广西南宁市第二中学·柳州高级中学2023-2024学年高二下学期5月联考数学试题

试卷更新日期：2024-06-02 类型：月考试卷

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一、选择题（本题共8小题，每小题6分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.

1. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2^{x}, x > 0 \\ f (x + 2), x \leq 0 \end{array}$ ，则 $f (- 3) =$ （）

A、1 B、2 C、4 D、8

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2. 已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - y^{2} = 1 (a > 0)$ 经过点 $(2, 0)$ ，则C的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm 2 x$ B、 $y = \pm \frac{1}{2} x$ C、 $y = \pm \frac{1}{4} x$ D、 $y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} x$

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3. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n + 1}^{2} = a_{n} a_{n + 2}$ ，若 $a_{2} = 1$ ， $a_{8} = 9$ ，则 $a_{5} =$ （）

A、 $- 3$ B、 $\pm 3$ C、3 D、5

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4. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + \frac{π}{4}) (ω > 0)$ ，则“ $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ ”是“ $f (x)$ 的图象关于点 $(- \frac{π}{8}, 0)$ 对称”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 我国古代数学名著《张邱建算经》有“分钱问题”：今有与人钱，初一人与三钱，次一人与四钱，次一人与五钱，以次与之，转多一钱，与讫，还敛聚与均分之，人得一百钱，问人几何？意思是：将钱分给若干人，第一人给3钱，第二人给4钱，第三人给5钱，以此类推，每人比前一人多给1钱，分完后，再把钱收回平均分给各人，结果每人分得100钱，问有多少人？则题中的人数是（）

A、145 B、165 C、185 D、195

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6. 已知 $a = 4 ln 3^{π}, b = 3 π, c = 4 {lnπ}^{3}$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系是（）

A、 $c < b < a$ B、 $b < c < a$ C、 $b < a < c$ D、 $a < b < c$

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7. 球类运动对学生的身心发展非常重要 $.$ 现某高中为提高学生的身体素质，特开设了“乒乓球”，“排球”，“羽毛球”，“篮球”，“足球”五门选修课程，要求该校每位学生每学年至多选 $3$ 门，高一到高三三学年必须将五门选修课程选完，每门课程限选修一学年，一学年只上学期选择一次，则每位学生的不同的选修方式有（）

A、 $210$ 种 B、 $78$ 种 C、 $150$ 种 D、 $144$ 种

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8. 已知圆锥PO的顶点为P，其三条母线PA，PB，PC两两垂直.且母线长为6.则圆锥PO的内切球表面积为（）

A、 $12 (10 - 3 \sqrt{6}) π$ B、 $24 (20 - 7 \sqrt{6}) π$ C、 $96 (5 - 2 \sqrt{6}) π$ D、 $60 (8 - 3 \sqrt{6}) π$

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二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）.

9. 已知集合 $A = {x | l o g_{2} x \leq 1}, B = {x | | x | \leq 1}$ ，则（）

A、 $A = {x | 0 \leq x \leq 2}$ B、 $A ∩ B = {x | 0 < x \leq 1}$ C、 $A ∪ B = {x | - 1 \leq x \leq 2}$ D、 $N^{*} ∩ B$ 的子集个数为2

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10. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ， $a + b = a b$ ，则（）

A、 $a > 1$ 且 $b > 1$ B、 $a b \geq 4$ C、 $a + 4 b \leq 9$ D、 $\frac{b}{a} + \frac{1}{b} > 1$

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11. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且 $f (2 x - 1)$ 的图象关于点 $(\frac{1}{2}, 0)$ 对称， $f (x + 1) = - f (x - 1)$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 奇函数 B、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = 2$ 对称 C、 $f (x)$ 的最小正周期为4 D、若 $f (1) = 2$ ，则 $f (1) + f (2) + \dots + f (20) = 0$

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三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）.

12. 已知函数 $f (x) = 4 e^{x} - 2 x + 2$ ，则曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 0$ 处的切线方程为.

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13. 在平面直角坐标系xOy中，椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点为 $F_{1}$ ，点 $P$ 在椭圆上， $P F_{1}$ 的中点为 $Q$ ，若 $O Q ⊥ P F_{1}$ ， $P F_{1} = \sqrt{3} O P$ ，则椭圆离心率的值为．

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14. 第三次人工智能浪潮滚滚而来，以ChatGPT发布为里程碑，开辟了人机自然交流的新纪元.ChatGPT所用到的数学知识并非都是遥不可及的高深理论，概率就被广泛应用于ChatGPT中，某学习小组设计了如下问题进行研究：甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有4个红球、1个白球.掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，从甲箱子中随机抽出1个球；如果点数大于等于5，从乙箱子中随机抽出1个球，若抽到的是红球，则它是来自乙箱的概率是.

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四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.

15. 2024龙年春节期间哈尔滨旅游火出圈，“小土豆”等更成为流行词，旅游过节已成为一种新时尚.某旅行社为了解某市市民的春节旅游意愿与年龄层次是否有关，从该市随机抽取了200位市民，通过调查得到如下表格：
单位：人
市民
春节旅游意愿
愿意
不愿意
青年人
80
20
老年人
40
60

(1)、根据小概率值 $α = 0.005$ 的独立性检验，判断该市市民的春节旅游意愿与年龄层次是否有关联.

(2)、从样本中按比例分配选取10人，再随机从中抽取4人做某项调查，记这4人中青年人愿意出游的人数为 $X$ ，试求 $X$ 的分布列和数学期望.
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
$α$
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

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16. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，平面 $A A_{1} C_{1} C ⊥$ 平面 $A B C, A B = A C = B C = A A_{1} = 2$ ， $A_{1} B = \sqrt{6}$ ．

(1)、设 $D$ 为 $A C$ 中点，证明： $A C ⊥$ 平面 $A_{1} D B$ ；

(2)、求平面 $A_{1} A B_{1}$ 与平面 $A C C_{1} A_{1}$ 夹角的余弦值．

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17. 在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且满足 $2 s i n (A + C) c o s A - s i n C c o s A = s i n A c o s C$ ．

(1)、求角 $A$ ；

(2)、若点 $D$ 在线段 $B C$ 上，且满足 $B D = 3 D C, A D = 3$ ，求 $△ A B C$ 面积的最大值．

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18. 已知抛物线 $E : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ ， O是坐标原点，过 $(4, 0)$ 的直线与E相交于A，B两点，满足 $O A ⊥ O B$ ．

(1)、求抛物线E的方程；

(2)、若 $P (x_{0}, 2)$ 在抛物线E上，过 $Q (4, - 2)$ 的直线交抛物线E于M，N两点，直线 $P M$ ， $P N$ 的斜率都存在，分别记为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，求 $k_{1} \cdot k_{2}$ 的值．

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19. 若函数 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上有定义，且对于任意不同的 $x_{1}, x_{2} \in [a, b]$ ，都有 $|f (x_{1}) - f (x_{2})| < λ |x_{1} - x_{2}|$ ，则称 $f (x)$ 为 $[a, b]$ 上的“ $λ$ 类函数”.

(1)、若 $f (x) = \frac{x^{2}}{2} + x$ ，判断 $f (x)$ 是否为 $[1, 2]$ 上的“2类函数”；

(2)、若 $f (x) = a (x - 1) e^{x} - \frac{x^{2}}{2} - x \ln x$ ，为 $[1, 2]$ 上的“2类函数”，求实数a的取值范围.

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市民	春节旅游意愿
市民	愿意	不愿意
青年人	80	20
老年人	40	60

$α$	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828