【提升版】北师大版数学九年级上册第四章图形的相似章节测试卷

试卷更新日期：2024-10-01 类型：单元试卷

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一、选择题（每题3分，共24分）

1. 如图，小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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2. 如图，在▱ABCD中，E是AB的中点，EC交BD于点F，则△BEF与△DCB的面积比为（　　）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{5}$ D、 $\frac{1}{6}$

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3. 如图，D是△ABC边AB上一点，添加一个条件后，仍然不能使△ACD∽△ABC的是（）

A、∠ACB＝∠ADC B、∠ACD＝∠ABC C、 $\frac{A C}{A B} = \frac{A D}{A C}$ D、 $\frac{C D}{B C} = \frac{A D}{A C}$

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4. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，E为 $A B$ 上一点，且 $A E ： E B = 1 ： 2$ ， $A C$ 与 $D E$ 相交于点F ， $S_{△ A E F} = 2$ ，则 $S_{△ D F C} =$ （）.

A、4 B、8 C、12 D、18

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5. 如图，为了估算河的宽度，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，E，使得A，B与C共线，A，D与E共线，且直线AC与河岸垂直，直线BD，CE均与直线AC垂直．经测量，得到BC，CE，BD的长度，设AB的长为x，则下列等式成立的是（　　）

A、 $\frac{x}{x + B C} = \frac{B D}{C E}$ B、 $\frac{x}{B C} = \frac{B D}{C E}$ C、 $\frac{B C}{x + B C} = \frac{B D}{C E}$ D、 $\frac{B C}{x} = \frac{B D}{C E}$

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6. 黄金分割由于其美学性质，受到摄影爱好者和艺术家的喜爱，摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法．其原理是：如图，将正方形 $A B C D$ 的底边 $B C$ 取中点E ，以E为圆心，线段 $D E$ 为半径作圆，其与底边 $B C$ 的延长线交于点F ，这样就把正方形 $A B C D$ 延伸为矩形 $A B F G$ ，称其为黄金矩形．若 $C F = 4 a$ ，则 $A B =$ （）．

A、 $(\sqrt{5} - 1) a$ B、 $(2 \sqrt{5} - 2) a$ C、 $(\sqrt{5} + 1) a$ D、 $(2 \sqrt{5} + 2) a$

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7. 如图，在正方形ABCD和CEFG中，连接AF交CD于点H ， AB＝6，DH＝3GH ， I是AF的中点，那么CI的长是（　　）

A、 $2 \sqrt{5}$ B、2 C、 $3 \sqrt{5}$ D、3

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8. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，点D为线段 $B C$ 上一动点（不与点B ， C重合），连接 $A D$ ，作 $∠ A D E = ∠ B = 40 °$ ， $D E$ 交线段 $A C$ 于点E ．
下面是某学习小组根据题意得到的结论：
甲同学： $△ A B D ∼ △ D C E$ ；
乙同学：若 $A D = D E$ ，则 $B D = C E$ ；
丙同学：当 $D E ⊥ A C$ 时，D为 $B C$ 的中点．
则下列说法正确的是（）

A、只有甲同学正确 B、乙和丙同学都正确 C、甲和丙同学正确 D、三个同学都正确

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二、填空题（每题3分，共15分）

9. 如图，已知▱ABCD中，点E在CD上， $\frac{C E}{E D} = \frac{1}{2}$ ，BE交对角线AC于点F.则 $\frac{C F}{A F}$ ＝.

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10. 如图，在正方形网格中，A，B，C，D是网格线交点，AC与BD相交于点O，小正方形的边长为1，则AO的长为．

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11. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 ° ， D 、 E$ 分别是边 $A B 、 B C$ 上的点，将 $△ B D E$ 沿 $D E$ 翻折至 $△ A B C$ 所在的平面内，得 $△ F D E ， D F 、 B C$ 相交于点 $G$ ．若 $B C = 8$ ， $B D = A C = 6 ， D F ∥ A C$ ，则 $G E$ 的长是．

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12. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， D ， E分别是 $A B ， B C$ 的中点，把 $△ B D E$ 沿着 $D E$ 翻折，点B恰好在 $A C$ 边上的F处，若 $\frac{A B}{B C} = k$ ，则 $\frac{A F}{C F} =$ ．（用含k的代数式表示）

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13. 如图是一边长为6的菱形纸片ABCD，将纸片沿EF折叠，使点D落在边BC上，点A，D的对应点分别为点G，H，GH交AB于点J．若AE=1.4，CF=2，则EJ的长是

