广东省深圳市龙城高级中学、深圳大学附属中学2023-2024学年高二下学期5月月考数学试题

试卷更新日期：2024-06-08 类型：月考试卷

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设复数 $z = \frac{1 - i}{1 + i}$ ，则 $z$ 的共轭复数为（）

A、 $i$ B、 $- i$ C、 $1 - i$ D、 $1 + i$

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2. 已知函数 $f (x) = e^{x}$ ， $g (x) = ln x$ ，若有 $f (m) = g (n)$ ，则 $n$ 的取值范围是（）

A、 $(0, 1)$ B、 $(0, + \infty)$ C、 $(1, + \infty)$ D、 $[1, + \infty)$

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3. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ．已知 $b = 40$ ， $c = 20$ ， $C = 60^{\circ}$ ，则此三角形的解的情况是（）

A、有一解 B、有两解 C、无解 D、有解但解的个数不确定

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4. 通过随机询问某中学110名中学生是否爱好跳绳，得到列联表，并由 $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ 计算得： $χ^{2} \approx 7.822$ ，参照附表，则下列结论正确的是（）
附：
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

A、根据小概率值 $α = 0.001$ 的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关 B、根据小概率值 $α = 0.001$ 的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关，这个结论犯错误的概率不超过0.001 C、根据小概率值 $α = 0.01$ 的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关 D、在犯错误的概率不超过0.01的前提下，我们认为爱好跳绳与性别无关

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5. 已知O，N，P在 $Δ A B C$ 所在平面内，且 $| \bar{O A} | = | \bar{O B} | = | \bar{O C} | ， \bar{N A} + \bar{N B} + \bar{N C} = 0$ ，且 $\bar{P A} • \bar{P B} = \bar{P B} • \bar{P C} = \bar{P C} • \bar{P A}$ ，则点O，N，P依次是 $Δ A B C$ 的
（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心）

A、重心外心垂心 B、重心外心内心 C、外心重心垂心 D、外心重心内心

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6. 已知过点 $P (1, 2)$ 可作双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > 0, b > 0)$ 的两条切线，若两个切点分别在双曲线 $C$ 的左、右两支上，则该双曲线的离心率的取值范围为（）

A、 $(\sqrt{5}, + \infty)$ B、 $(1, \sqrt{5})$ C、 $(1, \sqrt{3})$ D、 $(\sqrt{3}, + \infty)$

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7. 已知圆 $C : {(x - 2)}^{2} + y^{2} = 2$ ，直线 $l : y = k x - 2$ ，若直线 $l$ 上存在点 $P$ ，过点 $P$ 引圆的两条切线 $l_{1}, l_{2}$ ，使得 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则实数 $k$ 的取值范围是（）

A、 $[0, 2 - \sqrt{3}) \cup (2 + \sqrt{3}, + \infty)$ B、[ $2 - \sqrt{3}$ ， $2 + \sqrt{3}$ ] C、 $(- \infty, 0)$ D、 $[0 ， + \infty$ ）

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8. 设正整数 $n = a_{0} \cdot 2^{0} + a_{1} \cdot 2 + \cdot \cdot \cdot + a_{k - 1} \cdot 2^{k - 1} + a_{k} \cdot 2^{k}$ ，其中 $a_{i} \in \{0, 1\}$ ，记 $ω (n) = a_{0} + a_{1} + \cdot \cdot \cdot + a_{k}$ .则下列结论错误的是（）

A、 $ω (2 n) = ω (n)$ B、 $ω (2 n + 3) = ω (n) + 1$ C、 $ω (8 n + 5) = ω (4 n + 3)$ D、 $ω (2^{n} - 1) = n$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 函数 $f (x) = - cos (2 x + \frac{π}{2})$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、 $f (x)$ 在区间 $[\frac{π}{6}, \frac{π}{2}]$ 上的最小值为 $\frac{1}{2}$ C、 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{4}, \frac{π}{6}]$ 上单调递增 D、直线 $x = π$ 为 $f (x)$ 图象的对称轴

