浙江省杭州地区（含周边）重点中学2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题

试卷更新日期：2024-04-25 类型：期中考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知全集 $U = R$ ，集合 $A = \{0, 3, 4\}$ ， $B = \{0, 1, 2\}$ ，下列能正确表示图中阴影部分的集合是（）

A、 $\{0\}$ B、 $\{0, 1, 2\}$ C、 $\{3, 4\}$ D、 $\{1, 2\}$

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2. 用一个平面截长方体，如果截面形状是三角形，则该截面三角形不可能是（）

A、等腰三角形 B、等边三角形 C、锐角三角形 D、直角三角形

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3. 已知 $(2 + i) z = i$ ， $i$ 为虚数单位，则 $|\bar{z}| =$ （）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$

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4. 已知平面向量 $\vec{a} = (2, 0)$ ， $\vec{b} = (- 1, 1)$ ，且 $|m \vec{a} - \vec{b}| = |\vec{a} + 2 \vec{b}|$ ，则 $m =$ （）

A、 $- 1$ B、 $\frac{- 1 \pm \sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{1 \pm \sqrt{3}}{2}$ D、0

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5. 下列说法正确的是（）

A、过空间中的任意三点有且只有一个平面 B、四棱柱各面所在平面将空间分成27部分 C、空间中的三条直线a，b，c，如果a与b异面，b与c异面，那么a与c异面 D、若直线a在平面 $α$ 外，则平面 $α$ 内一定存在直线与a平行

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6. 若平面向量 $\vec{m}$ ， $\vec{n}$ ， $\vec{p}$ 均是非零向量，则“ $(\vec{m} \cdot \vec{n}) \vec{p} = \vec{m} (\vec{n} \cdot \vec{p})$ ”是“向量 $\vec{m}$ 与 $\vec{p}$ 共线”的（）

A、充要条件 B、充分且不必要条件 C、必要且不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 雷峰塔是“西湖十景”之一，中国九大名塔之一，为中国首座彩色铜雕宝塔．如图，某同学为了测量雷峰塔的高度，在地面C处时测得塔顶A在东偏北45°的方向上，向正东方向行走50米后到达D处，测得塔顶A在东偏北75°的方向上，仰角为45°，则可得雷峰塔离地面的高度值为（）

A、 $50 \sqrt{2}$ 米 B、50米 C、 $25 (\sqrt{6} + \sqrt{2})$ 米 D、 $50 (\sqrt{6} - \sqrt{2})$ 米

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8. 已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} |l n (x + 1)|, & x > - 1 \\ - x^{2} - 4 x - 3, & x \leq - 1 \end{matrix}$ ，若函数 $y = 2 f^{2} (x) + 3 a f (x) + 1 - 2 a$ 有6个不同的零点，则实数a的取值可以是（）

A、 $- 3$ B、3 C、 $- e^{2}$ D、 $e^{2}$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. 对于 $△ A B C$ ，有如下说法，其中正确的是（）

A、满足条件 $A B = \sqrt{3}$ ， $A C = 1$ ， $B = 30^{\circ}$ 的三角形共有两个 B、若 $\sin A = \cos B$ ，则 $△ A B C$ 是直角三角形 C、若 $\cos^{2} A + \cos^{2} B + \sin^{2} C < 2$ ，则 $△ A B C$ 为锐角三角形 D、若 $△ A B C$ 是锐角三角形，则不等式 $\sin A > \cos B$ 恒成立

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10. 已知圆台的轴截面如图所示，其上底面半径为1、下底面半径为2，母线 $A B$ 长为2， $E$ 为母线 $A B$ 中点，则下列结论正确的是（）

A、圆台的高为2 B、圆台的侧面积为 $6 π$ C、圆台外接球的体积是 $\frac{32 π}{3}$ D、在圆台的侧面上，从 $C$ 到 $E$ 的最短路径的长度为5

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11. 关于函数 $f (x) = |\sin x| + |\cos 2 x|$ （ $x \in R$ ），如下结论中正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的最小正周期是 $\frac{π}{2}$ B、函数 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{2}$ 对称 C、函数 $f (x)$ 的值域是 $(0, 2]$ D、函数 $f (x)$ 在 $(\frac{π}{2}, \frac{3 π}{4})$ 上单调递减

