【培优版】北师大版数学九年级上册6.2反比例函数的图象与性质同步练习

试卷更新日期：2024-10-09 类型：同步测试

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一、选择题

1. 已知 $(x_{1} ， y_{1})$ 、 $(x_{2} ， y_{2})$ 、 $(x_{3} ， y_{3})$ 为双曲线 $y = - \frac{1}{x}$ 上的三个点，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，则以下判断正确的是（）

A、若 $x_{1} x_{2} > 0$ ，则 $y_{1} y_{3} < 0$ B、若 $x_{1} x_{3} < 0$ ，则 $y_{1} y_{2} > 0$ C、若 $x_{2} x_{3} > 0$ ，则 $y_{1} y_{3} > 0$ D、若 $x_{2} x_{3} < 0$ ，则 $y_{1} y_{3} < 0$

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2. 如图 $1$ ，点 $A$ 、 $B$ 在反比例函数 $y = \frac{k_{1}}{x} (k_{1} \neq 0)$ 的图象上，过点 $A$ 、 $B$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足分别为 $M$ ， $N$ ，延长线段 $A B$ 交 $x$ 轴于点 $C$ ，当 $O M = M N = N C$ 时，阴影部分的面积 $S_{阴} = 1$ ；如图 $2$ ，点 $A$ 、 $B$ 在反比例函数 $y = \frac{k_{2}}{x} (k_{2} \neq 0)$ 的图象上，过点 $A$ 、 $B$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足分别为 $M$ ， $N$ ，连接 $O B$ ，交 $A$ 于 $A M$ 于点 $C$ ，当 $A C = 2 C M$ 时，阴影部分的面积 $S_{阴} = 2$ ，则 $k_{1} - k_{2}$ 的值为（）

A、 $2$ B、 $- 2$ C、 $10$ D、 $- 10$

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3. 如图，在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图像上，有点 $P_{1}$ ， $P_{2}$ ， $P_{3}$ ， $P_{4}$ ，它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作垂直于x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{3}$ ，若 $S_{1} + S_{2} + S_{3} = 3$ ，则 $k$ 的值为（）

A、2.5 B、3 C、4 D、无法确定

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4. 如图，已知点A（3，0），B（0，4），C是y轴上位于点B上方的一点，AD平分∠OAB，BE平分∠ABC，直线BE交AD于点D．若反比例函数y= $\frac{k}{x}$ （x＜0）的图象经过点D，则k的值是（　　）

A、-8 B、-9 C、-10 D、-12

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5. 如图，平行四边形 $A B C O$ 的顶点 $B$ 在双曲线 $y = \frac{6}{x}$ 上，顶点 $C$ 在双曲线 $y = \frac{k}{x}$ 上， $B C$ 中点 $P$ 恰好落在 $y$ 轴上，已知 $S_{▱ O A B C} = 10$ ，则 $k$ 的值为（）

A、-8 B、-6 C、-4 D、-2

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6. 如图， $R t Δ A B O$ 中， $∠ A O B = 90 °$ ， $A O = 3 B O$ ，点 $B$ 在反比例函数 $y = \frac{2}{x}$ 的图象上， $O A$ 交反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象于点 $C$ ，且 $O C = 2 C A$ ，则 $k$ 的值为（）

A、-2 B、-4 C、-6 D、-8

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7. 如图， $△ A B C$ 的边 $A B$ 在x轴上，边 $A C$ 交y轴于点E， $A E ： E C = 1 ： 2$ ，反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 过C点，且交线段 $B C$ 于D， $B D ： D C = 1 ： 3$ ，连接 $A D$ ，若 $S_{△ A B D} = \frac{11}{4}$ ，则k的值为（）

A、 $\frac{11}{2}$ B、 $\frac{33}{4}$ C、4 D、6

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8. 如图，点A、M是第一象限内双曲线 $y = \frac{k}{x}$ （k为常数， $k \neq 0$ ， $x > 0$ ）上的点（点M在点A的左侧），若M点的纵坐标为1，且△OAM为等边三角形，则k的值为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $2 + \sqrt{3}$ C、 $2 - \sqrt{3}$ D、 $2 \pm \sqrt{3}$

