人教版数学九年级全册知识点训练营——辅助圆模型

试卷更新日期：2024-10-10 类型：复习试卷

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一、定点定长辅助圆

1. 如图，矩形 $A B C D$ 中， $A B = \sqrt{3}$ ， $B C = 1$ ，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿 $A B$ ， $C D$ 向终点B，D运动，过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，则 $A G$ 的最大值为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、2 D、1

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二、定角定弦辅助圆

2. 如图，在菱形ABCD中， $∠ B A D = 135 °$ ， $A B = 4 \sqrt{2}$ ， P是菱形ABCD内或边上的一点，且 $∠ D A P + ∠ C B P = 90 °$ ，连接DP ， CP ，则△DCP的面积的最小值为（）

A、 $8 \sqrt{2} - 8$ B、 $8 - \frac{5}{2} \sqrt{3}$ C、 $4 \sqrt{2}$ D、 $4 - 2 \sqrt{2}$

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3. 如图，P为矩形 $A B C D$ 的边 $A B$ 的延长线上的动点， $A H ⊥ P C$ 于H ，点E在边 $A D$ 上，若 $A B = 6$ ， $B C = 8$ ， $A E = 2$ ，则线段 $E H$ 的最大值为（）

A、 $\sqrt{5} + 6$ B、 $\sqrt{6} + 5$ C、 $2 \sqrt{3} + 6$ D、 $\sqrt{13} + 5$

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4. 如图， $⊙$ O 的半径为6，弦AB=6，点Р为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的最大面积是（）

A、 $6 \sqrt{5}$ B、 $9 \sqrt{3}$ C、 $6 \sqrt{2}$ D、9

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5. 如图，在矩形 $A B C D$ 中，已知 $A B = 2 c m ， B C = 4 c m$ ，现有一根长为 $2 c m$ 的木棒 $E F$ 紧贴着矩形的边（即两个端点始终落在矩形的边上），按逆时针方向滑动一周，则水棒 $E F$ 的中点 $P$ 在运动过程中所围成的图形的面积为（）

A、 $（ 8 - π ） {c m}^{2}$ B、 $4 {c m}^{2}$ C、 $（ 3 + π ） {c m}^{2}$ D、 $8 {c m}^{2}$

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6. 如图，在等边三角形 $A B C$ 中， $A B = 2 \sqrt{3} ， P$ 是 $△ A B C$ 内部的一个动点，且满足 $∠ A P B = 90^{\circ}$ ，则线段 $C P$ 长的最小值为（）

A、2 B、 $3$ C、 $4 - \sqrt{3}$ D、 $3 - \sqrt{3}$

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7. 如图， $E ， F$ 分别是正方形 $A B C D$ 的边 $A B ， B C$ 上的动点，满足 $A E = B F$ ，连结 $C E ， D F$ ，相交于点 $G$ ，连结 $A G$ ，若正方形的边长为 2 ，则线段 $A G$ 的最小值为

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8. 如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，AB＝4，点P是BC边上的动点，过点C作直AP的垂线，垂足为Q，当点P从点C运动到点B时，点Q的运动路径长为．

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9. 如图，在边长为 6 的等边三角形 $A B C$ 中， $E ， F$ 分别是边 $A C ， B C$ 上的动点，且 $A E = C F$ ，连结 $B E ， A F$ 交于点 $P$ ，连结 $C P$ ，则 $C P$ 的最小值为

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10. 【问题情境】
在综合实践活动课上，李老师让同桌两位同学用相同的两块含 $3 0^{°}$ 的三角板开展数学探究活动.两块三角板分别记作 $△ A D B$ 和 $△ A^{^{'}} D^{^{'}} C, ∠ A D B = ∠ A^{^{'}} D^{^{'}} C = 9 0^{°}, ∠ B = ∠ C = 3 0^{°}$ ，设AB $= 2$ .
【操作探究】
如图(1)，先将 $△ A D B$ 和 $△ A^{^{'}} D^{^{'}} C$ 的边 $A D, A^{^{'}} D^{^{'}}$ 重合，再将 $△ A^{^{'}} D^{^{'}} C$ 绕着点 $A$ 按顺时针方向旋转，旋转角为 $α (0^{°} ⩽ α ⩽ 36 0^{°})$ ，旋转过程中 $△ A D B$ 保持不动，连接BC.

(1)、当 $α = 6 0^{°}$ 时， $B C =$ ；当 $B C = 2 \sqrt{2}$ 时， $α =$ $°$

(2)、当 $α = 9 0^{°}$ 时，画出图形，并求两块三角板重叠部分图形的面积；

(3)、如图(2)，取BC的中点 $F$ ，将 $△ A^{^{'}} D^{^{'}} C$ 绕着点 $A$ 旋转一周，点 $F$ 的运动路径长为.

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11. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $A B = 4$ ， $A C = 6$ ，以C为圆心， $2 \sqrt{2}$ 为半径作圆.点D为AB上的动点，DP、DQ分别切圆C于点P、点Q，连结PQ，分别交AC和BC于点E、F，取PQ的中点M.

(1)、当 $∠ P D Q = 50 °$ 时，求劣弧PQ的度数；

(2)、当 $C E = C F$ 时，求AD的长；

(3)、连结 $C M$ ， $B M$ .
①证明： $M E \cdot C A = C M \cdot A D$ .
②在点D的运动过程中，BM是否存在最小值？若存在，直接写出BM的值；若不存在，请说明理由.

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三、定角定高辅助圆

12. 如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=6.折叠该菱形，使点A落在边BC上的点M处，折痕分别与边AB，AD相交于点E，F.当点M与点B重合时，EF的长为；当点M的位置变化时，DF长的最大值为.

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四、最大张角辅助圆

13. 如图.在正方形ABCD中，边长为4，M是CD的中点，点P是BC上一个动点，当∠DPM的度数最大时，则BP=.

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14. 如图，⊙O的半径为2，AB、CD是互相垂直的两条直径，点P是⊙O上任意一点，过点P作PM⊥AB于M，PN⊥CD于N，点Q是MN的中点，当点P沿着圆周从点D逆时针方向运动到点C的过程中，当∠QCN度数取最大值时，线段CQ的长为.

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