2024届浙江省绍兴市柯桥区三模数学试题

试卷更新日期：2024-06-06 类型：高考模拟

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合 $A = \{x| - 2 < x < 2\}$ ， $B = \{x| y = \ln x\}$ ，则 $A \cap B$ =（）

A、 $(0, 2)$ B、 $(- 2, 0)$ C、 $(- 2, + \infty)$ D、 $(- \infty, 2)$

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2. 在复平面内，复数 $\frac{i}{1 - i}$ 对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）

A、若 $α ⊥ β$ ， $m ∥ α$ ，则 $m ⊥ β$ B、若 $m ⊥ β$ ， $m ⊥ α$ ， $n ∥ α$ ，则 $n ∥ β$ C、若 $m ⊥ α$ ， $n ⊥ β$ ， $m ∥ n$ ，则 $α ⊥ β$ D、若 $α \cap β = m$ ， $n ∥ α$ ， $n ∥ β$ ，则 $m ∥ n$

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4. 已知实数 $1 < 2 < x < y$ ，若 $x y = 36$ ，且这四个数的中位数是3，则这四个数的平均数是（）

A、 $\frac{5}{2}$ B、3 C、 $\frac{7}{2}$ D、4

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5. 在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若 $2 b \cos (B + C) - a \cos C = c \cos A$ ，则A等于（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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6. 已知函数 $f (x) = \sin (x + φ) (- \frac{π}{2} < φ < 0)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{12}, 0)$ 对称，若当 $x \in [m, \frac{π}{3}]$ 时， $f (x)$ 的最小值是 $- 1$ ，则 $m$ 的最大值是（）

A、 $- \frac{π}{6}$ B、 $- \frac{5 π}{12}$ C、 $\frac{5 π}{12}$ D、 $\frac{π}{6}$

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7. 已知直线 $y = k x (k \neq 0)$ 与椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，以线段 $A B$ 为直径的圆过椭圆的左焦点 $F_{1}$ ，若 $|F_{1} A| = 2 |F_{1} B|$ ，则椭圆 $C$ 的离心率是（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $\frac{5}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ D、 $\frac{5}{9}$

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8. 已知函数 $f (2 x + 1)$ 为偶函数，若函数 $g (x) = f (x) + 2^{1 - x} + 2^{x - 1} - 5$ 的零点个数为奇数个，则 $f (1) =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、0

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．

9. 已知平面向量 $\vec{a} = (2, 3)$ ， $\vec{b} = (4, λ)$ ，则（）

A、若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $λ = 6$ B、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $λ = \frac{8}{3}$ C、若 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 的投影向量为 $(\frac{18}{13}, \frac{27}{13})$ ，则 $λ = \frac{1}{3}$ D、若 $\vec{a} \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = 24$ ，则 $λ = 1$

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10. 已知随机变量 $X \sim N (4, 2)$ ，若 $P (X > 6) = a$ ， $P (4 < X < 6) = b$ ，则（）

A、 $a + b = \frac{1}{2}$ B、 $P (X < 2) = a$ C、 $E (2 X + 1) = 4$ D、 $D (2 X + 1) = 8$

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11. 平行四边形ABCD中 $A B = 2 A D = 2$ ，且 $∠ B A D = 60 °$ ， AB、CD的中点分别为E、F，将 $△ A D E$ 沿DE向上翻折得到 $△ P D E$ ，使P在面BCDE上的投影在四边形BCDE内，且P到面BCDE的距离为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，连接PC、PF、EF、PB，下列结论正确的是（）

A、 $P D = P F$ B、 $P D ⊥ B C$ C、三棱锥 $P - D E F$ 的外接球表面积为 $3 π$ D、点Q在线段PE上运动，则 $| D Q | + | Q B |$ 的最小值为 $\sqrt{2 + \sqrt{3}}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. ${(x - 1)}^{6}$ 的展开式中 $x^{3}$ 的系数为．（用数字作答）

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13. 如图， $∠ P O Q = \frac{π}{6}$ ，点A，B为射线OP上两动点，且 $A B = 2$ ，若射线OQ上恰有一个点C，使得 $∠ A C B = \frac{π}{2}$ ，则此时OA的长度为．

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14. 若 $x, y, z > 0$ ，且 $x^{2} + x y + 2 x z + 2 y z = 4$ ，则 $2 x + y + 2 z$ 的最小值是．

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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B ⊥ B C$ ， $A B = B C = B B_{1} = 6$ ， $D$ 、 $E$ 分别为 $A C$ 、 $B B_{1}$ 的中点，设平面 $A_{1} D E$ 交棱 $B C$ 于点 $F$ ．

(1)、求 $B F$ ；

(2)、求二面角 $C_{1} - D F - C$ 的平面角的正切值．

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16. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} = 2$ ， $S_{n} = \frac{n}{n + 2} a_{n + 1}$ ，设 $b_{n} = \frac{S_{n}}{n}$ ．

(1)、求证：数列 $\{b_{n}\}$ 为等比数列；

(2)、求数列 $\{S_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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17. 小明进行足球射门训练，已知小明每次将球射入球门的概率为0.5．

(1)、若小明共练习4次，求在射入2次的条件下，第一次没有射入的概率；

(2)、若小明进行两组练习，第一组射球门2次，射入 $X_{1}$ 次，第二组射球门3次，射入 $X_{2}$ 次，求 $E (X_{1} + X_{2})$ ．

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18. 设双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的一条渐近线为 $x - 3 y = 0$ ，焦点到渐近线的距离为1． $A_{1}$ ， $A_{2}$ 分别为双曲线 $C$ 的左、右顶点，直线 $l$ 过点 $T (2, 0)$ 交双曲线于点 $M$ ， $N$ ，记直线 $M A_{1}$ ， $N A_{2}$ 的斜率为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ．

(1)、求双曲线 $C$ 的方程；

(2)、求证 $\frac{k_{1}}{k_{2}}$ 为定值．

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19. 若函数 $α (x)$ 有且仅有一个极值点 $m$ ，函数 $β (x)$ 有且仅有一个极值点 $n$ ，且 $m > n$ ，则称 $α (x)$ 与 $β (x)$ 具有性质 $α - β / / m > n$ ．

(1)、函数 $φ_{1} (x) = \sin x - x^{2}$ 与 $φ_{2} (x) = e^{x} - x$ 是否具有性质 $φ_{1} - φ_{2} / / x_{0} > 0$ ？并说明理由．

(2)、已知函数 $f (x) = a e^{x} - \ln (x + 1)$ 与 $g (x) = \ln (x + a) - e^{x} + 1$ 具有性质 $f - g / / x_{1} > x_{2}$ ．
（i）求 $a$ 的取值范围；
（ii）证明： $|g (x_{1})| > |x_{2}|$ ．

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