广西壮族自治区钦州市灵山县天山中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题

试卷更新日期：2024-05-10 类型：期中考试

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一、单选题（每小题5分，共40分）

1. 下列各角中，与 $996^{\circ}$ 终边相同的角为（）

A、 $- 84^{\circ}$ B、 $- 276^{\circ}$ C、 $245^{\circ}$ D、 $84^{\circ}$

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2. 已知点 $P (\tan α, \sin α)$ 在第三象限，则角 $α$ 在（　　）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 函数 $f (x) = c o s (2 x - \frac{π}{4})$ 在下列哪个区间上单调递增（）

A、 $[- \frac{π}{2}, 0]$ B、 $[0, \frac{π}{2}]$ C、 $[- \frac{π}{4}, 0]$ D、 $[0, \frac{π}{4}]$

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4. 将函数 $f (x) = \sin x$ 的图象向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度，再将图象上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数 $g (x)$ 的图象，则 $g (x)$ 的解析式为（）

A、 $g (x) = \sin (\frac{x}{2} - \frac{π}{3})$ B、 $g (x) = \sin (\frac{x}{2} - \frac{π}{6})$ C、 $g (x) = \sin (2 x - \frac{π}{3})$ D、 $g (x) = \sin (2 x - \frac{2 π}{3})$

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5. 已知某扇形的圆心角为 $\frac{π}{3}$ ，其所对的弦长为 $6 \sqrt{3}$ ，则该扇形的面积为（）

A、 $6 π$ B、 $18 π$ C、 $6 \sqrt{3} π$ D、 $18 \sqrt{3} π$

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6. 已知平面向量 $\overset{⃑}{a}$ 、 $\overset{⃑}{b}$ 、 $\overset{⃑}{c}$ ，下列结论中正确的是（）

A、若 $\overset{⃑}{a} / / \overset{⃑}{b}$ ，则 $\overset{⃑}{a} = \overset{⃑}{b}$ B、若 $|\overset{⃑}{a} + \overset{⃑}{b}| = |\overset{⃑}{a}| + |\overset{⃑}{b}|$ ，则 $\overset{⃑}{a} / / \overset{⃑}{b}$ C、若 $\overset{⃑}{a} / / \overset{⃑}{b}$ ， $\overset{⃑}{b} / / \overset{⃑}{c}$ ，则 $\overset{⃑}{a} / / \overset{⃑}{c}$ D、若 $|\overset{⃑}{a}| = |\overset{⃑}{b}|$ ，则 $\overset{⃑}{a} = \overset{⃑}{b}$

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7. 设角 $θ$ 的终边经过点 $P (4 a, - 3 a) (a \neq 0)$ ，则 $sin (\frac{π}{2} + θ) + sin (3 π + θ)$ 所有可能的值为（）

A、 $\pm \frac{7}{5}$ B、 $\pm \frac{1}{5}$ C、 $\frac{7}{5}$ D、 $\frac{1}{5}$

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8. 函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ 的图象如图所示，其中 $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $|φ| < \frac{π}{2}$ ，则下列关于函数 $f (x)$ 的说法中错误的是（）

A、在 $(- π, - \frac{5 π}{6})$ 上单调递减 B、 $φ = - \frac{π}{6}$ C、最小正周期是 $π$ D、对称轴是直线 $x = \frac{π}{3} + \frac{k π}{2} (k \in Z)$

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二、多选题（每小题6分，共18分）

9. 下列关于平面向量的说法正确的是（）

A、若 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 是相反向量，则 $|\vec{a}| = |\vec{b}|$ B、若 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 是共线的单位向量，则 $\vec{a} = \vec{b}$ C、若 $\vec{a} + \vec{b} = \vec{0}$ ，则向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 共线 D、若 $\vec{A B} ∥ \vec{C D}$ ，则点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 必在同一条直线上

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10. 下列说法中，不正确的是（）

A、第二象限角都是钝角 B、第二象限角大于第一象限角 C、若角 $α$ 与角 $β$ 不相等，则 $α$ 与 $β$ 的终边不可能重合 D、若角 $α$ 与角 $β$ 的终边在一条直线上，则 $α - β = k \cdot 180 ° (k \in Z)$

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11. 已知函数 $f (x) = \sin (x - \frac{π}{3})$ ， $g (x) = \cos (2 x - \frac{π}{3})$ ，以下四种变换方式能得到函数 $g (x)$ 的图象的是（）

A、将函数 $f (x)$ 图象上所有点的横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ ，再将所得图象向左平移 $\frac{7 π}{12}$ 个单位长度 B、将函数 $f (x)$ 图象上所有点的横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ ，再将所得图象向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度 C、将函数 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{2}$ 个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ D、将函数 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$

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三、填空题（每小题5分，共15分）

12. 在 $△ A B C$ 中， $| \vec{A B} | = 13, | \vec{A C} | = 5, | \vec{B C} | = 12, \vec{B C}$ 与 $\vec{A C}$ 的夹角等于．

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13. 已知 $\forall x \in R, f (x + 3) = - f (x)$ ，当 $x \in (0, 3)$ 时， $f (x) = sin (\frac{π x}{2})$ ，则 $f (- 2024) =$ .

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14. 已知函数 $f (x) = cos ω x + 11 (ω > 0)$ 在 $[\frac{π}{6}, \frac{π}{4}]$ 上单调递减，则 $ω$ 的取值范围为．

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四、解答题（第15题12分，第16、17题15分，第18题17分，第19题18分）

15. 求下列三角函数值（参考数据 $\cos 110 ° = - 0.3420$ ）

(1)、 $\cos 1190 °$

(2)、 $\tan \frac{19 π}{3}$

(3)、 $\sin (- 1050 °)$

(4)、 $\tan (- \frac{31π}{4})$

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16. 化简下列各式：

(1)、 $\vec{O A} - \vec{O D} + \vec{A D}$ ；

(2)、 $\vec{A B} + \vec{D A} + \vec{B D} - \vec{B C} - \vec{C A}$ ．

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17. 已知角 $α$ 的顶点在坐标原点 $O$ ，始边与 $x$ 轴非负半轴重合，其终边经过点 $P (3, - 4)$ .

(1)、求 $sin α, cos α, tan α$ 的值；

(2)、求 $\frac{cos (π - α) cos (\frac{π}{2} - α)}{sin (\frac{π}{2} + α) tan (π + α)}$ 的值.

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18. 已知函数 $f (x) = 2 sin (2 x - \frac{π}{6})$ .

(1)、求 $f (\frac{2 π}{3})$ 的值；

(2)、当 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ 时，求函数 $f (x)$ 的最大值与最小值.

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19. 深圳别称“鹏城”，“深圳之光”摩天轮是中国之眼．游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色，摩天轮最高点距离地面高度为120米，转盘直径为110米，当游客坐上“深圳之光”摩天轮的座舱开始计时．开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30分钟．开始转动t分钟后距离地面的高度为 $H (t)$ 米．

(1)、经过t分钟后游客距离地面的高度为H米，已知H关于t的函数关系式满足 $H (t) = A \sin (ω t + φ) + B$ （其中 $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $|φ| \leq \frac{π}{2}$ ），求摩天轮转动一周的解析式 $H (t)$ ；

(2)、若游客在距离地面至少92.5米的高度能够获得最佳视觉效果，请问摩天轮在运行一周的过程中，游客能有多长时间有最佳视觉效果？

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