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 如图所示，长方形 $O^{'} A^{'} B^{'} C^{'}$ 的边长 $O^{'} A^{'} = 2$ ，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是．

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13. 在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ， $a^{2} + c^{2} + a c = b^{2}$ ， $∠ A B C$ 的角平分线交 $A C$ 于点D，且 $B D = 4$ ，则 $a + 4 c$ 的最小值为．

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14. 已知正三角形ABC的边长为1，P是平面ABC上一点，若 $P A^{2} + P B^{2} + P C^{2} = 5$ ，则PA的最大值为．

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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一．图1是一种木陀螺，可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图2所示，其中 $B, C$ 分别是上、下底面圆的圆心，且 $A C = 3 A B = 3 B D = 9 cm$ ，现有一箱这种的陀螺共重 $6300 g$ （不包含箱子的质量），陀螺的密度为 $\frac{5}{6} g / {cm}^{3}$ （ $π$ 取3）

(1)、试问该箱中有多少个这样的陀螺？

(2)、如果要给这箱陀螺的每个表面涂上一种特殊的颜料，试问共需涂多少 ${cm}^{2}$ 的颜料？

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16. 已知复数 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 是方程 $z^{2} - z + 1 = 0$ 的解，复平面内表示 $z_{1}$ 的点A在第四象限，O是原点．

(1)、点A关于虚轴的对称点为点B，求向量 $\vec{O B}$ 对应的复数；

(2)、将复数 $z_{2}$ 对应的向量 $\vec{O C}$ 绕原点逆时针旋转 $\frac{π}{2}$ 得到向量 $\vec{O D}$ ， $\vec{O D}$ 对应的复数为 $z_{3}$ ，求 ${z_{2}}^{2} + \frac{i}{z_{3}}$ 的值；

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17. 如图，在△ABC中，已知 $A C = 2$ ， $A B = 3$ ， $∠ B A C = 60 °$ ，且 $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$ ．

(1)、若 $\vec{A G} = λ \vec{A C} + μ \vec{A B}$ ，求 $λ + 2 μ$ 的值

(2)、求 $\cos ∠ A G C$ ．

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18. 已知向量 $\vec{a} = (\cos x, - 1)$ ， $\vec{b} = (\sqrt{3} \sin x, - \frac{1}{2})$ ，函数 $f (x) = (\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{a} - 2$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期及单调递增区间；

(2)、已知 $△ A B C$ 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且满足 $f (B) = - 1$ ，如图．
（ⅰ）若 $c = 3 a = 3$ ，求 $△ A B C$ 的面积；
（ⅱ）若 $∠ C A M = 30^{\circ}$ ， $∠ B C M = 120^{\circ}$ ， $C M = \sqrt{3} B C$ ，求 $∠ A C B$ 的值．

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19. 若 $f (x), g (x)$ 是定义在 $[a, b]$ 上的增函数，其中 $[a, b] \subseteq [0, + \infty)$ ，存在函数 $M (x) = {(f (x))}^{2}$ ， $N (x) = {(m \cdot g (x))}^{2}$ ，且函数 $M (x)$ 图像上存在两点 $A, B$ ， $N (x)$ 图像上存在两点 $C, D$ ，其中 $A, C$ 两点横坐标相等， $B, D$ 两点横坐标相等，且 $\vec{A B} ∥ \vec{C D}$ ，则称 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上可以对 $g (x)$ 进行“ $m$ 型平行追逐”，即 $f (x)$ 是 $g (x)$ 在 $[a, b]$ 上的“ $m$ 型平行追逐函数”. 已知 $f (x) = 1 - \frac{a}{4^{x} + 1}$ 是定义在 $R$ 上的奇函数， $g (x) = 2^{x} + b \cdot 2^{- x}$ 是定义在 $R$ 上的偶函数．

(1)、求满足 $f (x) g (x) = \frac{8}{3}$ 的 $x$ 的值；

(2)、设函数 $k (x) = n (f (x) g (x)) - {(g (x))}^{2} + 2$ ，若不等式 $k (x) < 0$ 对任意的 $x \in [1, + \infty)$ 恒成立，求实数 $n$ 的取值范围；

(3)、若函数 $f (x)$ 是 $g (x)$ 在 $[0, \frac{1}{2}]$ 上的“ $m$ 型平行追逐函数”，求正数 $m$ 的取值范围．

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