湖南省长沙市长郡教育集团2024-2025学年七年级上学期数学9月能力测评试卷

试卷更新日期：2024-10-10 类型：月考试卷

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一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. “宫、商、角、徵、羽”是我国古代音乐的基本音阶 $.$ 基本音阶“商”的发音管比“徵”的发音管短 $\frac{1}{3}$ ， “徵”和“商”的发音管长度比是( )

A、 $3$ ： $2$ B、 $3$ ： $4$ C、 $4$ ： $3$ D、 $2$ ： $1$

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2. 一张圆形的纸，要想找到它的圆心，至少要对折( )次．

A、 $1$ B、 $2$ C、 $4$ D、 $8$

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3. 睡鼠是冬眠时间最长的动物，一般每年有 $5 ～ 6$ 个月的时间处于冬眠状态 $.$ 动物学家跟踪研究的一只睡鼠从去年 $10$ 月 $21$ 日开始冬眠，直到今年 $4$ 月 $3$ 日才出洞，这只睡鼠冬眠了( )天．

A、 $163$ B、 $164$ C、 $165$ D、 $166$

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4. 若 $a$ 和 $b$ 都是非零自然数，如果 $a \div b = 7$ ，那么 $a$ 和 $b$ 的最大公因数是( )

A、 $1$ B、 $7$ C、 $a$ D、 $b$

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5. 如图，一枚圆形古钱币的中间是一个正方形孔，已知圆的直径 $A B$ 与正方形的对角线 $C D$ 之比为 $3$ ： $1$ ，则圆的面积约为正方形面积的( )

A、 $27$ 倍 B、 $14$ 倍 C、 $9$ 倍 D、 $3$ 倍

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6. 有一张方格纸，每个小方格的边长是 $1$ 厘米，上面堆叠有棱长 $1$ 厘米的小正方体 $($ 如图 $)$ ，小正方体 $A$ 的位置用 $(1,1, 1)$ 表示，小正方体 $B$ 的位置用 $(2,6, 5)$ 表示，那么小正方体 $C$ 的位置可以表示成( )

A、 $(6,2, 3)$ B、 $(2,2, 3)$ C、 $(2,6, 3)$ D、无正确选项

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7. $6$ 的因数有 $1$ ， $2$ ， $3$ ， $6$ ，这几个因数的关系是： $1 + 2 + 3 = 6 .$ 像 $6$ 这样，等于除了它自身以外的全部因数之和的数，叫作完全数 $.$ 下面的数中，( )是完全数．

A、 $8$ B、 $28$ C、 $36$ D、 $49$

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8. 考古学家常常利用文物中“碳 $- 14$ ” $($ 一种元素 $)$ 的含量来测定其年份 $.$ “碳 $- 14$ ”测年法的依据是：生物死亡后，其“碳 $- 14$ ”的含量大概每过 $5730$ 年会减少到原来的一半 $.$ 湖北省博物馆存有一件 $1965$ 年出土的国家一级文物 $— —$ 越王勾践剑，春秋晚期 $($ 公元前 $494$ 元 $)$ 越国青铜器 $.$ 越王勾践剑中现在的“碳 $- 14$ ”含量与制造时“碳 $- 14$ ”含量的比值最可能在以下( )范围内．

A、 $\frac{1}{2} ～ 1$ B、 $\frac{1}{4} ～ \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{8} ～ \frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{16} ～ \frac{1}{8}$

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9. 古希腊数学家欧几里得证明了素数 $($ 也就是质数 $)$ 有无限多个，提出少量素数可以写成“ $2^{p} - 1$ ”的形式，这里的 $p$ 也是一个素数 $.$ 千百年来一直吸引着众多的数学家对它进行研究和探索， $17$ 世纪法国著名数学家马林 $\cdot$ 梅森是其中成果较为卓著的一位，因此后人将“ $2^{p} - 1$ ”型的素数称为梅森素数 $.$ 下面 $4$ 个数中，( )是梅森素数 $. ($ 注： $2^{p}$ 表示 $p$ 个 $2$ 相乘 $)$

A、 $17$ B、 $15$ C、 $7$ D、 $1$

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10. 设 $n$ 为正整数，若不超过 $n$ 的正整数中质数的个数等于合数个数，则称 $n$ 为“好数”，那么，所有“好数”之和为( )

A、 $33$ B、 $34$ C、 $2013$ D、 $2014$

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二、填空题：本题共10小题，每小题4分，共40分。

11. 在 $15$ ， $1.67$ ， $\frac{8}{5}$ ， $66.7 %$ 四个数中，最大的数是，最小的数是．

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12. 一个长方体纸盒的两个面如图，这个长方体纸盒的表面积是 $c m^{2} . ($ 单位： $c m)$

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13. 找规律填空： $0.5$ ， $\frac{2}{5}$ ， $37.5 %$ ， $\frac{4}{11}$ ， $\frac{5}{14}$ ， $($ 填分数 $)$ ．

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14. 社会主义核心价值是：富强、民主、文明、和谐；自由、平等、公正、法治；爱国、敬业、诚信、友善，一共 $24$ 个字，现有 $4$ 、 $4$ 、 $10$ 、 $10$ 、这四个数，仅用加减乘除运算符号和括号，列出一条算式，算得结果是 $24 .$ 这条算式是．

