【培优版】北师大版数学九年级上册4.8图形的位似 同步练习

①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；

②位似图形一定有位似中心；

③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形；

其中正确命题的序号是（  ）

制作：把钻有若干等距小孔的四根直尺用螺栓分别在点A，B，C，D处连接起来，使得直尺可以绕着这些点转动，O为固定点，$OD=DA=CB$ ， $DC=AB=BE$ ， 在点A，E处分别装上画笔．

画图：现有一图形M，画图时固定点O，控制点A处的笔尖沿图形M的轮廓线移动，此时点E处的画笔便画出了将图形M放大后的图形N．

原理：

连接$OA$ ， $OE$ ， 可证得以下结论：

①$\text{△}ODA$和$\text{△}OCE$为等腰三角形，则$\angle DOA=\frac{1}{2}\left(180°-\angle ODA\right)$ ， $\angle COE=\frac{1}{2}$（180°-∠            ▲             ）；

②四边形$ABCD$为平行四边形（理由是            ▲            ）；

③$\angle DOA=\angle COE$ ， 于是可得O，A，E三点在一条直线上；

④当$\frac{DC}{CB}=\frac{3}{5}$时，图形N是以点O为位似中心，把图形M放大为原来的            ▲            倍得到的．

制作：把钻有若干等距小孔的四根直尺用螺栓分别在点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 处连接起来，使得直尺可以绕着这些点转动， $O$ 为固定点， $OD=DA=CB$ ， $DC=AB=BE$ ，在点 $A$ ， $E$ 处分别装上画笔．

画图：现有一图形 $M$ ，画图时固定点 $O$ ，控制点 $A$ 处的笔尖沿图形 $M$ 的轮廓线移动，此时点 $E$ 处的画笔便画出了将图形 $M$ 放大后的图形 $N$ ．

原理：

连接 $OA$ ， $OE$ ，可证得以下结论：

① $△ODA$ 和 $△OCE$ 为等腰三角形，则 $\angle DOA=\frac{1}{2}\left(180°-\angle ODA\right)$ ， $\angle COE=\frac{1}{2}$ （180°-∠    ▲    ）；

②四边形 $ABCD$ 为平行四边形（理由是    ▲    ）；

③ $\angle DOA=\angle COE$ ，于是可得 $O$ ， $A$ ， $E$ 三点在一条直线上；

④当 $\frac{DC}{CB}=\frac{3}{5}$ 时，图形 $N$ 是以点 $O$ 为位似中心，把图形 $M$ 放大为原来的    ▲    倍得到的．

如图，在6×8网格图中，每个小正方形边长均为1，点O和A、B、C三点均为格点．

（1）以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC位似，且位似比为1：2；

（2）连接（1）中的AA′，求四边形AA′C′C的周长．（结果保留根号）

用硬纸板复制视力表中所对应的“E”，并依次编号为①，②，放在水平桌面上．如图所示，将②号“E”沿水平桌面向右移动，直至从观测点O看去，对应顶点$P_1$ ， $P_2$ ， O在一条直线上为止．这时我们说，在$D_1$处用①号“E”测得的视力与在$D_2$处用②号“E”测得的视力相同．

数学课上，老师要求同学们在扇形纸片OAB上画出一个正方形，使得正方形的四个顶点分别落在扇形半径OA、OB和弧AB上．有一部分同学是这样画的：如图1，先在扇形OAB内画出正方形CDEF，使得C、D在OA上，F在OB上，连结OE并延长交弧AB与G点，过点G，作GJ⊥OA于点J，作GH⊥GJ交OB于点H，再作HI⊥OA于点I．

（1）请问他们画出的四边形GHIJ是正方形吗？如果是，请给出你的证明；如果不是，请说明理由；

（2）还有一部分同学用另外一种不同于图1的方法画出的，请你参照图1的画法，在图2上画出这个正方形（保留画图痕迹，不要求证明）．

解决问题

小明观察一个由1×1正方形点阵组成的点阵图，图中水平与竖直方向上任意两个相邻点间的距离都是1．他发现一个有趣的问题：对于图中出现的任意两条端点在点阵上且互相不垂直的线段，都可以在点阵中找到一点构造垂直，进而求出交点与垂足之间的数值．

请回答：