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二、填空题

9. 如图，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象经过矩形 $O A B C$ 对角线的交点 $M$ ，分别交 $A B$ ， $B C$ 于点 $D$ 、 $E$ ．若四边形 $O D B E$ 的面积为12，则 $k$ 的值为．

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10. 如图，点 $A$ 在反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ （ $k \neq 0$ ）的图象上，且点 $A$ 是线段 $O B$ 的中点，点 $D$ 为 $x$ 轴上一点，连接 $B D$ 交反比例函数图象于点 $C$ ，连接 $A C$ ，若 $B C ： C D = 2 ： 1$ ， $S_{△ A D C} = \frac{10}{3}$ ，则 $k$ 的值为．

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11. 如图，已知在平面直角坐标系xOy中，Rt△OAB的直角顶点B在x轴的正半轴上，点A在第一象限，反比例函数y＝ $\frac{k}{x}$ （x＞0）的图象经过OA的中点C ．交AB于点D ，连结CD ．若△ACD的面积是2，则k的值是．

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12. 如图，已知等边 $△$ $O A_{1} B_{1}$ ，顶点 $A_{1}$ 在双曲线 $y = \frac{\sqrt{3}}{x} (x > 0)$ 上，点 $B_{1}$ 的坐标为 $(2 ， 0)$ ．过 $B_{1}$ 作 $B_{1} A_{2} ∥ O A_{1}$ 交双曲线于点 $A_{2}$ ，过 $A_{2}$ 作 $A_{2} B_{2} ∥ A_{1} B_{1}$ 交 $x$ 轴于点 $B_{2}$ ，得到第二个等边 $△$ $B_{1} A_{2} B_{2}$ ；过 $B_{2}$ 作 $B_{2} A_{3} ∥ B_{1} A_{2}$ 交双曲线于点 $A_{3}$ ，过 $A_{3}$ 作 $A_{3} B_{3} ∥ A_{2} B_{2}$ 交 $x$ 轴于点 $B_{3}$ ，得到第三个等边 $△$ $B_{2} A_{3} B_{3}$ ；以此类推，…，则点 $B_{12}$ 的坐标为．

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13. 如图，在矩形AOBC中，OB＝8，OA＝6，分别以OB，OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，F是边BC上的一个动点（不与B，C重合），过F点的反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ （k＞0）的图象与AC边交于点E，将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上的点D处，则k的值为.

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三、解答题

14. 如图是8个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作 $T_{m} (m$ 为 $1 ~ 8$ 的整数）．反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x < 0)$ 的图象为曲线 $L$ ．

(1)、若 $L$ 过点 $T_{1}$ ，求反比例函数的解析式；

(2)、若 $L$ 过点 $T_{4}$ ，则它必定还过另一点 $T_{m}$ ，求 $T_{m}$ 的坐标；

(3)、若曲线 $L$ 使得 $T_{1} ~ T_{8}$ 这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，求出所有满足条件的整数 $k$ ．

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15. 综合与探究
如图1，反比例函数的图象 $y = - \frac{8}{x}$ 经过点A，点A的横坐标是－2，点A关于坐标原点O的对称点为点B，作直线 $A B$ ．

(1)、判断点B是否在反比例函数 $y = - \frac{8}{x}$ 的图象上，并说明理由；

(2)、如图1，过坐标原点O作直线交反比例函数 $y = - \frac{8}{x}$ 的图象于点C和点D，点C的横坐标是4，顺次连接 $A D$ ， $D B$ ， $B C$ 和 $C A$ ．求证：四边形 $A C B D$ 是矩形；

