【培优版】北师大版数学九年级上册第四章图形的相似章节测试卷

试卷更新日期：2024-10-01 类型：单元试卷

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一、选择题（每题3分，共24分）

1. 如图，E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD的中点，连接AF、DE交于点P，过B作BG∥DE交AD于G，BG与AF交于点M．对于下列结论：①AF⊥DE；②G是AD的中点；③∠GBP＝∠BPE；④S_△_AGM：S_△_DEC＝1：4．正确的个数是（　　）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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2. 如图，已知AB=AC ， ∠B＜30°，BC上一点D满足∠BAD=120°， $\frac{B D}{C D}$ = $\frac{7}{3}$ ，则 $\frac{A D}{A C}$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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3. 如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，点H在边AD上，CE＝DH ， CH交BE于点F ，交BD于点G ，连接GE ．下列结论：①CH＝BE；②CH⊥BE；③S_△_GCE＝S_△_GDH；④当E是CD的中点时， $\frac{G F}{G E} = \frac{4}{5}$ ；⑤当EC＝2DE时，S_正方形_ABCD＝6S_四边形_DEGH ．其中正确结论的序号是（　　）

A、①②③④ B、①②③⑤ C、①③④⑤ D、②④⑤

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4. 如图，正方形 $A B C D$ 中， $A E$ 平分 $∠ C A B$ ，交 $B C$ 于点E ，将 $△ A B E$ 绕点B顺时针旋转 $90 °$ 得到 $△ C B F$ ，延长 $A E$ 交 $C F$ 于点G ，连接 $B G 、 D G ， D G$ 交 $A C$ 于点H ．
下列结论① $B E = B F$ ；② $∠ A C F = ∠ F$ ；③ $B G ⊥ D G$ ；④ $\frac{A E}{D H} = \frac{\sqrt{2}}{1}$
正确的是（）

A、①②③④ B、②③ C、①③ D、①②④

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5. 如图，正方形 $A B C D$ 的对角线相交于 $O$ ，点 $M$ ， $N$ 分别是边 $B C$ ， $C D$ 上的动点（不与点 $B$ ， $C$ ， $D$ 重合）， $A M$ ， $A N$ 分别交 $B D$ 于 $E$ ， $F$ 两点，且 $∠ M A N = 45 °$ ，则下列结论：
① $M N = B M + D N$ ；② $△ A E F ≌ △ B E M$ ；③ $\frac{A F}{A M} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ；④ $△ F M C$ 是等腰三角形．其中正确的有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题（每题3分，共15分）

6. 如图，正方形ABCD中，AD=4，点E是对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥ED，交AB于点F，连接DF，交AC于点G，将△EFG沿EF翻折，得到△EFM，连接DM，交EF于点N，若点F是AB的中点，则△EMN的周长是．

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7. 由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形 $A B C D$ 如图所示．将小正方形对角线 $E F$ 双向延长，分别交边 $A B$ ，和边 $B C$ 的延长线于点G，H．若大正方形与小正方形的面积之比为5， $G H = 2 \sqrt{10}$ ，则大正方形的边长为．

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8. 在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $B D / / A C$ ，连接 $C D$ ，若 $∠ A B D + ∠ B C D = 90 °$ ， $6 C D = 5 C B$ ， $△ A B C$ 的面积为7.5，则 $A B =$ ．

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9. 如图，在等边三角形 $A B C$ 中， $A B = 4$ ，点 $D$ 是边 $A B$ 上一点，且 $B D = 1$ ，点 $P$ 是边 $B C$ 上一动点（ $D$ 、 $P$ 两点均不与端点重合），作 $∠ D P E = 60 °$ ， $P E$ 交边 $A C$ 于点 $E$ ．若 $C E = a$ ，当满足条件的点 $P$ 有且只有一个时，则 $a$ 的值为．

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三、解答题（共7题，共61分）

10. 如图， $A B ∥ C D$ ，且 $A B = 2 C D$ ， E是AB的中点，F是边BC上的动点（F不与B ， C重合），EF与BD相交于点M ．

(1)、求证： $△ F D M ∽ △ F B M$ ；

(2)、若F是BC的中点， $B D = 18$ ，求BM的长；

(3)、若 $A D = B C$ ， BD平分 $∠ A B C$ ，点P是线段BD上的动点，是否存在点P使 $D P \cdot B P = B F \cdot C D$ ，若存在，求出 $∠ C P F$ 的度数；若不存在，请说明理由．

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11. 在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 9 0^{∘}$ ， $A B = 3$ ， $B C = 4$ .点 $Q$ 在线段 $A C$ 上运动，过点 $Q$ 作 $A C$ 的垂线交线段 $A B$ （如图1）或线段 $A B$ 的延长线（如图2）于点 $P$ ．

