浙江省金华市卓越联盟2023-2024学年高二下学期5月阶段联考数学试题

试卷更新日期：2024-06-02 类型：期中考试

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一、单选题：本题共8小题，每题5分，共40分，在每题给出的4个选项中，只有一个选项符合要求．

1. 若集合 $M = \{x |ln x > 0\}, N = \{x |\frac{x}{x + 1} > 0\}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 ${x |x < - 1$ 或 $x > 0}$ B、 $\{x| - 1 < x < 0$ 或 $x > 1\}$ C、 $\{x |0 < x < 1\}$ D、 $\{x |x > 1\}$

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2. 已知复数 $z = \frac{2 - i}{i}$ ，则 $z - \bar{z} =$ （）

A、 $- 2$ B、2 C、 $- 4 i$ D、 $4 i$

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3. 若 $a, b > 0$ ，则“ $a > b$ ”是“ $3^{a} - ln b > 3^{b} - ln a$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 下列说法错误的个数为（）
①已知 $X \sim N (10, σ^{2})$ ，若 $P (X \geq 8) = 0.9$ ，则 $P (8 \leq X \leq 12) = 0.8$
②已知 $X ~ B (5, \frac{1}{3})$ ，则 $E (X) = \frac{5}{3}, D (X) = 0.9$
③投掷一枚均匀的硬币5次，已知正面向上不少于3次，则出现5次正面向上的概率为 $\frac{1}{16}$

A、0 B、1 C、2 D、3

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5. 科学家从由实际生活得出的大量统计数据中发现以1开头的数出现的频率较高，以1开头的数出现的频数约为总数的三成，并提出定律：在大量 $b$ 进制随机数据中，以 $n$ 开头的数出现的概率为 $P_{b} (n) = {log}_{b} \frac{n + 1}{n}$ ，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律．后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性．若 $\sum_{n = 5}^{k} p_{16} (n) = \frac{ln 6 - ln 2}{ln 2 + ln 8} (k \in N^{*}, k > 4)$ ，则 $k$ 的值为（）

A、14 B、15 C、24 D、25

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6. 袋中装有5个大小相同的球，其中有2个白球，2个黑球，1个红球，现从袋中每次取出1球，取出后不放回，取得白球得1分，取得黑球得2分，取得红球得3分，直到取到的球的总分大于或等于4分时终止，用 $X$ 表示终止取球时所需的取球次数，则 $P (X = 3) =$ （）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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7. 体积为1的正三棱锥的外接球的半径与底面正三角形的边长比的最小值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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8. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - x^{2} + (1 - 4 a^{2}) x + b (a \geq \frac{1}{2}, b \in R)$ ，当 $x \in ［ 0 ， 2]$ 时，记 $|f (x)|$ 的最大值为 $M$ ，有 $M \geq k$ ，则实数 $k$ 的最大值为（）

A、2 B、1 C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．

9. 下列选项中正确的有（）

A、已知 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量长度为 $\frac{1}{2} |\vec{b}|$ ，且 $|\vec{b}| = 5$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{25}{2}$ B、 $|(\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c}| \leq |\vec{a}| |\vec{b}| |\vec{c}|$ C、若非零向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}| = 1$ ，则 $|\vec{a} + 2 \vec{b}| = \sqrt{7}$ D、已知 $\vec{a} = (1, 2), \vec{b} = (2, 3)$ ，且 $\vec{a}$ 与 $\vec{a} + λ \vec{b}$ 夹角为锐角，则 $λ$ 的取值范围是 $(- \frac{5}{8}, + \infty)$

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10. 下列命题错误的是（）

A、线性相关模型中，决定系数 $R^{2}$ 越大相关性越强，相关系数 $r$ 越大相关性也越强 B、回归直线至少会经过其中一个样本点 $(x_{i}, y_{i})$ C、已知一系列样本点 $(x_{i}, y_{i}) (i = 1, 2, 3, \dots)$ 的经验回归方程为 $\hat{y} = 2 x + \hat{a}$ ，若样本点 $(m, 2)$ 与 $(3, n)$ 的残差相等，则 $2 m + n = 8$ D、以 $y = a e^{b x}$ 模型去拟合某组数据时，为了求出回归方程，设 $z = ln y$ ，将其变换后得到线性方程 $z = 4 x + ln 3$ ，则 $a, b$ 的值分别为3，4

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11. 如图，已知圆台 $O O^{'}$ 的下底面直径 $A B = 4$ ，母线 $B C = 2$ ，且 $A C ⊥ B C$ ， $P$ 是下底面圆周上一动点，则（）

A、圆台 $O O^{'}$ 的侧面积为 $6 π$ B、圆台 $O O^{'}$ 的体积为 $\frac{7 \sqrt{3}}{3} π$ C、当点 $P$ 是弧 $A B$ 中点时，三棱锥 $A - B C P$ 的内切球半径 $r > \frac{2}{3}$ D、 $P A + 2 P C$ 的最大值为 $6 \sqrt{2}$

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三、填空题：本题共3小题每题5分，共15分．

12. ${(x^{2} - \frac{2}{x})}^{9}$ 的展开式中的常数项为．

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13. 在锐角三角形 $A B C$ 中，边 $B C$ 长为1，且 $B = 2 A$ ，则边 $A C$ 的长度取值范围是．

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14. 某学校举办校庆，安排3名男老师和2名女老师进行3天值班，值班分为上午和下午，每班次一人，其中女老师不在下午值班，且每个人至少要值班一次，则不同的安排方法共有种（用数字作答）.

