广东省中山市中山纪念中学2023-2024学年高二下学期第二次月考数学试卷

试卷更新日期：2024-06-26 类型：月考试卷

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一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 下列说法正确的是（）

A、线性回归分析中决定系数 $R^{2}$ 用来刻画回归的效果，若 $R^{2}$ 值越小，则模型的拟合效果越好 B、残差平方和越小的模型，拟合的效果越好 C、正态分布 $N (μ, σ^{2})$ 的图象越瘦高， $σ$ 越大 D、两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的值越接近于1

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2. 直线 $l$ 过圆 $C : {(x + 3)}^{2} + y^{2} = 4$ 的圆心，并且与直线 $x + y + 2 = 0$ 垂直，则直线 $l$ 的方程为（）

A、 $x + y - 2 = 0$ B、 $x - y + 2 = 0$ C、 $x + y - 3 = 0$ D、 $x - y + 3 = 0$

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3. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 2, a_{7} = 4 a_{3}, S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，则 $S_{10} =$ （）

A、115 B、110 C、 $- 110$ D、 $- 115$

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4. 小王每次通过英语听力测试的概率是 $\frac{2}{3}$ ，且每次通过英语听力测试相互独立，他连续测试3次，那么其中恰有1次通过的概率是（）

A、 $\frac{2}{9}$ B、 $\frac{2}{27}$ C、 $\frac{3}{9}$ D、 $\frac{4}{9}$

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5. 已知离散型随机变量X的概率分布如表，离散型随机变量Y满足 $Y = 2 X - 1$ ，则 $P (Y \geq 3) =$ （）
X
0
1
2
3
P
a
$\frac{1}{3}$
5a
$\frac{1}{6}$

A、 $\frac{7}{12}$ B、 $\frac{5}{12}$ C、 $\frac{5}{6}$ D、 $\frac{3}{4}$

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6. 将三颗骰子各掷一次，记事件 $A =$ “三个点数都不同”， $B =$ “至少出现一个6点”，则条件概率 $P (A | B)$ 等于（）

A、 $\frac{60}{91}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{20}{91}$ D、 $\frac{40}{91}$

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7. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = \frac{a_{n}}{4 a_{n} + 1}$ ， $(n \in N^{*})$ ，则 $a_{n} =$ （）

A、 $a_{n} = \frac{1}{n}$ B、 $a_{n} = \frac{1}{2 n - 1}$ C、 $a_{n} = \frac{2 n - 1}{4 n - 3}$ D、 $a_{n} = \frac{1}{4 n - 3}$

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8. 已知函数 $f (x) = x l n x - 2 x + a^{2} - a$ ，若 $f (x) \leq 0$ 在 $x \in [1, e^{2}]$ 上恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[- 1, 2]$ B、 $[0, 1]$ C、 $[0, 2]$ D、 $[- 1, 1]$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. 带有编号1、2、3、4、5的五个球，则（）

A、全部投入4个不同的盒子里，共有 $4^{5}$ 种放法 B、放进不同的4个盒子里，每盒至少一个，共有 $C_{4}^{3}$ 种放法 C、将其中的4个球投入4个盒子里的一个(另一个球不投入)，共有 $C_{5}^{4} C_{4}^{1}$ 种放法 D、全部投入4个不同的盒子里，没有空盒，共有 $C_{5}^{2} A_{4}^{4}$ 种不同的放法

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10. 为了解推动出口后的亩收入情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值 $\bar{x} = 2.1$ ，样本方差 $s^{2} = 0.01$ ，已知该种植区以往的亩收入 $X$ 服从正态分布 $N (1.8, {0.1}^{2})$ ，假设推动出口后的亩收入 $Y$ 服从正态分布 $N (\bar{x}, s^{2})$ ，则（）（参考：若随机变量 $Z$ 服从正态分布 $N (μ, σ^{2})$ ， $P (Z < μ + σ) \approx 0.8413$ ）

A、 $P (X > 2) > 0.5$ B、 $P (X > 1.9) < 0.2$ C、 $P (Y > 2) > 0.5$ D、 $P (Y > 2) < 0.8$

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11. 如图，在下列给出的正方体中，点 $M ， N$ 为顶点，点 $O$ 为下底面的中心，点 $P$ 为正方体的棱所在的中点，则 $O P$ 与 $M N$ 不垂直的是（）.

A、 B、 C、 D、

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 若 ${(2 x - \frac{a}{x})}^{6}$ 展开式中的常数项为 $- 160$ ，则实数 $a =$ .

