贵州省六盘水市2024届高三下学期三诊数学试卷

试卷更新日期：2024-07-05 类型：高考模拟

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知全集 $U = R$ ， $∁_{U} A = \{x | x < 1\}$ ， $B = \{x | x \leq 3\}$ ，则 $A \cap B =$ （　　）

A、 $\{x | x \geq 1\}$ B、 $\{x | x > 3\}$ C、 $\{x | 1 < x \leq 3\}$ D、 $\{x | 1 \leq x \leq 3\}$

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2. 抛物线 $x^{2} = - 4 y$ 的焦点坐标为（）

A、 $(- 1, 0)$ B、 $(1, 0)$ C、 $(0, 1)$ D、 $(0, - 1)$

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3. 已知曲线 $y = x^{2} - 3 ln x$ 的一条切线方程为 $y = - x + m$ ，则实数 $m =$ （　　）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、1 D、2

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4. 在 $△ A B C$ 中， $A B = 2$ ， $A C = 3$ ， $∠ A = \frac{π}{3}$ ，则 $△ A B C$ 外接圆的半径为（　　）

A、 $\frac{\sqrt{7}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{2} 1}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{7}}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{21}}{3}$

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5. 已知点O为 $△ A B C$ 的重心， $\vec{A C} = λ \vec{O A} + μ \vec{O B}$ ，则 $λ + μ =$ （　　）

A、 $- 3$ B、 $- 2$ C、1 D、6

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6. 已知直线 $a x - y + 2 = 0$ 与圆 ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 4$ 相交于A，B两点，若 $| A B | = 2 \sqrt{3}$ ，则 $a =$ （　　）

A、 $\frac{4}{3}$ B、1 C、 $- \frac{3}{4}$ D、﹣2

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7. 定义在R上的奇函数 $f (x)$ ，满足 $f (x + 3) = f (1 - x)$ ， $x \in [0, 2]$ 时， $f (x) = m e^{x} - 1$ ，则 $f (31) =$ （　　）

A、 $e + 1$ B、 $e - 1$ C、 $1 - e$ D、 $- e$

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8. 已知 $a e^{a} = π$ ， $b ln b = π$ ， $c = \sqrt{π}$ ，则（　　）

A、 $a < c < b$ B、 $c < a < b$ C、 $c < b < a$ D、 $a < b < c$

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二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9. 已知函数 $f (x) = \sin (ω x + φ) (ω > 0, | φ | < \frac{π}{2})$ ，若函数 $f (x)$ 图象的相邻两个对称中心之间的距离为 $\frac{π}{2}$ ， $x = - \frac{π}{6}$ 为函数 $y = f (x)$ 图象的一条对称轴，则（　　）

A、 $ω = 2$ B、 $φ = - \frac{π}{6}$ C、点 $(\frac{π}{3}, 0)$ 是函数 $f (x)$ 图象的对称中心 D、将函数 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度后所得函数的图象关于 $y$ 轴对称

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10. （多选）如图，在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点P是线段 $A_{1} D$ 上的动点，则（）

A、 $△ P B C_{1}$ 的面积为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、三棱锥 $B_{1} - P B C_{1}$ 的体积为 $\frac{1}{6}$ C、存在点P，使得 $B P$ ⊥ $P C_{1}$ D、存在点P，使得 $A_{1} D$ ⊥平面 $P B C_{1}$

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11. （多选）设O为坐标原点， $F_{1}, F_{2}$ 分别为双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点，离心率为2，焦点到渐近线的距离为 $\sqrt{3}$ ，点 $P$ 为双曲线上一点，则（　　）

A、若 $|P F_{1}| = 3$ ，则 $|P F_{2}| = 1$ B、若 $△ P O F_{2}$ 的面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ，则 $∠ F_{1} P F_{2} = 60 °$ C、若线段 $P F_{1}$ 的中点在y轴上，则 $|P F_{2}| = 3$ D、 $△ F_{1} P F_{2}$ 内切圆的圆心到 $y$ 轴的距离为1

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 若复数 $z$ 是方程 $x^{2} + 2 x + 2 = 0$ 的根，则复数 $z$ 的模为．

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13. 诗词是中国的传统文化遗产之一，是中华文化的重要组成部分．某校为了弘扬我国优秀的诗词文化，举办了校园诗词大赛，大赛以抢答形式进行．若某题被甲、乙两队回答正确的概率分别为 $\frac{1}{4}, \frac{1}{3}$ ，且甲、乙两队抢到该题的可能性相等，则该题被答对的概率为．

