浙江省宁波市镇海中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试卷

试卷更新日期：2024-10-07 类型：月考试卷

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一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1. 已知向量 $\vec{a} = (2, 4)$ ， $\vec{b} = (- 1, 1)$ ，则 $2 \vec{a} - \vec{b} =$ （）

A、 $(5, 7)$ B、 $(5, 9)$ C、 $(3, 7)$ D、 $(3, 9)$

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2. 已知直线 $l_{1} : x - 3 y + 2 = 0, l_{2} : 3 x - a y - 1 = 0$ ，若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则实数 $a$ 的值为（）

A、1 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- 1$

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3. 已知 $m$ 是实常数，若方程 $x^{2} + y^{2} + 2 x + 4 y + m = 0$ 表示的曲线是圆，则 $m$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty, 20)$ B、 $(- \infty, 5)$ C、 $(5, + \infty)$ D、 $(20, + \infty)$

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4. 设 $a ， b$ 为两条直线， $α ， β$ 为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（　　）

A、若 $a ， b$ 与 $α$ 所成的角相等，则 $a ∥ b$ B、若 $a ∥ α ， b ∥ β$ ， $α ∥ β$ ，则 $a ∥ b$ C、若 $a \subset α ， b \subset β ， a ∥ b$ ，则 $α ∥ β$ D、若 $a ⊥ α ， b ⊥ β$ ， $α ⊥ β$ ，则 $a ⊥ b$

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5. 直线 $y = k x + 3$ 与圆 ${(x - 3)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4$ 相交于 $M$ 、 $N$ 两点，若 $|\vec{M N}| = 2 \sqrt{3}$ ，则 $k$ 等于（）

A、0 B、 $- \frac{2}{3}$ C、 $- \frac{2}{3}$ 或0 D、 $- \frac{3}{4}$ 或0

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6. 过点 $P (1, 3)$ 作直线 $l$ ，若 $l$ 经过点 $A (a, 0)$ 和 $B (0, b)$ ，且 $a, b$ 均为正整数，则这样的直线 $l$ 可以作出（），

A、 $1$ 条 B、 $2$ 条 C、 $3$ 条 D、无数条

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7. 已知长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A A_{1} = A B = 2$ ，若棱 $A B$ 上存在点 $P$ ，使得 $D_{1} P ⊥ P C$ ，则 $A D$ 的取值范围是（）

A、 $[1, 2)$ B、 $(1, \sqrt{2}]$ C、 $(0, 1]$ D、 $(0, 2)$

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8. 已知点 $P$ 在直线 $y = - x - 3$ 上运动， $M$ 是圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 上的动点， $N$ 是圆 ${(x - 9)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 16$ 上的动点，则 $|P M| + |P N|$ 的最小值为（）

A、13 B、11 C、9 D、8

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二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）

9. 三条直线 $x + y = 0$ ， $x - y = 0$ ， $x + a y = 3$ 构成三角形，则 $a$ 的值不能为（）

A、 $1$ B、 $2$ C、 $- 1$ D、－2

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10. 正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，下列结论正确的是（）

A、直线 $A D_{1}$ 与直线 $A_{1} C_{1}$ 所成角为 $\frac{π}{3}$ B、直线 $A D_{1}$ 与平面ABCD所成角为 $\frac{π}{3}$ C、二面角 $D_{1} - A B - D$ 的大小为 $\frac{π}{4}$ D、平面 $A B_{1} D_{1} ⊥$ 平面 $B_{1} D_{1} C$

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11. 已知圆 $M : {(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 4$ ，直线 $l : x + y + 2 = 0, P$ 为直线 $l$ 上的动点，过点 $P$ 作圆 $M$ 的切线 $P A ､ P B$ ，切点为 $A ､ B$ ，则下列各选项正确的是（）

A、四边形 $M A P B$ 面积的最小值为4 B、四边形 $M A P B$ 面积的最大值为8 C、当 $∠ A P B$ 最大时， $|P A| = 2$ D、当 $∠ A P B$ 最大时，直线 $A B$ 的方程为 $x + y = 0$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 已知直线 $l_{1} : m x + y + 2 m - 3 = 0$ ， $l_{2} : m x + y - m + 1 = 0$ ，则直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 之间的距离最大值为.

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13. 已知三棱锥 $P - A B C$ 中， $∠ A P B = \frac{2 π}{3}$ ， $P A = P B = \sqrt{3}$ ， $A C = 5$ ， $B C = 4$ ，且平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C$ ，则该三棱锥的外接球的表面积为．

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14. 若点A（x，y）满足C：（x+3）²+（y+4）² $\leq$ 25，点B是直线3x+4y=12上的动点，则对定点P（6，1）而言，| $\vec{P A} + \vec{P B}$ |的最小值为.

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四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

15. 已知直线 $m : 2 x - y - 3 = 0$ 与直线 $n : x + y - 3 = 0$ 的交点为P.
（1）若直线l过点P，且点A(1，3)和点B(3，2)到直线l的距离相等，求直线l的方程；
（2）若直线l₁过点P且与x轴和y轴的正半轴分别交于A、B两点，△ABO的面积为 $4$ ，求直线l₁的方程．

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16. 某同学在劳动实践课上制作了一个如图所示的容器，其上半部分是一个正四棱锥，下半部分是一个长方体，已知正四棱锥 $S - A B C D$ 的高是长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 高的 $\frac{1}{2}$ ，且底面正方形 $A B C D$ 的边长为4， $A A_{1} = 2$ ．
（1）求 $A C_{1}$ 的长及该长方体的外接球的体积；
（2）求正四棱锥的斜高和体积．

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17. 已知：圆 $C$ 过点 $D (0, 1)$ ， $E (- 2, 1)$ ， $F (- 1, \sqrt{2})$ ， $P$ 是直线 $l_{1} : y = x - 2$ 上的任意一点，直线 $l_{2} : y = x + 1$ 与圆 $C$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点.
（1）求圆 $C$ 的方程；
（2）求 ${|P A|}^{2} + {|P B|}^{2}$ 的最小值.

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18. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知圆 $C_{1} : {(x + 3)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 4$ 和圆 $C_{2} : {(x - 4)}^{2} + {(y - 5)}^{2} = 4$ ．

(1)、若直线 $l$ 过点 $A (- 1, 0)$ ，且与圆 $C_{1}$ 相切，求直线 $l$ 的方程；

(2)、设 $P$ 为直线 $x = - \frac{3}{2}$ 上的点，满足：过点 $P$ 的无穷多对互相垂直的直线 $l_{1}$ 和 $l_{2}$ ，它们分别与圆 $C_{1}$ 和圆 $C_{2}$ 相交，且直线 $l_{1}$ 被圆 $C_{1}$ 截得的弦长与直线 $l_{2}$ 被圆 $C_{2}$ 截得的弦长相等．试求满足条件的点 $P$ 的坐标．

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19. 如图，已知直三棱柱 $A_{1} B_{1} C_{1} - A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ 且 $A B = B C = B B_{1} = 2$ ， $D$ 、 $E$ 、 $F$ 分别为 $A C$ 、 $B C$ 、 $B_{1} B$ 的中点， $G$ 为线段 $D E$ 上一动点.

(1)、求 $C_{1} F$ 与平面 $A_{1} B_{1} C_{1}$ 所成角的正切值；

(2)、证明： $C_{1} F ⊥ A_{1} G$ ；

(3)、求锐二面角 $C_{1} - A_{1} G - B_{1}$ 的余弦值的最大值.

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