广东省江门市新会区广雅中学2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题A卷

试卷更新日期：2024-10-02 类型：月考试卷

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一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 直线 $3 x + 4 y - 2 = 0$ 的斜率及在 $y$ 轴上的截距分别为（）

A、 $\frac{3}{4}$ ， $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{4}{3}$ ， $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{3}{4}$ ， $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{4}{3}$ ， $\frac{2}{3}$

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2. 已知向量 $\vec{a} = (4, - 2, - 4)$ ， $\vec{b} = (6, - 3, 2)$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $\vec{a} + \vec{b} = (10, - 5, - 6)$ B、 $\vec{a} - \vec{b} = (2, - 1, - 6)$ C、 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 10$ D、 $|\vec{a}| = 6$

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3. 已知直线 $l_{1} ： x - 2 y + 1 = 0$ ， $l_{2} ： 2 x + a y - 1 = 0$ ，若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则实数 $a$ 的值为（）

A、1 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- 2$

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4. 若如图中的直线 $l_{1}, l_{2}, l_{3}$ 的斜率为 $k_{1}, k_{2}, k_{3}$ ，则（）

A、 $k_{1} < k_{2} < k_{3}$ B、 $k_{3} < k_{1} < k_{2}$ C、 $k_{2} < k_{1} < k_{3}$ D、 $k_{3} < k_{2} < k_{1}$

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5. 已知三棱锥 $O - A B C$ ，点M，N分别为AB，OC的中点，且 $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{c}$ ，用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 表示 $\vec{M N}$ ，则 $\vec{M N}$ 等于（）

A、 $\frac{1}{2} (\vec{a} + \vec{b} - \vec{c})$ B、 $\frac{1}{2} (\vec{b} + \vec{c} - \vec{a})$ C、 $\frac{1}{2} (\vec{c} - \vec{a} - \vec{b})$ D、 $\frac{1}{2} (\vec{a} - \vec{b} + \vec{c})$

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6. 已知向量 $\vec{a} = (0, 1, 1)$ ， $\vec{b} = (1, 1, 0)$ ，则向量 $\vec{b}$ 在向量 $\vec{a}$ 上的投影向量为（）

A、 $(0, \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ B、 $(\frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2})$ C、 $(0, - 1, - 1)$ D、 $(- 1, 0, - 1)$

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7. 如图所示，已知等腰直角三角形ADE与正方形ABCD所在的平面互相垂直，且 $A D = A E = 2$ ， F是线段CD的中点，则BD与EF所成的角的余弦值为（）

A、 $- \frac{\sqrt{2}}{3}$ B、 $- \frac{\sqrt{2}}{6}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{6}$

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8. 如图，四个棱长为 $1$ 的正方体排成一个正四棱柱， $A B$ 是一条侧棱， $P_{i} (1, 2, \dots, 8)$ 是上底面上其余的八个点，则 $\vec{A B} \cdot \vec{A P_{i}} (i = 1, 2, \dots, 8)$ 的不同值的个数为（　）

A、1 B、2 C、4 D、8

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二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）

9. 空间直角坐标系 $O - x y z$ 中，已知 $A (1, 2, - 2), B (0, 1, 1)$ ，下列结论正确的有（）

A、 $\overset{⃑}{A B} = (- 1, - 1, 3)$ B、若 $\vec{m} = (2, 1, 1)$ ，则 $\vec{m} ⊥ \overset{⃑}{A B}$ C、点A关于 $x O y$ 平面对称的点的坐标为 $(1, - 2, 2)$ D、 $| A B | = \sqrt{5}$

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10. 已知直线 $l$ ： $m x + y + 1 = 0$ ， $A (2 ， 1)$ ， $B (0 ， - 1)$ ，则下列结论错误的是（）

A、直线 $l$ 恒过定点 $(0 ， 1)$ B、当 $m = 1$ 时，直线 $l$ 的倾斜角为 $\frac{3 π}{4}$ C、当 $m = 0$ 时，直线 $l$ 的斜率不存在 D、当 $m = - 1$ 时，直线 $l$ 与直线 $A B$ 平行

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11. 如图，在棱长为 $2$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 为 $B B_{1}$ 的中点， $F$ 为 $A_{1} D_{1}$ 的中点，如图所示建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（）

A、 $D B_{1} = 3$ B、向量 $\vec{A E}$ 与 $\vec{A C_{1}}$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{15}}{5}$ C、平面 $A E F$ 的一个法向量是 $(4, - 1, 2)$ D、点 $D$ 到平面 $A E F$ 的距离为 $\frac{8 \sqrt{21}}{21}$

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三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）

12. 过点 $(2, 1)$ ，且垂直于 $x$ 轴的直线方程是.

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13. 设空间向量 $\vec{a} = (2, - 1, y)$ ， $\vec{b} = (x, 2, - 4)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $|\vec{a} + \vec{b}|$ ＝．

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14. 已知直线 $l$ 过点 $P (1, 2)$ 且与x轴、y轴分别交于 $A (a, 0), B (0, b) (a > 0, b > 0)$ 两点，O为坐标原点，则 $|O A| + 2 |O B|$ 的最小值为.

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四、解答题：（本题共5题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，共77分，解答时请写出必要的文字说明、演算过程、推理步骤）

15. 在空间直角坐标系 $O - x y z$ 中，已知向量 $\vec{A B} = (- 1, 0, 1)$ ， $\vec{A C} = (0, 1, 1)$ ， $\vec{A D} = (- 1, 1, 0)$ ．

(1)、求 $\vec{B C}$ ， $\vec{C D}$ ；

(2)、求平面 $B C D$ 的一个法向量．

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16. 已知四边形 $M N P Q$ 的顶点 $M (1, 1), N (3, - 1), P (4, 0), Q (2, 2)$ .

(1)、求斜率 $k_{M N}$ 与斜率 $k_{P Q}$ ；

(2)、求证：四边形 $M N P Q$ 为矩形.

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17. 已知 $△ A B C$ 的两顶点坐标为 $A (1, - 1)$ ， $C (3, 0)$ ， $B_{1} (0, 1)$ 是边 $A B$ 的中点， $A D$ 是 $B C$ 边上的高．

(1)、求 $B C$ 所在直线的方程；

(2)、求高 $A D$ 所在直线的方程.

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18. 如图， $△ A B C$ 是边长为2的正三角形， $△ A B D$ 是以AB为斜边的等腰直角三角形，且 $C D = 2$ .
（1）求证：平面ABC $⊥$ 平面ABD；
（2）求二面角A-BC-D的余弦值.

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19. 如图，边长为2的正方形 $A B C D$ 中，点E是 $A B$ 的中点，点F是 $B C$ 的中点，将 $△ A E D, △ D C F$ 分别沿 $D E 、 D F$ 折起，使A､C两点重合于点A^' ，连接 $E F 、 A^{'} B$ .

(1)、求证： $A^{'} D ⊥ E F$ ；

(2)、求直线 $A^{'} D$ 与平面 $E F D$ 所成角的正弦值.

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