湖北省十堰市房县2023-2024学年九年级上学期期中数学试题

试卷更新日期：2023-11-23 类型：期中考试

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一、选择题（共10小题，每小题3分，本大题满分30分．每一道小题有A、B、C、D的四个选项，其中有且只有一个选项最符合题目要求，把最符合题目要求的选项的代号直接填涂在答题卡内相应题号下的方框中，不涂、涂错或一个方框内涂写的代号超过一个，一律得0分．）

1. 下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 下列方程中，为一元二次方程的是（）

A、x＝2y－3 B、 $\frac{2}{x^{2}}$ ＋1＝3 C、x²＋3x－1＝x²＋1 D、x²＝0

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3. 抛物线y=﹣（x+2）²﹣3的顶点坐标是（）

A、（2，﹣3） B、（﹣2，3） C、（2，3） D、（﹣2，﹣3）

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4. 已知抛物线y=ax²+bx+c的图象如图所示，则一元二次方程ax²+bx+c=0( )

A、没有实根 B、只有一个实根 C、有两个实根，且一根为正，一根为负 D、有两个实根，且一根小于1，一根大于2

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5. 如图，四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ，连接 $O B$ ， $O D$ ， $B D$ ，若 $∠ C = 110 °$ ，则 $∠ O B D =$ （）

A、 $15 °$ B、 $20 °$ C、 $25 °$ D、 $30 °$

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6. 抛物线 $y = {(x - 2)}^{2} + 3$ 可以由抛物线 $y = x^{2}$ 平移得到，则下列平移过程正确的是（）

A、先向左平移2个单位，再向上平移3个单位 B、先向左平移2个单位，再向下平移3个单位 C、先向右平移2个单位，再向下平移3个单位 D、先向右平移2个单位，再向上平移3个单位

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7. 某养殖户的养殖成本逐年增长，已知第1年的养殖成本为13万元，第3年的养殖成本为20万元．设每年平均增长的百分率为x，则下面所列方程中正确的是（）

A、13(1－x)²＝20 B、20(1－x)²＝13 C、20(1＋x)²＝13 D、13(1＋x)²＝20

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8. 如图， $A B$ 是⊙ $O$ 的直径，点C为圆上一点， $A C = 3, ∠ A B C$ 的平分线交 $A C$ 于点D， $C D = 1$ ，则⊙ $O$ 的直径为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、1 D、2

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9. 已知 $△ A B C$ 的周长为 $1$ ，连接其三边中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形的中点构成第三个三角形，以此类推，则第 $2012$ 个三角形的周长为（　　）

A、 $\frac{1}{2011}$ B、 $\frac{1}{2012}$ C、 $\frac{1}{2^{2011}}$ D、 $\frac{1}{2^{2012}}$

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10. 已知二次函数y＝ax²+bx+c(a≠0)的图象如图，有下列5个结论：①abc＜0；②3a+c＞0；③4a+2b+c＞0；④2a+b＝0；⑤b²＞4ac其中正确的结论的有(　　)

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题（将每小题的最后正确答案填在答题卡中对应题号的横线上每小题3分，本大题满分18分．）

11. 一元二次方程 $x^{2} + 4 x = 0$ 的根是．

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12. 若a－b＝1，则代数式2a－(2b－1)的值是．

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13. 已知 $A (4, y_{1}), B (- 4, y_{2})$ 是抛物线 $y = {(x + 3)}^{2} - 2$ 的图象上两点，则 $y_{1}$ $y_{2}$

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14. 对于任意实数a、b，定义一种运算： $a \otimes b = a^{2} + b^{2} - a b$ ，若 $x \otimes (x - 1) = 3$ ，则x的值为.