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14. 已知正四面体的棱长为 $2 \sqrt{3}$ ，以其中一个顶点为球心作半径为3的球，则所得球面与该正四面体表面的交线长之和为．

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 已知 $\{a_{n}\}$ 为等差数列，且 $a_{5} ＝ 3 a_{1}$ ， $a_{1} + a_{5} + a_{14} ＝ a_{10} + 24$ ．

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若 $2^{n} \cdot λ \geq a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}$ 恒成立，求实数λ的取值范围．

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16. 某公司有5台旧仪器，其中有2台仪器存在故障，

(1)、现有一位工人从这5台仪器中随机选择3台进行检测，记ξ为这3台仪器中存在故障的台数，求ξ的分布列和数学期望；

(2)、为了提高生产，该公司拟引进20台此种新仪器，若每台仪器的运行相互独立，且每台机器在运行过程中发生问题的概率为0.03，记X为这20台新仪器在运行过程中发生故障的台数，借助泊松分布，估计

X = 3

时的概率.

附：①若随机变量ξ的分布列为 $P (ξ = k) = \frac{λ^{k}}{k!} e^{- λ}, k = 0, 1, 2, \dots,$ 则称随机变量ξ服从泊松分布．

②设 $η ~ B (n, p)$ ，当 $p \leq 0.05$ 且 $n \geq 20$ 时，二项分布可近似看成泊松分布．即 $P (η = k) = C_{n}^{k} p^{k} {(1 - p)}^{n - k} \approx \frac{λ^{k}}{k!} e^{- λ}$ ，其中 $λ = E (η)$ ．

③泊松分布表（局部）

表中列出了 $P (ξ = k) = \frac{λ^{k}}{k!} e^{- λ}$ 的值（如： $λ = 0.5$ 时， $P (ξ = 5) = 0.000158$

$λ$ $k$	…	0.5	0.6	0.7	…
0	…	0.606531	0.548812	0.496585	…
1	…	0.303265	0.329287	0.347610	…
2	…	0.075816	0.098786	0.121663	…
3	…	0.012636	0.019757	0.028388	…
4	…	0.001580	0.002964	0.004968	…
5	…	0.000158	0.000356	0.000696	…
6	…	0.000013	0.000036	0.000081	…
7	…	0.000001	0.000003	0.000008	…

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17. 已知四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的上、下底面分别是边长为 $2$ 和 $4$ 的正方形，平面 $A D D_{1} A_{1} ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A A_{1} = 3$ ， $D D_{1} = \sqrt{13}$ ， $\cos ∠ A_{1} D_{1} D = - \frac{2 \sqrt{13}}{13}$ ，点 $P$ 为 $D D_{1}$ 的中点，点 $Q$ 在棱 $B C$ 上，且 $B Q = 3 Q C$ ．

(1)、证明： $P Q / /$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ ；

(2)、求二面角 $Q - A_{1} P - D_{1}$ 的正弦值．

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18. 在平面直角坐标系xOy中，点A，B分别是x轴和y轴上的动点，且 $| A B | = \sqrt{3},$ 动点 $P$ 满足 $\sqrt{3} \vec{O P} = 2 \vec{O A} + \vec{O B}$ ，记P的轨迹为C．

(1)、求C的方程；

(2)、设曲线C与x轴的交点为A₁ ， A₂（A₁在A₂的左边），过点Q（1，0）且不与x轴平行的直线l与C相交于M，N两点，记直线A₁M，A₂N的斜率分别为k₁和k₂ ，求 $\frac{k_{1}}{k_{2}}$ 的值．

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19. 若函数 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上有定义，且对于任意不同的 $x_{1}, x_{2} \in [a, b]$ ，都有 $|f (x_{1}) - f (x_{2})| < k |x_{1} - x_{2}|$ ，则称 $f (x)$ 为 $[a, b]$ 上的“k类函数”

(1)、若 $f (x) = x^{2}$ ，判断 $f (x)$ 是否为 $[1, 2]$ 上的“4类函数”；

(2)、若 $f (x) = \frac{2}{e} \ln x + (a + 1) x + \frac{1}{x}$ 为 $[1, e]$ 上的“2类函数”，求实数a的取值范围；

(3)、若 $f (x)$ 为 $[1, 2]$ 上的“2类函数”且 $f (1) = f (2)$ ，证明： $\forall x_{1}$ ， $x_{2} \in [1, 2]$ ， $|f (x_{1}) - f (x_{2})| < 1$ .

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