广西河池市南丹县第二高级中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷

试卷更新日期：2024-05-12 类型：期中考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 在 $▱ A B C D$ 中，若 $\overset{⃑}{A D} = (2, 8)$ ， $\overset{⃑}{A B} = (- 3, 4)$ ，则 $\overset{⃑}{A C} =$ （）

A、 $(- 1, - 12)$ B、 $(- 1, 12)$ C、 $(1, - 12)$ D、 $(1, 12)$

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2. 已知向量 $\vec{a} = (1, 1)$ ， $\vec{b} = (x, 2)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $x =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、2 C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- 2$

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3. 已知向量 $|\vec{a}| = 2$ ， $|\vec{b}| = 1$ ，且 $|\vec{a} - 3 \vec{b}| = \sqrt{7}$ ，则向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角是（）

A、 $\frac{5π}{6}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{2π}{3}$ D、 $\frac{π}{3}$

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4. 如图， $D, C, B$ 在地平面同一直线上， $D C = 10 m$ ，从 $D, C$ 两地测得 $A$ 点的仰角分别为30°和45°，则 $A$ 点离地面的高 $A B$ 等于

A、 $10 m$ B、 $5 \sqrt{3} m$ C、 $5 (\sqrt{3} - 1) m$ D、 $5 (\sqrt{3} + 1) m$

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5. 若四边形 $A B C D$ 满足 $\vec{A B} + \vec{C D} = \vec{0}$ ， $(\vec{A B} - \vec{A D}) \cdot \vec{A C} = 0$ ，则该四边形一定是（）

A、正方形 B、矩形 C、菱形 D、直角梯形

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6. 已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C所对的边分别是 $a, b, c$ ， $2 a^{2} + 2 c^{2} - 2 b^{2} = a c$ ，则 $cos B =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$

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7. 已知点 $A (- 1, 1), B (1, 2), C (- 2, - 1), D (3, 4)$ ，则向量 $\overset{⇀}{A B}$ 在 $\overset{⇀}{C D}$ 方向上的投影为（）

A、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{3 \sqrt{15}}{2}$ C、 $- \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ D、 $- \frac{3 \sqrt{15}}{2}$

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8. 如图，海平面上的甲船位于中心 $O$ 的南偏西 $30 °$ ，与 $O$ 相距15海里的 $C$ 处．现甲船以35海里/小时的速度沿直线 $C B$ 去营救位于中心 $O$ 正东方向25海里的 $B$ 处的乙船，则甲船到达 $B$ 处需要的时间为（）

A、 $\frac{1}{2}$ 小时 B、1小时 C、 $\frac{3}{2}$ 小时 D、2小时

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二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. 在 $△ A B C$ 中，已知 $a = \sqrt{3}$ ， $b = \sqrt{2}$ ， $B = 45 °$ ，则角 $A$ 的度数为（）

A、 $60^{\circ}$ B、 $120^{\circ}$ C、30° D、 $90^{\circ}$

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10. $a, b, c$ 为三角形三边，满足 $a c^{2} - b c^{2} = (a - b) (a^{2} + b^{2})$ ，则三角形的形状可为（）

A、直角三角形 B、锐角三角形 C、钝角三角形 D、等腰三角形

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11. 已知向量 $\vec{a} = (2, 1)$ ， $\vec{b} = (1, - 1)$ ， $\vec{c} = (m - 2, - n)$ ，其中 $m, n$ 均为正数，且 $(\vec{a} - \vec{b}) // \vec{c}$ ，下列说法正确的是（）

A、 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为钝角 B、向量 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量为 $\frac{\vec{b}}{2}$ C、 $2 m + n = 4$ D、 $m n$ 的最大值为2

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 已知 $|\vec{a}| = 5, |\vec{b}| = 4$ ， $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $120^{\circ}$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量为.

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13. 如图，在 $△ A B C$ 中， $\vec{A D} = 2 \vec{D B}$ ， P为CD上一点，且满足 $\vec{A P} = m \vec{A C} + \frac{1}{2} \vec{A B}$ $(m \in R)$ ，则m的值为．

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14. 已知△ABC，AB=AC=4，BC=2．点D为AB延长线上一点，BD=2，连结CD，则△BDC的面积是．

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四、解答题：5小题，其中第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $b = 2 \sqrt{7}$ ， $c = 2$ ， $B = \frac{π}{3}$ .

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、求 $\sin A$ .

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16. 已知向量 $\overset{⃑}{a} = (2, 1), \overset{⃑}{b} = (3, - 1)$ ．
（1）求向量 $\overset{⃑}{a}$ 与 $\overset{⃑}{b}$ 的夹角；
（2）若 $\overset{⃑}{c} = (3, m) (m \in R)$ ，且 $(\overset{⃑}{a} - 2 \overset{⃑}{b}) ⊥ \overset{⃑}{c}$ ，求m的值．

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17. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 $a \cos B + b \cos A = 2 c \cos C$ ．

(1)、求角C的大小；

(2)、若 $2 a + b = 12$ ，且 $△ A B C$ 的面积为 $4 \sqrt{3}$ ，求边长c．

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18. 设 $\vec{a}, \vec{b}$ 是不共线的两个向量.

(1)、若 $\vec{O A} = 2 \vec{a} - \vec{b}$ ， $\vec{O B} = 3 \vec{a} + \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{a} - 3 \vec{b}$ ，求证：A，B，C三点共线；

(2)、若 $8 \vec{a} + k \vec{b}$ 与 $k \vec{a} + 2 \vec{b}$ 共线，求实数k的值.

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19. 如图， $A, B$ 两点在河的同侧，且 $A, B$ 两点均不可到达，为了测出 $A, B$ 两点间的距离，测量者在河岸边选定两点 $C, D$ ，测得 $C D = \frac{\sqrt{3}}{2} km$ ，同时在 $C, D$ 两点分别测得 $∠ A D B = ∠ C D B = 30^{°}$ ， $∠ A C D = 60^{°}$ ， $∠ A C B = 45^{°}$ ，求 $A, B$ 两点间的距离.

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