$ （）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、3 C、 $2 \sqrt{3}$ D、4

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8. 若存在直线与曲线 $f (x) = x^{3} - x$ ， $g (x) = x^{2} + a$ 都相切，则a的范围为（）

A、 $[- 1, + \infty)$ B、 $[- 1, \frac{5}{27}]$ C、 $[\frac{5}{27}, + \infty)$ D、 $(- \infty, \frac{5}{27}]$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. 已知复数z，则（）

A、 $|z| = |\bar{z}|$ B、 $|z + \bar{z}| = |z| + |\bar{z}|$ C、 $z^{2} = |\bar{z}|$ D、 $z \cdot \bar{z} = {|z|}^{2}$

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10. 已知函数 $f (x) = \sin 2 ω x \cos φ + \cos 2 ω x \sin φ (ω > 0, 0 < φ < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则（）

A、 $φ = \frac{π}{6}$ B、 $ω = 2$ C、 $f (x + \frac{π}{6})$ 为偶函数 D、 $f (x)$ 在区间 $[0, \frac{π}{2}]$ 的最小值为 $- \frac{1}{2}$

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11. 某班主任用下表分析高三前5次考试中本班级在年级中的成绩排名y与考试次数x的相关性时，忘记了第二次和第四次考试排名，但他记得平均排名 $\bar{y} = 6$ ，于是分别用 $m = 6$ 和 $m = 8$ 得到了两个经验回归方程： $\hat{y} = \hat{b_{1}} x + \hat{a_{1}}$ ， $\hat{y} = \hat{b_{2}} x + \hat{a_{2}}$ ，对应的样本相关系数分别为 $r_{1}$ ， $r_{2}$ ，排名y对应的方差分别为 $s_{1}^{2}$ ， $s_{2}^{2}$ ，则（）
x
1
2
3
4
5
y
10
m
6
n
2
附： $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} \cdot \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \cdot \bar{y}}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}} \cdot \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} y_{i}^{2} - n {\bar{y}}^{2}}}$
$\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \cdot \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ．

A、 $s_{1}^{2} < s_{2}^{2}$ B、 $r_{1} < r_{2}$ C、 $\hat{b_{1}} < \hat{b_{2}}$ D、 $\hat{a_{1}} < \hat{a_{2}}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，若 $P (- 1, 2)$ 为角α终边上的一点，则 $c o s α =$ ．

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13. 已知半径为1的圆经过点 $(3, 4)$ ，则其圆心到直线 $3 x - 4 y - 3 = 0$ 距离的最小值为．

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14. 四棱锥 $P - A B C D$ 的底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD ，且 $P A = \sqrt{2}$ ， $A B = 1$ ．四棱锥 $P - A B C D$ 的各个顶点均在球O的表面上， $B \in l$ ， l⊥OB ，则直线l与平面PAC所成夹角的范围为．

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 在 ${(\frac{x}{2} - \frac{1}{\sqrt[3]{x}})}^{8}$ 的二项式展开式的所有项中，依次不放回地抽取两项，且每一项被取到的可能性相等．

(1)、在第一次取到有理项的条件下，求第二次取到无理项的概率；

(2)、记取到有理项的项数为随机变量X ，求X的分布列及数学期望．

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16. 已知函数 $f (x) = a x + x l n x$ 在 $x = e$ （e为自然对数的底数）处取得极值．

(1)、求实数a的值；

(2)、若不等式 $\frac{f (x)}{x} > k (1 + \frac{1}{x})$ 恒成立，求k的范围．

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17. 如图所示的多面体由一个四棱锥和一个三棱柱组合而成，四棱锥 $P - A B B_{1} A_{1}$ 与三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的所有棱长都为2， $∠ C_{1} C A = ∠ C_{1} C B = 120 °$ ．

(1)、求直线AB与平面 $P A_{1} B_{1}$ 的距离；

(2)、求平面 $P B B_{1}$ 与平面 $A_{1} B C_{1}$ 夹角的余弦值．

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18. 已知抛物线： $Γ : y^{2} = 4 x$ ，焦点为F ， $A (x_{0}, y_{0}) (y_{0} \neq 0)$ 为Γ上的一个动点，l是Γ在点A处的切线，点P在l上且与点A不重合．直线PF与Γ交于B、C两点，且l平分直线AB和直线AC的夹角．

(1)、求l的方程（用 $x_{0}$ ， $y_{0}$ 表示）；

(2)、若从点F发出的光线经过点A反射，证明反射光线平行于x轴；

(3)、若点A坐标为 $(\frac{1}{4}, 1)$ ，求点P坐标．

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19. 若正实数数列 ${c_{n}}$ 满足 ${c_{n + 1}}^{2} \leq c_{n} c_{n + 2} (n \in N^{*})$ ，则称 ${c_{n}}$ 是一个对数凸数列；若实数列 ${d_{n}}$ 满足 $2 d_{n + 1} \leq d_{n} + d_{n + 2}$ ，则称 ${d_{n}}$ 是一个凸数列。已知 ${a_{n}}$ 是一个对数凸数列， $b_{n} = l n a_{n}$ ．

(1)、证明： $a_{1} a_{10} \geq a_{5} a_{6}$ ；

(2)、若 $a_{1} a_{2} \cdot \cdot \cdot a_{2024} = 1$ ，证明： $a_{1012} a_{1013} \leq 1$ ；

(3)、若 $b_{1} = 1$ ， $b_{2024} = 2024$ ，求 $b_{10}$ 的最大值．

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