广东省广州市番禺中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

试卷更新日期：2024-06-07 类型：期中考试

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.

1. 设 $i$ 是虚数单位，则复数 $\frac{i + 1}{2 + i}$ 在复平面内所对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 已知集合 $A = \{x |x^{2} - 4 x - 5 \geq 0\}, B = \{x |a - 3 < x < a + 4\}$ ，若 $A \cup B = R$ ，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $\{a |a > 1\}$ B、 $\{a |1 < a < 2\}$ C、 $\{a |a < 2\}$ D、 $\{a |1 \leq a \leq 2\}$

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3. 已知角 $α$ 顶点在原点，始边与 $x$ 轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点 $P (- \frac{3}{5}, \frac{4}{5})$ ，则 $cos (α + \frac{π}{4}) =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{2}}{10}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{10}$ C、 $- \frac{7 \sqrt{2}}{10}$ D、 $\frac{7 \sqrt{2}}{10}$

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4. 中国救援力量在国际自然灾害中为拯救生命作出了重要贡献，很好地展示了国际形象，增进了国际友谊，多次为祖国赢得了荣誉．现有5支救援队前往 $A, B, C$ 三个受灾点执行救援任务，若每支救援队只能去其中的一个受灾点，且每个受灾点至少安排1支救援队，其中甲和乙两支救援队必须去同一个受灾点，则不同的安排方法数是（）

A、18 B、24 C、36 D、48

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5. 已知离散型随机变量X 的分布列如下表：若离散型随机变量 $Y = 2 X + 1$ ，则 $P (Y \geq 5) =$ （）
X
0
1
2
3
P
a
$\frac{1}{3}$
5a
$\frac{1}{6}$

A、 $\frac{7}{12}$ B、 $\frac{5}{12}$ C、 $\frac{5}{6}$ D、 $\frac{3}{4}$

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6. 若偶函数 $f (x)$ 定义域为 $(- \infty, 0) \cup (0, + \infty) ， f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上的图象如图所示，则不等式 $f (x) f^{'} (x) > 0$ 的解集是（）

A、 $(- \infty, - 1) \cup (0, 1)$ B、 $(- 1, 0) \cup (1, + \infty)$ C、 $(- \infty, - 1) \cup (1, + \infty)$ D、 $(- 1, 0) \cup (0, 1)$

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7. 下列命题正确的是（）

A、已知随机变量 $X \sim B (n, p)$ ，若 $E (X) = 30, D (X) = 10$ ，则 $p = \frac{1}{3}$ B、若随机变量 $X$ 满足 $D (X) = 2$ ，则 $D (3 - X) = 1$ C、已知随机变量 $X \sim B (n, \frac{1}{2})$ ，若 $E (2 X + 1) = 9$ ，则 $n = 4$ D、已知随机变量 $X \sim B (6, \frac{1}{2})$ ，则 $P (X = 3) = \frac{5}{16}$

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8. 设 $a = \frac{l n 2}{2}$ ， $b = \frac{1}{e}$ ， $c = \frac{2 + l n 2}{2 e^{2}}$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小顺序为（）

A、 $c > b > a$ B、 $b > c > a$ C、 $b > a > c$ D、 $c > a > b$

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二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 关于 ${(7 - x)}^{7}$ 的展开式，下列判断正确的是（）

A、展开式共有 $7$ 项 B、展开式的各二项式系数的和为128 C、展开式的第 $7$ 项的二项式系数为49 D、展开式的各项系数的和为 $6^{7}$

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10. 甲盒中有3个红球和2个白球，乙盒中有2个红球和3个白球．先从甲盒中随机取出一球放入乙盒，用事件 $E$ 表示“从甲盒中取出的是红球”；用事件 $F$ 表示“从甲盒中取出的是白球”，再从乙盒中随机取出一球，用事件 $G$ 表示“从乙盒中取出的是红球”，则下列结论中正确的是（　　）

A、事件 $F$ 与 $G$ 是互斥事件 B、事件 $E$ 与事件 $G$ 不相互独立 C、 $P (G) = \frac{13}{30}$ D、 $P (G | E) = \frac{1}{2}$