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三、解答题（共7题，共61分）

14. 如图，在 $△ A B C$ 中，D ， E分别是 $A B ， A C$ 上的点，连接 $D E$ ，且 $∠ A E D = ∠ B$ ．

(1)、求证： $△ A E D ∽ △ A B C$ ；

(2)、若 $D E = 8$ ， $A B = 18$ ， $A E = 9$ ，求 $B C$ 的长．

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15. 如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC ，垂足为E ，连接DE ， F为线段DE上一点，且∠AFD＝∠C ．

(1)、求证：△ADF∽△DEC；

(2)、若AB＝8，AD＝6 $\sqrt{3}$ ， AF＝4 $\sqrt{3}$ ，求AE的长．

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16. 如图，我们知道，如果点 $P$ 是线段 $A B$ 上的一点，将线段分割成 $A P ， B P$ 两条线段 $(A P > B P)$ ，且满足 $B P ： A P = A P ： A B$ ，那么这种分割就叫做黄金分割．其中线段 $A P$ 与 $A B$ 的比值或线段 $B P$ 与 $A P$ 的比值叫做黄金分割数．已知比例的基本性质：对于长度为 $a ， b ， c ， d$ 的四条线段，如果 $a ： b = c ： d$ ，则 $a d = b c$ ．求黄金分割数（结果保留根号）．

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17.

(1)、【教材呈现】下图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容．请根据教材提示，结合图1，写出完整的证明过程．
猜想：
如图1．在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 、 $E$ 分别是 $A B$ 与 $A C$ 的中点，根据画出的图形，可以猜想：
$D E ∥ B C$ ，且 $D E = \frac{1}{2} B C$ ．
对此，我们可以用演绎推理给证明．

(2)、【结论应用】如图2， $△ A B C$ 是等边三角形，点 $D$ 在边 $A B$ 上（点 $D$ 与点 $A$ 、 $B$ 不重合），过点 $D$ 作 $D E ∥ B C$ 交 $A C$ 于点 $E$ ，连结 $B E$ ， $M$ 、 $N$ 、 $P$ 分别为 $D E$ 、 $B E$ 、 $B C$ 的中点，顺次连结 $M$ 、 $N$ 、 $P$ ．
①求证： $M N = P N$ ；
② $∠ M N P$ 的大小是．

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18. 如图，在 $△ A B C$ 中， $D$ 是边 $A B$ 上一点.

(1)、当 $∠ A C D = ∠ B$ 时，
①求证： $△ A B C ∽ △ A C D$ ；
②若 $A D = 1$ ， $B D = 3$ ，求 $A C$ 的长；

(2)、已知 $A B = \sqrt{2} A C = 2 A D$ ，若 $C D = 2$ ，求 $B C$ 的长.

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19.

(1)、如图1，在 $△ A B C$ 中，D，E，F分别为 $A B ， A C ， B C$ 上的点， $D E ∥ B C ， B F = C F ， A F$ 交 $D E$ 于点G，求证： $D G = E G$ ．

(2)、如图2，在（1）的条件下，连接 $C D ， C G$ ．若 $C G ⊥ D E ， C D = 6 ， A E = 3$ ，求 $\frac{D E}{B C}$ 的值．

(3)、如图3，在 $▱ A B C D$ 中， $∠ A D C = 45 ° ， A C$ 与 $B D$ 交于点O，E为 $A O$ 上一点， $E G ∥ B D$ 交 $A D$ 于点G， $E F ⊥ E G$ 交 $B C$ 于点F．若 $∠ E G F = 40 ° ， F G$ 平分 $∠ E F C ， F G = 10$ ，求 $B F$ 的长．

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20. 已知在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ， $A D = k A B$ ，点 $E$ 是 $A B$ 边上的一个动点，以 $C E$ 为边，在 $C E$ 的右侧作矩形 $C E F G$ ，且 $C E = k C G$ ，连接 $D G$ ， $B E$ .

(1)、如图1，若 $k = 1$ ，点 $E$ 运动到 $A D$ 的中点时，求 $D G$ 的长.

(2)、如图2，判断 $D G$ 与 $B E$ 有怎样的数量关系，并说明理由.

(3)、当点 $E$ 从点 $A$ 运动到点 $D$ 时，请直接写出点 $G$ 的运动路径长.

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【提升版】北师大版数学九年级上册第四章 图形的相似 章节测试卷

一、选择题（每题3分，共24分）

二、填空题（每题3分，共15分）

三、解答题（共7题，共61分）

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