(3)、已知点P在x轴的正半轴上运动，点Q在平面内运动，当以点O，B，P和Q为顶点的四边形为菱形时，请直接写出此时点P的坐标．

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16. 如图，在平面直角坐标系中， $C (8 ， 0)$ 、 $B (0 ， 6)$ 是矩形 $A B O C$ 的两个顶点，点D是线段 $A B$ 上的一个动点(不与 $A 、 B$ 重合)，双曲线 $y = \frac{k}{x}$ ( $k > 0$ )经过点D，与矩形 $A B O C$ 的边 $A C$ 相交于点E．

(1)、如图①，当点D为 $A B$ 中点时，k的值为，点E的坐标为；

(2)、如图②，当点D在线段 $A B$ 上的任意位置时(不与 $A 、 B$ 重合)，连接 $B C 、 D E$ ，求证： $B C ∥ D E$ ；

(3)、是否存在反比例函数上不同于点D的一点F，满足： $△ O D F$ 为直角三角形， $∠ O D F = 90 °$ ，且 $t a n ∠ D O F = \frac{1}{3}$ ，若存在，请直接写出满足以上条件时点D的横坐标，若不存在，请说明理由．

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17. 阅读理解：
材料一：若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x，y，z构成“和谐三数组”.

材料二：若关于x的一元二次方程ax²+bx +c= 0（a≠0）的两根分别为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，则有 $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ ， $x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a}$ .

问题解决：

(1)、请你写出三个能构成“和谐三数组”的实数；

(2)、若 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是关于x的方程ax²+bx +c= 0 （a，b，c均不为0）的两根， $x_{3}$ 是关于x的方程bx+c=0（b，c均不为0）的解.求证：x₁ ， x₂ ， x₃可以构成“和谐三数组”；

(3)、若A（m，y₁），B（m + 1，y₂），C（m+3，y₃）三个点均在反比例函数 $y = \frac{4}{x}$ 的图象上，且三点的纵坐标恰好构成“和谐三数组”，求实数m的值.

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18.

(1)、【感知】如图1，已知反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 上有两点 $A (4 ， 8)$ ， $B (- 8 ， - 4)$ ， $A D ⊥ y$ 轴交 $y$ 轴于点 $D$ ， $B C ⊥ x$ 轴交 $x$ 轴于点 $C$ ，则 $S_{△ A D C} =$ ， $S_{△ B D C} =$ ， $C D$ 与 $A B$ 的位置关系为：．

(2)、【探究】我们对上述问题进行了思考，如图2，当 $A$ ， $B$ 是双曲线 $y = \frac{k}{x} (k < 0)$ 同一支上任意两点，过 $A$ 、 $B$ 分别向 $y$ 轴、 $x$ 轴作垂线，交 $y$ 轴于点 $D$ ，交 $x$ 轴于点 $C$ ，连接 $A C$ 、 $B D$ ．
①试探究 $△ A D C$ 与 $△ B D C$ 面积的关系并说明理由；
②试探究 $C D$ 与 $A B$ 之间的位置关系并说明理由．

(3)、【运用】我们对上述问题进行了实践，如图3，已知点 $A$ ， $B$ 在反比例函数 $y = \frac{20}{x}$ 的图像上，且 $A (2 ， m)$ ， $B$ 则是反比例函数 $y = \frac{20}{x}$ 第三象限内图像上的一动点，过点 $A$ 作 $A D ⊥ x$ 轴，过点 $B$ 作 $B C ⊥ y$ 轴，垂足分别分为 $D$ 、 $C$ ，若四边形 $A B C D$ 的面积为45，求点 $B$ 的坐标；

(4)、【拓展】我们对上述问题进行了延伸，如图4，函数 $y = \frac{k}{x} (k < 0)$ 的图像与过原点 $O$ 的直线相交于 $A$ ， $B$ 两点，点 $C$ 是此函数第二象限内图像上的动点（点 $C$ 在点 $B$ 的右侧），直线 $B C$ 分别交于 $y$ 轴、 $x$ 轴于点 $D$ 、 $G$ ，连接 $A C$ 分别交 $y$ 轴、 $x$ 轴于点 $E$ 、 $F$ ．若 $D C = \frac{2}{7} B C$ ，求 $\frac{C E}{C A}$ 的值？

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