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15. 用“ $◎$ ”表示一种新的运算符号，已知： $2 ◎ 3 = 2 + 3 + 4$ ； $7 ◎ 2 = 7 + 8$ ； $3 ◎ 5 = 3 + 4 + 5 + 6 + 7$ ， $\dots$ ，按此规律，则 $401 ◎ 5 =$ ．

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16. 一本书的定价是 $15$ 元，可获利 $25 %$ ，要想获利四成，应定价元 $.$

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17. 在比例尺为 $1$ ： $10000000$ 的地图上，量得 $A$ 、 $B$ 两地的距离是 $6.6 c m .$ 如果小明早上 $9$ 时从 $A$ 地乘坐平均时速为 $220 k m$ 的高铁出发，那么他小时可以到达 $B$ 地．

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18. 等底等高的一个圆柱和一个圆锥的体积相差 $6.28$ 立方分米，它们体积之和是立方分米．

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19. 有甲、乙、丙三人，甲每分钟走 $100$ 米，乙每分钟走 $80$ 米，丙每分钟走 $75$ 米 $.$ 现在甲从东村，乙、丙两人从西村同时出发相向而行，在途中甲与乙相遇 $6$ 分钟后，又与丙相遇 $.$ 那么，东、西两村之间的距离是米 $.$

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20. 定义运算“ $*$ “如下：对任意有理数 $x$ ， $y$ 和 $z$ 都有 $x * x = 0$ ， $x * (y * z) = (x * y) + z$ ，这里“ $+$ ”号表示数的加法，则 $2005 * 1950 =$ ．

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三、解答题：本题共4小题，共30分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

21. 计算：

(1)、 $3 \frac{7}{20} \div [5 \frac{3}{4} - 4.5 \times (20 % + \frac{1}{3})]$ ；

(2)、 $6 \frac{1}{4} \times 0.125 + \frac{1}{8} \times 2 \frac{3}{4} + 12.5 %$ ；

(3)、 $\frac{1}{2} + \frac{3}{4} + \frac{7}{8} + \frac{15}{16} + \frac{31}{32} + \frac{63}{64}$ ．

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22. 将循环小数化为分数：整数、有限小数、循环小数都可以化成分数，整数和有限小数化成分数容易，循环小数如何化成分数呢？请看下面的例子．
将循环小数 $0.288 \dots$ 化成分数：将 $0.288 \dots$ 分别乘 $10$ 和 $100$ ，得 $2.88 \dots$ 和 $28.88 \dots$ ，两个得数相减得 $26 ($ 两个得数小数部分相同 $)$ ，而相减所得的 $26$ 应该是 $0.288 \dots$ 的 $(100 - 10)$ 倍，所以 $0.288 \dots = \frac{26}{90} = \frac{13}{45}$ ，你读懂这个例子了吗？
请仿照上面的办法将下列循环小数化成分数：

(1)、 $0.3 \overset{\cdot}{6}$ ；

(2)、 $0$ ． $\overset{\cdot}{3} \overset{\cdot}{6}$ ；

(3)、 $1$ ． $\overset{\cdot}{3} 0 \overset{\cdot}{6}$ ．

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23. 对于数 $x$ 、 $y$ ，我们定义一种新运算 $G (x, y) = \frac{1}{2} x + b y$ ，由这种运算得到的数，我们称之为“吉祥数”，记为 $G (x, y)$ ，这时 $x$ ， $y$ 叫做吉祥数对，如 $G (1,2) = \frac{1}{2} \times 1 + b \times 2 = \frac{1}{2} + 2 b$ ．

(1)、若 $G (x, y) = \frac{1}{2} x + \frac{1}{3} y$ ，则 $G (2,1) + G (\frac{3}{2}, \frac{1}{2})$ 等于多少？

(2)、已知 $G (x, y) = \frac{1}{2} x + b y$ ， $G (\frac{1}{3}, \frac{1}{2}) = 2$ ，求 $b$ 的值．

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24. 阅读材料．
材料一：
一个大于 $1$ 的正整数，若被 $N$ 除余 $1$ ，被 $(N - 1)$ 除余 $1$ ，被 $(N - 2)$ 除余 $1 \dots \dots$ ，被 $3$ 除余 $1$ ，被 $2$ 除余 $1$ ，那么称这个正整数为“明 $N$ 礼数 $(N$ 取最大 $)$ ”．
例如： $73 ($ 被 $5$ 除余 $3)$ 被 $4$ 除余 $1$ ，被 $3$ 除余 $1$ ，被 $2$ 除余 $1$ ，那么 $73$ 为“明四礼数”．
材料二：
设 $N$ ， $(N - 1)$ ， $(N - 2)$ ， $\dots \dots$ ， $3$ ， $2$ 的最小公倍数为 $k$ ，那么“明 $N$ 礼数”可以表示为 $k n + 1 (n$ 为正整数 $)$ ．
例如： $6$ ， $5$ ， $4$ ， $3$ ， $2$ 的最小公倍数为 $60$ ，那么“明六礼数”可以表示为 $60 n + 1 (n$ 为正整数 $)$ ．
解答下列问题：

(1)、若 $31$ 是“明 $N$ 礼数”，直接写出 $N$ 的值；

(2)、求出最小的“明四礼数”；

(3)、一个“明四礼数”与“明五礼数”的和为 $170$ ，求出这两个数．

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