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10. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1， $P$ 是线段 $B C_{1}$ 上的动点，则下列结论正确的是（）

A、三棱锥 $D_{1} - P A_{1} A$ 的体积为定值 B、 $A P + P C$ 的最小值为 $2 \sqrt{2}$ C、 $A_{1} P //$ 平面 $A C D_{1}$ D、直线 $A_{1} P$ 与 $A C$ 所成的角的取值范围是 $[0, \frac{π}{3}]$

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11. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，长轴长为4，点 $P (\sqrt{2}, 1)$ 在椭圆 $C$ 外，点 $Q$ 在椭圆 $C$ 上，则（）

A、 $b$ 的取值范围是 $(0, \frac{\sqrt{2}}{2})$ B、当椭圆 $C$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 时， $|Q F_{1}|$ 的取值范围是 $[2 - \sqrt{3}, 2 + \sqrt{3}]$ C、存在点 $Q$ 使得 $\vec{Q F_{1}} \cdot \vec{Q F_{2}} = 0$ D、 $\frac{1}{|Q F_{1}|} + \frac{1}{|Q F_{2}|}$ 的最小值为1

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 已知集合 $A = {- 2 ， 0 ， 2 ， 4} ， B = {x | | x - 3 | \leq m}$ ，若 $A ∩ B = A$ ，则 $m$ 的最小值为．

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13. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 的首项 $a_{1} = \frac{3}{5}$ ，且 $a_{n + 1} = \frac{3 a_{n}}{2 a_{n} + 1}$ ，则 $\frac{\frac{1}{a_{n + 1}} - 1}{\frac{1}{a_{n}} - 1} =$ ；满足 $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \frac{1}{a_{3}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{a_{n}} < 2024$ 的最大整数 $n$ 的值为.

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14. 已知 $a < 5$ 且 $a e^{5} = 5 e^{a}$ ，则函数 $y = a^{|x - 1|}$ 的单调增区间为.

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 在三棱锥 $A - B C D$ 中，且 $A B = B C = B D = 1$ ， $A D = \frac{\sqrt{6}}{2}$ ， $∠ C B A = ∠ D B C = 120 °$ .

(1)、求证：平面 $A B C ⊥$ 平面BCD.

(2)、求二面角 $A - B D - C$ 的余弦值.

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16. 已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{n + 1} = 2 S_{n} + 2 (n \in N^{*})$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式.

(2)、在 $a_{n}$ 与 $a_{n + 1}$ 之间插入 $n$ 个数，使这 $n + 2$ 个数组成一个公差为 $d_{n}$ 的等差数列，求 $d_{n}$ 及其最小值.

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17. 甲、乙两个工厂加工一批同一型号的零件，甲工厂加工的次品率为 $6 %$ ，乙工厂加工的次品率为 $5 %$ ，现将加工出来的零件混放在一起，其次品率为 $5.25 %$ ；

(1)、求混放在一起的零件中来自甲工厂的零件个数的占比；

(2)、从混放在一起的零件中有放回地抽5个作为样本，记样本中来自甲工厂的零件个数为 $X$ .
（i）求 $X$ 的分布列和数学期望：
（ii）若用样本中来自甲工厂的零件个数的占比，估计总体中来自甲工厂的零件个数的占比，求误差的绝对值不超过0.1的概率.

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18. 如图，抛物线 $C$ ： $x^{2} = 4 y$ 上异于坐标原点 $O$ 的两不同动点 $A$ 、 $B$ 满足 $O A ⊥ O B$ .

(1)、求证：直线 $A B$ 过定点；

(2)、过点 $A$ ， $B$ 分别作抛物线 $C$ 的切线交于点 $M$ ，求 $△ M A B$ 的面积的最小值.

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19. 已知函数 $f (x) = a e^{2 x} + (a - 2) e^{x} - x$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $a > 0$ ，讨论 $f (x)$ 的零点个数.

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α	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828