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13. 若随机变量 $X ~ N (3 ， 2^{2})$ ，随机变量 $Y = \frac{1}{2} (X - 3)$ ，则 $\frac{E (Y) + 1}{D (Y) + 1} =$ .

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14. 甲袋中有5个红球和3个白球，乙袋中有4个红球和2个白球，如果所有小球只存在颜色的差别，并且整个取球过程是盲取，分两步进行：第一步，先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，分别用 $A_{1}$ 、 $A_{2}$ 表示由甲袋中取出红球、白球的事件；第二步，再从乙袋中随机取出两球，用B表示第二步由乙袋中取出的球是“两球都为红球”的事件，则事件B的概率是.

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四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = \frac{1}{2} n (n + 1)$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = {\begin{array}{l} \frac{1}{a_{n} a_{n + 2}}, n 为奇数 \\ 2^{a_{n}}, n 为偶数 \end{array}$ ，求 ${b_{n}}$ 的前 $2 n$ 项和 $T_{2 n}$ .

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16. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为 $F (1, 0)$ ， A、B分别是椭圆 $C$ 的左、右顶点， $P$ 为椭圆 $C$ 的上顶点， $△ P A B$ 的面积为 $\sqrt{2}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、设直线 $l : y = k x + m$ 与椭圆 $C$ 交于不同的两点 $M$ ， $N$ ，点 $Q (2, 0)$ ，若直线 $M Q$ 的斜率与直线 $N Q$ 的斜率互为相反数，求证：直线 $l$ 过定点.

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17. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P C ⊥$ 底面 $A B C D$ ，四边形 $A B C D$ 是直角梯形， $A D ⊥ D C, A B // D C$ ， $P C = A B = 2 A D = 2 C D = 2$ ，点 $E$ 在棱 $P B$ 上.

(1)、证明：平面 $E A C ⊥$ 平面 $P B C$ ；

(2)、当 $\vec{B E} = 2 \vec{E P}$ 时，求二面角 $P - A C - E$ 的余弦值.

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18. 秋天的第一杯奶茶是一个网络词汇，最早出自四川达州一位当地民警之口，民警用“秋天的第一杯奶茶”顺利救下一名女孩，由此而火爆全网.后来很多人开始在秋天里买一杯奶茶送给自己在意的人.某奶茶店主记录了入秋后前7天每天售出的奶茶数量（单位：杯）
如下：
日期
第一天
第二天
第三天
第四天
第五天
第六天
第七天
日期代码 $x$
1
2
3
4
5
6
7
杯数 $y$
4
15
22
26
29
31
32

(1)、请根据以上数据，绘制散点图，并根据散点图判断， $y = a + b x$ 与 $y = c + d ln x$ 哪一个更适宜作为y关于x的回归方程模型（给出判断即可，不必说明理由）；

(2)、建立y关于x的回归方程（结果保留1位小数），并根据建立的回归方程，试预测要到哪一天售出的奶茶才能超过35杯？

(3)、若每天售出至少25杯即可盈利，则从第一天至第七天中任选三天，记随机变量X表示盈利的天数，求随机变量X的分布列.
参考公式和数据：其中 $u_{i} = \ln x_{i}, \bar{u} = \frac{1}{7} \sum_{i = 1}^{7} u_{i}$
回归直线方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 中， $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{1} y_{1} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}, \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$
$\bar{y}$
$\bar{u}$
$\sum_{i = 1}^{7} x_{i} y_{1}$
$\sum_{i = 1}^{7} u_{i} y_{1}$
$\sum_{i = 1}^{7} u_{i}^{2}$
$e^{2.1}$
22.7
1.2
759
235.1
13.2
8.2

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19. 已知函数 $f (x) = l n x + a x^{2} - x + a + 1$ ．

(1)、证明曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线过原点；

(2)、若 $a \geq 0$ ，讨论 $f (x)$ 的单调性；

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日期	第一天	第二天	第三天	第四天	第五天	第六天	第七天
日期代码 $x$	1	2	3	4	5	6	7
杯数 $y$	4	15	22	26	29	31	32

$\bar{y}$	$\bar{u}$	$\sum_{i = 1}^{7} x_{i} y_{1}$	$\sum_{i = 1}^{7} u_{i} y_{1}$	$\sum_{i = 1}^{7} u_{i}^{2}$	$e^{2.1}$
22.7	1.2	759	235.1	13.2	8.2

X	0	1	2	3
P	a	$\frac{1}{3}$	5a	$\frac{1}{6}$