广西柳州市第六中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题

试卷更新日期：2024-09-28 类型：开学考试

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 复数 $\frac{1 + 3 i}{1 - i}$ 的虚部为（）

A、 $- i$ B、 $- 1$ C、 $2 i$ D、2

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2. 已知集合 $A = {3, m}, B = {1, 3, 5}$ ，则 $m = 1$ 是 $A \subseteq B$ 的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、既不充分又不必要条件 D、充要条件

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3. 已知 $n$ 个数 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ 的平均数为 $\bar{x}$ ，方差为 $s^{2}$ ，则数据 $3 x_{1}, 3 x_{2}, \dots, 3 x_{n}$ 的平均数和方差分别为（）

A、 $\bar{x}$ ， $2 s^{2}$ B、 $3 \bar{x}$ ， $s^{2}$ C、 $3 \bar{x}$ ， $2 s^{2}$ D、 $3 \bar{x}$ ， $9 s^{2}$

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4. 已知 $tan α = - \frac{1}{3}$ ，则 $\frac{sin α + 2 cos α}{5 cos α - sin α}$ 的值为（）

A、 $- 1$ B、1 C、 $\frac{5}{16}$ D、 $\frac{5}{4}$

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5. 某学生参与一种答题游戏，需要从A，B，C三道试题中选出一道进行回答，回答正确即可获得奖品.若该学生选择A，B，C的概率分别为0.3，0.4，0.3，答对A，B，C的概率分别为0.4，0.5，0.6，则其获得奖品的概率为（）

A、0.5 B、0.55 C、0.6 D、0.75

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6. 已知 $\vec{a} = (2, - 1, 3), \vec{b} = (- 4, 2, x)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $x$ 的值为（）

A、2 B、 $\frac{5}{16}$ C、 $\frac{10}{3}$ D、 $- 1$

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7. 已知 $a =$ $\log_{0.2} 0.3$ ， $b = \ln a$ ， $c = 2^{a}$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系为（）

A、 $c > b > a$ B、 $a > b > c$ C、 $b > a > c$ D、 $c > a > b$

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8. 已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} + 2 x - 3, x \leq 0 \\ - 2 + \ln x, x > 0 \end{array}$ ，令 $h (x) = f (x) - k$ ，则下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的增区间为 $(0, + \infty)$ B、当 $h (x)$ 有3个零点时， $k \in (- 4, - 3)$ C、当 $k = - 2$ 时， $h (x)$ 的所有零点之和为 $- 1$ D、当 $k \in (- \infty, - 4)$ 时， $h (x)$ 有1个零点

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二、选择题，本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对的得6分，选对一个选项得2分，选对一半选项得3分，有选错的得0分．

9. 已知向量 $\vec{a} = (1, - 2)$ ， $\vec{b} = (- 1, m)$ ，则（）

A、若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} = - 5$ B、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $m = - 1$ C、若 $m = - 2$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $60 °$ D、若 $m = 1$ ，则 $|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{13}$

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10. 已知直线 $x = \frac{π}{12}$ 是函数 $f (x) = s i n (2 x + φ) (| φ | < \frac{π}{2})$ 图象的一条对称轴，则（）

A、 $φ = - \frac{π}{6}$ B、 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{5 π}{6} ， 0)$ 对称 C、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{13 π}{12}$ 对称 D、 $f (x)$ 在 $(\frac{π}{3} ， \frac{7 π}{12})$ 上单调递减

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11. 已知一个正八面体 $A B C E D F$ 如图所示， $A B = \sqrt{2}$ ，则（）

A、 $B E / /$ 平面 $A D F$ B、点 $D$ 到平面 $A F C E$ 的距离为1 C、异面直线 $A E$ 与 $B F$ 所成的角为 $45 °$ D、四棱锥 $E - A B C D$ 外接球的表面积为 $4 π$

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三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分

12. 设 $x 、 y$ 均为正数，且 $x + y = 1$ ，则 $5^{x} + 5^{y}$ 的最小值为.

