湖南省长沙市望城区第二中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

试卷更新日期：2024-10-06 类型：月考试卷

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知直线 $m x + 4 y - 2 = 0$ 与 $2 x - 5 y + n = 0$ 垂直，垂足为 $(1, p)$ ，则 $m - n + p$ 的值为（）

A、 $24$ B、 $20$ C、 $0$ D、 $- 10$

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2. 函数 $f (x) = (3 x^{2} - 6 x + a + 3) e^{x}$ ，若存在 $x_{0} \in R$ ，使得对任意 $x \in R$ ，都有 $f (x) \geq f (x_{0})$ ，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $a \geq 0$ B、 $a \leq 0$ C、 $a > 3$ D、 $a < 3$

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3. 如图，过双曲线 $C : \frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{25} = 1$ 的左焦点 $F$ 引圆 $x^{2} + y^{2} = 16$ 的切线，切点为 $T$ ，延长 $F T$ 交双曲线右支于 $P$ 点，若 $M$ 为线段 $F P$ 的中点， $O$ 为坐标原点，则 $| M O | - | M T | =$ （）

A、 $1$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{5}{4}$ D、 $2$

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4. 一块电路板的AB线路之间有100个串联的焊接点，知道电路不通的原因是焊接点脱落造成的，要想借助万用表，利用二分法的思想检测出哪处焊接点脱落，最多需要检测（）

A、4次 B、6次 C、7次 D、50次

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5. 下列说法错误的是（）

A、 $0 \cdot \vec{0} = 0$ B、所有的单位向量的模均相等 C、零向量与任何向量共线 D、相等向量必为共线向量

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6. 若log₂a<0， ${(\frac{1}{2})}^{b} > 1$ ，则（）

A、a>1，b>0 B、a>1，b<0 C、0<a<1，b>0 D、0<a<1，b<0

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7. 空间直角坐标系中，已知点 $A (1, 2, 3) 、 B (3 ， 4 ， 5)$ ，则线段 $A B$ 的中点坐标为（）

A、 $(2 ， 3 ， 4)$ B、 $(1 ， 3 ， 4)$ C、 $(2 ， 3 ， 5)$ D、 $(2 ， 4 ， 5)$

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8. 已知直线 $l$ 过点 $A (1,2)$ ， $B (3,4)$ ，则直线 $l$ 的倾斜角为（）

A、 $- \frac{π}{6}$ B、 $- \frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{3}$

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二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.

9. 已知在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A = P C = A B = B C = 2$ ， $A C = 2 \sqrt{3}$ ，平面PAC⊥平面ABC．若点M为BC的中点，点N为三棱锥 $P - A B C$ 表面上一动点，则下列说法正确的是（）

A、三棱锥 $P - A B C$ 的外接球的表面积为 $20 π$ B、直线PC与AM所成的角 $θ \in (\frac{π}{6}, \frac{π}{4})$ C、若 $A C ⊥ M N$ ，则点N的轨迹长度为 $1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$ D、若点N在棱AC上，则 $M N + N P$ 的最小值为2

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10. 已知 $\vec{a} = (1, 0, 1)$ ， $\vec{b} = (- 1, 2, - 3)$ ， $\vec{c} = (2, - 4, 6)$ ，则（）

A、 $\vec{a} ⊥ \vec{c}$ B、 $\vec{b} // \vec{c}$ C、 $⟨\vec{a}, \vec{b}⟩$ 为钝角 D、 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 方向上的投影向量为 $(- 2, 0, - 2)$

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11. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点P在线段 $B_{1} C$ 上运动，则下列结论正确的是（）

A、直线 $B D_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} C_{1} D$ B、三棱锥 $D - A_{1} C_{1} P$ 的体积为定值 C、异面直线 $A P$ 与 $A_{1} D$ 所成角的取值范围是 $[30 °, 90 °]$ D、直线 $C_{1} P$ 与平面 $A_{1} C_{1} D$ 所成角的正弦值的最大值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 某圆锥母线长为4，其侧面展开图为半圆面，则该圆锥体积为.

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13. 与直线 $x + y - 2 = 0$ 平行，且在 $y$ 轴上的截距为 $1$ 的直线方程是．

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14. 在 $Δ A B C$ 中，边 $a, b, c$ 所对的角分别为 $A, B, C$ ，若 $a^{2} = b^{2} + c^{2} - \sqrt{3} b c$ ， $\sin C = 2 \cos B$ ，则 $A =$ ； $C =$ .

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15. （1）已知直线 $l_{1} : 2 x + 7 y + 4 = 0$ 与直线 $l_{2} : m x + 3 y - 2 = 0$ 平行，求 $m$ 的值；
（2）已知直线 $l_{1} : (a + 2) x + (1 - a) y - 1 = 0$ 与直线 $l_{2} : (a - 1) x + (2 a + 3) y + 2 = 0$ 互相垂直，求 $a$ 的值．

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16. 已知直线 $l$ ： $a x - y + 4 = 0$ 及圆 $C$ ： ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4$ .

(1)、若直线 $l$ 与圆 $C$ 相切，求 $a$ 的值；

(2)、若直线 $l$ 与圆 $C$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，且弦 $A B$ 的长为 $2 \sqrt{3}$ ，求 $a$ 的值.

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17. 如图，在三棱锥 $P — A B C$ 中， $E$ 、 $F$ 分别为 $P B$ 、 $P C$ 的中点，求证：

(1)、 $E F$ ∥平面 $A B C$ ；

(2)、若点 $D$ 为棱 $P A$ 上一点，是确定点 $D$ 的位置，使得平面 $D E F$ ∥平面 $A B C$ ，并说明理由．

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18. 如图，在圆台 $O O_{1}$ 中， $A_{1} B_{1}, A B$ 分别为上、下底面直径，且 $A_{1} B_{1} / / A B$ ， $A B = 2 A_{1} B_{1}$ ， $C C_{1}$ 为异于 $A A_{1}, B B_{1}$ 的一条母线．

(1)、若 $M$ 为 $A C$ 的中点，证明： $C_{1} M / /$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ ；

(2)、若 $O O_{1} = 3, A B = 4, ∠ A B C = 30 °$ ，求二面角 $A - C_{1} C - O$ 的正弦值．

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19. 在平面直角坐标系中，已知圆心在第二象限，半径为 $2 \sqrt{2}$ 的圆C与直线 $y = x$ 相切于原点O．

(1)、求圆C的方程．

(2)、试探求C上是否存在异于原点的点Q，使点Q到定点 $F (4, 0)$ 的距离等于线段OF的长?若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

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