图1 图2 备用图

(1)、当点 $P$ 在线段 $A B$ 上时，求证： $△ A Q P ∽ △ A B C$ ；

(2)、当点 $P$ 与点 $B$ 重合时，求 $A Q$ 的长；

(3)、若点 $Q$ 从点 $A$ 以每秒2个单位长的速度向点 $C$ 运动，求点 $P$ 与点 $B$ 的距离不大于1的时长；

(4)、当 $△ B P Q$ 为等腰三角形时，直接写出 $A P$ 的长．

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12. 如图， $∠ A B C = 45 °$ ，点P为 $△ A B C$ 内一点，连接 $P A ， P B ， P C$ ，已知 $∠ B P A = ∠ B P C = 135 °$ ．

(1)、求证： $△ C P B ∽ △ B P A$ ；

(2)、若 $A C ⊥ B C$ ，试求 $\frac{A C}{P C}$ 的值．

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13. 如图，点P是菱形 $A B C D$ 的对角线 $B D$ 上一点，连接 $C P$ 并延长，交 $A D$ 于点E ，交 $B A$ 的延长线于点F ．

(1)、求证： $△ A P D ≌ △ C P D$ ；

(2)、求证： $△ A P E ∽ △ F P A$ ；

(3)、求证： $P C^{2} = P E \cdot P F$ ．

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14. 阅读下面材料：小吴遇到这样一个问题：如图1，在 $△ A B C$ 中， $B E$ 是 $A C$ 边上的中线，点 $D$ 在 $B C$ 边上， $\frac{D B}{B C} = \frac{2}{3} ， A D$ 与 $B E$ 相交于点 $P$ ，求 $\frac{A P}{P D}$ 的值．
小吴发现，过点 $C$ 作 $C F ∥ A D$ ，交 $B E$ 的延长线于点 $F$ ，通过构造 $△ C E F$ ，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．

(1)、请回答： $\frac{A P}{P D}$ 的值为．

(2)、如图3，在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 在 $B C$ 的延长线上， $\frac{D B}{B C} = \frac{3}{2}$ ，点 $E$ 在 $A C$ 上，且 $\frac{A E}{E C} = \frac{3}{2}$ ．求 $\frac{A P}{P D}$ 的值；

(3)、如图4，在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 在 $B C$ 的延长线上， $\frac{D B}{B C} = \frac{3}{2}$ ，点 $E$ 在 $A C$ 上，且 $\frac{A E}{E C} = \frac{7}{2}$ ，直接写出 $\frac{A P}{P D}$ 的值为．

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15. 请阅读下列材料，并完成相应的任务．
梅涅劳斯 $(M e n e l a u s)$ 是公元 $1$ 世纪时的希腊数学家兼天文学家，著有几何学和三角学方面的许多书籍 $.$ 梅涅劳斯发现，若一条直线与三角形的三边或其延长线相交 $($ 交点不能是三角形的顶点 $)$ ，可以得到六条线段，三条不连续线段的乘积等于剩下三条线段的乘积 $.$ 该定理被称为梅涅劳斯定理，简称梅氏定理．
如图 $1$ ，直线 $l$ 交线段 $A B$ 于点 $F$ ，交线段 $A C$ 于点 $E$ ，交 $B C$ 延长线于点 $D$ ，可截得六条线段 $F A$ 、 $F B$ 、 $E A$ 、 $E C$ 、 $D C$ 、 $D B$ ，则这六条线段满足 $F A \cdot B D \cdot C E = F B \cdot C D \cdot A E$ ．
下面是该定理的一部分证明过程：
证明：如图 $2$ ，过点 $A$ 作 $A P / / F D$ ，交 $B C$ 延长线于点 $P$ ，则有 $\frac{F A}{F B} = \frac{P D}{B D} ($ 依据 $)$ ， $\dots$

(1)、上述过程中的依据指的是；

(2)、请将该定理的证明过程补充完整；

(3)、在图 $1$ 中，若点 $F$ 是 $A B$ 的中点， $B C = 2 C D$ ，则 $\frac{A E}{E C}$ 的值为；

(4)、在图 $1$ 中，若 $F E = m E D$ ， $B C = n C D$ ，则 $\frac{F A}{F B}$ 的值为．

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16. 学校数学社团遇到这样一个题目：
如图1，在 $△ A B C$ 中，点 $O$ 在线段 $B C$ 上， $∠ B A O = 3 0^{°} ， ∠ O A C = 7 5^{°} ， A O = 3 \sqrt{3} ， B O ： C O = 1 ： 3$ 求AB的长．
经过社团成员讨论发现，过点 $B$ 作 $B D / / A C$ ，交AO的延长线于点 $D$ ，通过构造 $△ A B D$ 就可以解决问题（如图2）．

(1)、请回答： $∠ A D B =$ °。 $A B =$ ．

(2)、请参考以上解决思路，解决问题：
如图3，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点 $O ， A C ⊥ A D ， A O = 3 \sqrt{3}$ ， $∠ A B C = ∠ A C B = 7 5^{°}$ ， $B O ： O D = 1 ： 3$ ，求DC的长．

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【培优版】北师大版数学九年级上册第四章 图形的相似 章节测试卷

一、选择题（每题3分，共24分）

二、填空题（每题3分，共15分）

三、解答题（共7题，共61分）

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