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13. 函数 $f (x) = \sin (ω x + φ) (ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，将 $y = f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位后得到函数 $y = g (x)$ 的图象，则函数 $y = g (x)$ 的解析式为.

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14. 18世纪英国数学家辛卜森运用定积分，推导出了现在中学数学教材中柱、锥、球、台等几何体 $Ω$ 的统一体积公式 $V = \frac{1}{6} h (L + 4 M + N)$ （其中 $L$ ， $N$ ， $M$ ， $h$ 分别为 $Ω$ 的上底面面积、下底面面积、中截面面积和高），我们也称为“万能求积公式”.例如，已知球的半径为 $R$ ，可得该球的体积为 $V = \frac{1}{6} \times 2 R (0 + 4 \times π R^{2} + 0) = \frac{4}{3} π R^{3}$ ；已知正四棱锥的底面边长为 $a$ ，高为 $h$ ，可得该正四棱锥的体积为 $V = \frac{1}{6} \times h [0 + 4 \times {(\frac{a}{2})}^{2} + a^{2}] = \frac{1}{3} a^{2} h$ .类似地，运用该公式求解下列问题：如图，已知球 $O$ 的表面积为 $16 {πcm}^{2}$ ，若用距离球心 $O$ 都为1cm的两个平行平面去截球 $O$ ，则夹在这两个平行平面之间的几何体 $Π$ 的体积为 ${cm}^{3}$ .

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四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.

15. 已知在 $△ O A B$ 中，点 $D$ 在线段 $O B$ 上，且 $O D = 2 D B$ ，延长 $B A$ 到 $C$ ，使 $B A = A C$ .设 $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ .

(1)、用 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 表示向量 $\vec{O C}$ 、 $\vec{D C}$ ；

(2)、若向量 $\vec{O C}$ 与 $\vec{O A} + k \vec{D C}$ 共线，求 $k$ 的值.

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16. 已知 $f (x) = \frac{sin (π - α) cos (π + α) cos (\frac{π}{2} + α)}{cos (2 π + α) sin (\frac{3 π}{2} - α) sin (- π - α)}$

(1)、若角 $α$ 的终边过点 $P (- 12, 5)$ ，求 $f (α)$ ；

(2)、若 $f (α) = 2$ ，求 $4 {sin}^{2} α - 3 sin α cos α$ 的值.

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17. 某城市交通部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照 $[50, 60), [60, 70), \cdot \cdot \cdot, [90, 100]$ 分成5组，制成如图所示频率分直方图.
（1）求图中 $x$ 的值；
（2）求这组数据的平均数和中位数；
（3）已知满意度评分值在 $[50, 60)$ 内的男生数与女生数的比为3：2，若在满意度评分值为 $[50, 60)$ 的人中随机抽取2人进行座谈，求2人均为男生的概率.

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18. 已知 $△ A B C$ 的角A，B，C的对边分别为a，b，c， $\vec{m} = (c, a - b)$ ， $\vec{n} = (\sqrt{3} \sin B - \sin C, \sin A + \sin B)$ ，满足 $\vec{m} ⊥ \vec{n}$ ．

(1)、求A；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，且 $\sqrt{3} \cos B + \cos C = 1$ ，点D为边BC的中点，求AD的长．

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19. 如图，已知等腰梯形 $A B C D$ 中， $A D // B C$ ， $A B = A D = \frac{1}{2} B C = 2$ ， $E$ 是 $B C$ 的中点， $A E \cap B D = M$ ，将 $△ B A E$ 沿着 $A E$ 翻折成 $△ B_{1} A E$ ，使平面 $B_{1} A E ⊥$ 平面 $A E C D$ .
(1)求证： $C D ⊥$ 平面 $B_{1} D M$ ；
(2)求 $B_{1} E$ 与平面 $B_{1} M D$ 所成的角；
(3)在线段 $B_{1} C$ 上是否存在点 $P$ ，使得 $M P //$ 平面 $B_{1} A D$ ，若存在，求出 $\frac{B_{1} P}{B_{1} C}$ 的值；若不存在，说明理由.

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