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11. 已知函数 $f (x) = e^{x}$ ， $g (x) = \ln x$ ，下列结论正确的有（）

A、函数 $y = \frac{g (x)}{f (x)}$ 有极大值，且极大值点 $x_{0} \in (1, 2)$ B、 $e \ln 2 > \ln 3$ C、函数 $y = f (x) - g (x)$ 的最小值为2 D、若 $P$ 、 $Q$ 分别是曲线 $f (x) = e^{x}$ ， $g (x) = \ln x$ 上的动点，则 $|P Q|$ 的最小值为 $\sqrt{2}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. $(2 + x) {(x - 2)}^{5}$ 的展开式中 $x^{2}$ 的系数为（用数字作答）．

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13. 某小区有5个区域要种上鲜花（如图），现有四种不同品种的鲜花可供选择，每个区域只能种一种鲜花，要求相邻区域不能种同一种鲜花，则符合条件的方案有种．

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14. 若函数 $f (x) = \ln x + 2 x^{2} - a x$ 的图象上存在与直线 $2 x - y = 0$ 平行的切线，则实数a的取值范围是．

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 已知 $S_{n}$ 是数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和， $a_{1} = 2$ ， $\{\frac{S_{n}}{n}\}$ 是公差为1的等差数列.

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、证明： $\frac{1}{a_{1} a_{2}} + \frac{1}{a_{2} a_{3}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}} < \frac{1}{4}$ .

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16. 为降低工厂废气排放量，某厂生产甲、乙两种不同型号的减排器，现分别从甲、乙两种减排器中各抽取100件进行性能质量评估检测，综合得分 $k$ 的频率分布直方图如图所示：

减排器等级及利润率如下表，其中 $\frac{1}{7} < a < \frac{1}{6}$ ．
综合得分 $k$ 的范围
减排器等级
减排器利润率
$k \geq 85$
一级品
$2 a$
$75 \leq k < 85$
二级品
$3 a^{2}$
$70 \leq k < 75$
三级品
$a^{2}$

(1)、若从这100件甲型号减排器中按等级用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取10件，再从这10件产品中随机抽取5件，求抽取的5件中至少有3件一级品的概率；

(2)、将频率分布直方图中的频率近似地看作概率，用样本估计总体，则：
①若从乙型号减排器中随机抽取4件，记 $X$ 为其中二级品的个数，求 $X$ 的分布列及数学期望；
②从数学期望来看，投资哪种型号的减排器利润率较大？

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17. 如图，在斜三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $△ A B C$ 是边长为2的正三角形， $△ A A_{1} C$ 是以AC为斜边的等腰直角三角形且侧面 $A A_{1} C_{1} C ⊥$ 底面 $A B C$ ，点 $O$ 为 $A C$ 中点，点 $F$ 为 $B_{1} C_{1}$ 的中点．

(1)、求证： $A_{1} O ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、求平面 $A B C$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 夹角的正弦值．

(3)、过 $A_{1}$ 作与 $A F$ 垂直的平面 $α$ ，交直线 $B C$ 于点 $Q$ ，求 $B Q$ 的长度．

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18. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $P (3 \sqrt{2}, \sqrt{2})$ ，且它的长轴长是短轴长的3倍．斜率为 $\frac{1}{3}$ 的直线l与椭圆C交于A，B两点（如图所示，点P在直线l的上方）．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、试判断直线PA，PB的斜率和是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．

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19. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + x + a ln (x + 1)$ ， $a \in R$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、证明：当 $a < - 1$ 时， $a^{2} + f (x) > 1$ ．

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综合得分 $k$ 的范围	减排器等级	减排器利润率
$k \geq 85$	一级品	$2 a$
$75 \leq k < 85$	二级品	$3 a^{2}$
$70 \leq k < 75$	三级品	$a^{2}$

X	0	1	2	3
P	a	$\frac{1}{3}$	5a	$\frac{1}{6}$