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15. 如图，在 $△ A B C$ 中， $C A = C B = 2$ ， $∠ A C B = 90 °$ ，以 $A B$ 的中点D为圆心，作圆心角为 $90 °$ 的扇形 $D E F$ ，点C恰在弧 $E F$ 上，则图中阴影部分的面积为．

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16. 如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝4，OB＝6，以点O为圆心，3为半径的⊙O，与OB交于点C，过点C作CD⊥OB交AB于点D，点P是边OA上的动点，则PC+PD的最小值为．

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三、解答题（应写出文字说明、证明过程或推演步骤．如果你觉得有的题目有点困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以．本大题共8小题，满分72分．）

17. 解方程： $x^{2} - 2 x - 8 = 0$

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18. 抛物线与x轴的两交点的横坐标分别是 $- \frac{1}{2}$ ， $\frac{3}{2}$ ，与y轴交点的纵坐标是 $- 5$ ，求出其解析式．

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19. 中学生心理健康受到社会的广泛关注，某校开展心理健康教育专题讲座，就学生对心理健康知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．

根据图中信息回答下列问题：

(1)、接受问卷调查的学生共有___________人，条形统计图中m的值为___________，扇形统计图中“非常了解”部分所对应扇形的圆心角的度数为___________；

(2)、若该校共有学生800人，根据上述调查结果，可以估计出该校学生中对心理健康知识“不了解”的总人数为___________人；

(3)、若某班要从对心理健康知识达到“非常了解”程度的2名男生和2名女生中随机抽取2人参加心理健康知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到2名女生的概率．

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20. 如图，四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O, ∠ A D C = 90 °, B D$ 平分 $∠ A D C, A D = 20, C D = 15$ ，求四边形 $A B C D$ 的面积．

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21. 如图是抛物线 $y_{1} = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 图象的一部分，抛物线的顶点为A，与x轴的一个交点为B，直线 $y = k x + b (k \neq 0)$ 与抛物线交于A，B两点．

(1)、写出不等式 $k x + b > a x^{2} + b x + c$ 中x的取值范围；

(2)、若方程 $a x^{2} + b x + c = m$ 有两个不相等的实数根，求m的取值范围．

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22. 如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作⊙O的切线DF，交AC于点F．
（1）求证：DF⊥AC；
（2）若⊙O的半径为4，∠CDF=22.5°，求阴影部分的面积．

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23. 牡丹花会前夕，我市某工艺厂设计了一款成本为10元/件的工艺品投放市场进行试销．经过调查，得到如下数据：
销售单价 $x$ （元/件）
…
20
30
40
50
60
…
每天销售量（件）
…
500
400
300
200
100
…

(1)、把上表中 $x$ 、的各组对应值作为点的坐标，在下面的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想与 $x$ 的函数关系，并求出函数关系式；

(2)、当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？（利润=销售总价﹣成本总价）

(3)、菏泽市物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过35元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？

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24. 如图1，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B$ 为锐角，点D为射线 $B C$ 上一点，连接 $A D$ ，以 $A D$ 为一边且在 $A D$ 的右侧作正方形 $A D E F$ ．

(1)、如果 $A B = A C$ ， $∠ B A C = 90 °$ ，
①当点D在线段 $B C$ 上时（与点B不重合），如图2，线段 $C F$ 、 $B D$ 所在直线的位置关系为___________，线段 $C F$ 、 $B D$ 的数量关系为___________；
②当点D在线段 $B C$ 的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由；

(2)、如果 $A B \neq A C$ ， $∠ B A C$ 是锐角，点D在线段 $B C$ 上，当 $∠ A C B$ 满足什么条件时， $C F ⊥ B C$ （点C、F不重合），并说明理由．

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25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+c的顶点坐标为（2，9），与y轴交于点A（0，5），与x轴交于点E、B．
（1）求二次函数y=ax²+bx+c的表达式；
（2）过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点（点P在AC上方），作PD平行于y轴交AB于点D，问当点P在何位置时，四边形APCD的面积最大？并求出最大面积；
（3）若点M在抛物线上，点N在其对称轴上，使得以A、E、N、M为顶点的四边形是平行四边形，且AE为其一边，求点M、N的坐标．

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销售单价 $x$ （元/件）	…	20	30	40	50	60	…
每天销售量（件）	…	500	400	300	200	100	…