湖南省长沙市雅礼教育集团2024-2025学年八年级上学期数学创新素养试卷

试卷更新日期：2024-10-10 类型：月考试卷

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一、填空题：本题共20小题，每小题4分，共80分。

1. 因式分解： $\frac{1}{4} m^{2} - \frac{1}{3} m n + \frac{1}{9} n^{2} =$ ．

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2. 计算： $(\frac{1}{a - 2} + a) \div \frac{a^{2} - 1}{a^{2} - 2 a} - \frac{a}{a + 1} =$ ．

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3. $(a - 2 b + 3 c) (a + 2 b - 3 c) =$ ．

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4. 已知 $x + y = 5$ ， $x y = 3$ ，则 $x^{2} + 5 x y + y^{2} =$ ．

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5. 已知 $a^{2} + a - 1 = 0$ ，则 $a^{3} + 2 a^{2} + 2024 =$ ．

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6. 若a²+b²+4a-6b+13=0，则a^b的值为.

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7. 已知 $a$ 和 $b$ 互为倒数， $a + b = 4$ ，求 $(a - b)^{2} =$ ．

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8. 若 $(x + p) (x + q) = x^{2} + m x + 36$ ，且 $p$ ， $q$ 为不大于 $10$ 的正整数，则 $m =$ ．

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9. 求值： $(2 + 1) \times (2^{2} + 1) \times (2^{4} + 1) \times (2^{8} + 1) \times . . . \times (2^{64} + 1) =$ ．

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10. 若 $\frac{x}{1 \times 2} + \frac{x}{2 \times 3} + \frac{x}{3 \times 4} + . . . + \frac{x}{10 \times 11} = \frac{20}{11}$ ，则 $x =$ ．

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11. 如图， $A B / / C D$ ，点 $P$ 到 $A B$ 、 $B C$ 、 $C D$ 距离都相等，则 $∠ P =$ ．

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12. 在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C$ 与 $∠ A C B$ 的平分线相交于点 $F$ ，过点 $F$ 作 $D E / / B C$ ，交 $A B$ 于点 $D$ ，交 $A C$ 于点 $E$ ，若 $B D + C E = 9$ ，则线段 $D E$ 之长为．

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13. 如图， $△ A B C$ 中， $O D$ 、 $O E$ 分别是 $A B$ 、 $B C$ 边上的垂直平分线， $O D$ 、 $O E$ 交于点 $O$ ，连接 $O A$ 、 $O C$ ，已知 $∠ B = 40 °$ ，则 $∠ O A C =$ $° .$

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14. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 $40 °$ ，则这个三角形的顶角为．

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15. 在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，3），在坐标轴上找一点P，使得△AOP是等腰三角形，则这样的点P共有个．

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16. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 2 ∠ C$ ， $B D$ 为 $△ A B C$ 的角平分线， $B C = 5$ ， $A B = 3$ ，则 $A D =$ ．

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17. 如图，正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ 是 $B C$ 上一点，点 $F$ 是 $D C$ 上一点， $∠ E A F = 45 °$ ，若 $B E = D F = 1$ ，则 $E F =$ ．

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18. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，AC=6，BC=8，CD= ．

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19. 如图，AD是△ABC的平分线，DF⊥AB于点F，DE＝DG，AG＝16，AE＝8，若S_△ADG＝64，则△DEF的面积为．

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20. 如图，等腰三角形ABC的底边BC长为6，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC ， AB于E ， F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM的周长的最小值为．

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二、解答题：本题共4小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

21. 在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，点 $D$ 是直线 $B C$ 上一点 $($ 不与点 $B$ ， $C$ 重合 $)$ ，把线段 $A D$ 绕着点 $A$ 逆时针旋转至 $A E ($ 即 $A D = A E)$ ，使得 $∠ D A E = ∠ B A C$ ，连接 $D B$ ， $C E$ ．

(1)、如图 $(1)$ ，点 $D$ 在线段 $B C$ 上，若 $∠ B A C = 90 °$ ，则 $∠ B C E =$ ；

(2)、如图 $(2)$ ，当点 $D$ 在线段 $B C$ 上时，若 $∠ B A C = 60 °$ ，请求出 $∠ B C E$ 的度数．

(3)、如图 $(3)$ ，设 $∠ B A C = α$ ， $∠ B C E = β$ ，当点 $D$ 在直线 $B C$ 上移动时，请直接写出 $α$ ， $β$ 的数量关系，不用证明．

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22. 在等边 $△ A B C$ 中， $D$ 为射线 $B C$ 上一点， $C E$ 是 $∠ A C B$ 外角的平分线， $∠ A D E = 60 °$ ， $E F ⊥ B C$ 于 $F .$ 如图所示．

(1)、求证： $C E / / A B$ ；

(2)、若点 $D$ 在线段 $B C$ 上 $($ 不与 $B$ ， $C$ 点重合 $)$ ，求证： $B C = D C + 2 C F$ ．

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23. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 90 °$ ， $B C = a$ ，点 $D$ 是 $B C$ 上一动点（不与点 $B$ ， $C$ ）重合， $∠ B D E = \frac{1}{2} ∠ C$ ， $B E ⊥ D E$ ．

(1)、求 $∠ A F D$ 的度数；

(2)、在点 $D$ 运动过程中， $\frac{B E}{D F}$ 的值是否为定值？说明理由；

(3)、当 $C D = \frac{1}{3} B C$ 时，连接 $A D$ ， $△ A B D$ 三边上分别有动点 $P$ 、 $M$ 、 $N$ ，（点 $P$ 在 $B D$ 上），当 $△ P M N$ 的周长取最小值时，求 $A P$ 的长．

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24.
问题情境：如图 $1$ ，在直角三角形 $A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A D ⊥ B C$ 于点 $D$ ，可知： $∠ B A D = ∠ C ($ 不需要证明 $)$ ；

(1)、特例探究：如图 $2$ ， $∠ M A N = 90 °$ ，射线 $A E$ 在这个角的内部，点 $B$ 、 $C$ 在 $∠ M A N$ 的边 $A M$ 、 $A N$ 上，且 $A B = A C$ ， $C F ⊥ A E$ 于点 $F$ ， $B D ⊥ A E$ 于点 $D .$ 证明： $△ A B D$ ≌ $△ C A F$ ；

(2)、归纳证明：如图 $3$ ，点 $B$ ， $C$ 在 $∠ M A N$ 的边 $A M$ 、 $A N$ 上，点 $E$ ， $F$ 在 $∠ M A N$ 内部的射线 $A D$ 上， $∠ 1$ 、 $∠ 2$ 分别是 $△ A B E$ 、 $△ C A F$ 的外角．已知 $A B = A C$ ， $∠ 1 = ∠ 2 = ∠ B A C .$ 求证： $△ A B E$ ≌ $△ C A F$ ；

(3)、拓展应用：如图 $4$ ，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $A B > B C .$ 点 $D$ 在边 $B C$ 上， $C D = 2 B D$ ，点 $E$ 、 $F$ 在线段 $A D$ 上， $∠ 1 = ∠ 2 = ∠ B A C .$ 若 $△ A B C$ 的面积为 $15$ ，则 $△ A C F$ 与 $△ B D E$ 的面积之和为．

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