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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤．

15. 设函数 $f (x) = \sqrt{3} sin ω x - cos ω x$ ，其中 $ω \in (0, 3)$ ，已知 $f (- \frac{π}{6}) = - 2$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、已知 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ ，求 $f (x)$ 的单调递增区间及值域．

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16. 在如图所示的直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = B C = 2, A A_{1} = 2, D, E$ 分别是线段 $B C, A_{1} B_{1}$ 上的动点．

(1)、若 $D E //$ 平面 $A C C_{1} A_{1}, B_{1} E : E A_{1} = 3 : 2$ ，求 $C D : B D$ 的值；

(2)、若三棱柱是正三棱柱， $D$ 是 $B C$ 的中点，求二面角 $D - B E - A$ 余弦值的最小值．

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17. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + a ln (x + 2)$ ， $a \in R$ ．

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(- 1, f (- 1))$ 处的切线方程；

(2)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(3)、证明：当 $a < - 2$ 时， $f (x) + a^{2} + 3 a > a e^{a} - 4$ ．

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18. 某超市为促进消费推出优惠活动，为预估活动期间客户投入的消费金额，采用随机抽样统计了200名客户的消费金额，分组如下： $[0 ， 200), [200 ， 400), [400 ， 600), \dots, [1000 ， 1200]$ （单位：元），得到如图所示频率分布直方图：

活跃客户
非活跃客户
总计
男
20
$x$

女
$y$
60

总计

(1)、利用抽样的数据计算本次活动的人均消费金额（同一组中的数据用该组的中点值表示）

(2)、若把消费金额不低于800元的客户，称为“活跃客户”，经数据处理，现在列联表中得到一定的相关数据，求列联表中 $x, y$ 的值，并根据列联表判断是否有 $95 %$ 的把握认为“活跃客户”与性别有关？

(3)、为感谢客户，该超市推出免单福利，方案如下：
从“活跃客户”中按分层抽样的方法抽取12人，从中抽取2人进行免单，试写出总单金额 $Y$ 的分布列及其期望．（每一组消费金额按该组中点值估计，期望结果保留至整数．）
附：
$P (χ^{2} \geq k)$
0.150
0.100
0.050
0.010
0.005
k
2.072
2.706
3.841
6.635
7.879
$χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$

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19. 已知①设函数 $y = f (x) (x \in A)$ 的值域是 $C$ ，对于 $C$ 中的每个 $y$ ，若函数 $g (y)$ 在每一处 $g (y)$ 都等于它对应的 $x$ ，这样的函数 $x = g (y) (y \in C)$ 叫做函数 $y = f (x) (x \in A)$ 的反函数，记作 $x = f^{- 1} (y) (y \in C)$ ，我们习惯记自变量为 $x$ ，因此 $x = f^{- 1} (y) (y \in C)$ 可改成 $y = f^{- 1} (x) (x \in C)$ 即为原函数的反函数．易知 $y = f^{- 1} (x) (x \in C)$ 与 $y = f (x) (x \in A)$ 互为反函数，且 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ．如 $y = 2^{x}$ 的反函数是 $x = {log}_{2} y$ 可改写成 $y = {log}_{2} x$ 即为 $y = 2^{x}$ 的反函数， $y = {log}_{2} x$ 与 $y = 2^{x}$ 互为反函数．② $f (x)$ 是定义在 $D$ 且取值于 $D$ 的一个函数，定义 $f^{(0)} (x) = x, f^{(1)} (x) = f (x), f^{(2)} (x) = f \circ f = f (f (x)) ， \dots$ $f^{(n)} (x) = f \circ f \dots f = f f \dots f (x)$ ，则称 $f^{(n)} (x)$ 是函数 $f (x)$ 在 $D$ 上的 $n$ 次迭代．例如 $f (x) = x + a$ ，则 $f^{(n)} (x) = x + n a$ ．对于一些相对复杂的函数，为求出其 $n$ 次迭代函数，我们引入如下一种关系：对于给定的函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ ，若函数 $φ (x)$ 的反函数 $φ^{- 1} (x)$ 存在，且有 $f (x) = φ^{- 1} \circ g \circ φ (x)$ ，称 $f (x)$ 与 $g (x)$ 关于 $φ (x)$ 相似，记作 $f \overset{φ}{\sim} g$ ，其中 $φ (x)$ 称为桥函数，桥函数满足以下性质：
（i）若 $f \overset{φ}{\sim} g$ ，则 $g \overset{φ^{- 1}}{\sim} f$
（ii）若 $x_{0}$ 为 $f (x)$ 的一个不动点，即 $f (x_{0}) = x_{0}$ ，则 $φ (x_{0})$ 为 $g (x)$ 的一个不动点．

(1)、若函数 $f (x) = 2 x^{2}$ ，求 $f^{(n)} (x)$ （写出结果即可）

(2)、证明：若 $f \overset{φ}{\sim} g$ ，则 $f^{(n)} \overset{φ}{\sim} g^{(n)}$ ．

(3)、若函数 $f (x) = x^{2} + 2 x$ ，求 $f^{(n)} (x)$ （桥函数可选取 $φ (x) = x + 1$ ），若 $c (x) = x^{2} - 6 x + 12$ ，试选取恰当桥函数，计算 $c^{(n)} (x)$ ．

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$P (χ^{2} \geq k)$	0.150	0.100	0.050	0.010	0.005
k	2.072	2.706	3.841	6.635	7.879

	活跃客户	非活跃客户	总计
男	20	$x$
女	$y$	60
总计