广东省肇庆市封开县封川中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题

试卷更新日期：2023-11-19 类型：期中考试

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一、选择题（共30分）

1. 下列图标中，是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 下列函数关系式中， $y$ 是 $x$ 的二次函数是（）

A、 $y = a x^{2} + b x + c$ B、 $y = x^{2} - \frac{1}{x}$ C、 $y = \sqrt{2} x^{2} - x + 1$ D、 $y = x (x - 1) - x^{2}$

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3. 将 $x^{2} - 6 x - 4 = 0$ 进行配方变形，下列正确的是（）

A、 $(x - 6)^{2} = 13$ B、 $(x - 6)^{2} = 9$ C、 $(x - 3)^{2} = 13$ D、 $(x - 3)^{2} = 9$

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4. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - a x + 6 = 0$ 的一个根是2，则 $a$ 的值为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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5. 在同一坐标系中，一次函数y=ax+1与二次函数y=x²+a的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 如图，将Rt△ABC（其中∠B=35°，∠C=90°）绕点A按顺时针方向旋转到△AB₁C₁的位置，使得点C、A、B₁在同一条直线上，那么旋转角等于（）

A、55° B、70° C、125° D、145°

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7. 已知关于 $x$ 的二次函数 $y = {(x + m)}^{2} - 3$ ，当 $x > 2$ 时， $y$ 随着 $x$ 的增大而增大，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $m \leq 2$ B、 $m \geq - 2$ C、 $m < 2$ D、 $m \leq - 2$

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8. 一元二次方程 $x^{2} + 3 x - 7 = 0$ 的根的情况是( 　)

A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、没有实数根 D、无法判断

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9. 某厂一月份生产空调机1200台，三月份生产空调机1500台，若二、三月份每月平均增长的百分率是x，则所列方程是（）

A、 $1200 (1 + x^{2}) = 1500$ B、 $1200 {(1 + x)}^{2} = 1500$ C、 $1200 (1 + 2 x) = 1500$ D、 $1200 (1 + x) x^{2} = 1500$

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10. 抛物线y₁=ax²+bx+c与直线y₂=mx+n的图象如图所示，下列判断中：①abc＜0；②a+b+c＞0；③5a-c=0；④当x＜ $\frac{1}{2}$ 或x＞6时，y₁＞y₂ ，其中正确的个数有（　　）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题（共18分）

11. 点 $(- 2 ， 3)$ 关于原点的对称点的坐标为.

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12. 关于x的方程 $(a + 1) x^{|a| + 1} - 3 x + 4 = 0$ 是一元二次方程，则a= ．

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13. 点 $P_{1}$ （-1， $y_{1}$ ）、 $P_{2}$ （2.5， $y_{2}$ ）、 $P_{3}$ （5， $y_{3}$ ）均在二次函数 $y =− x^{2} +2 x + c$ 的图象上，则 $y_{1}$ 、 $y_{2}$ 、 $y_{3}$ 的大小关系是（用“＞”连接）：．

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14. 如图，把△ABC绕点C按顺时针方向旋转35°，得到 $△ A^{'} B^{'} C$ ， $A^{'} B^{'}$ 交AC于点D，若 $∠ A^{'} D C = 90 °$ ，则∠A=°

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15. 已知 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是方程 $3 x^{2} - 3 x - 5 = 0$ 的两个根，不解方程，则 $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}}$ 的值为．

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16. 如图，已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 与直线 $y = k x + m$ 交于 $A (- 3, - 1)$ ， $B (0, 3)$ 两点．则关于x的不等式 $a x^{2} + b x + c > k x + m$ 的解集是．

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三、解答题（共72分）

17. 解方程： $x^{2} - 2 x + 3 = 0$ ．

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18. 如图将 $△ A B C$ 绕点A逆时针旋转得到 $△ A D E$ ，点C和点E是对应点，若 $∠ C A E = 90 °$ ， $A B = 1$ ，求BD的长．

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19. 已知二次函数的图象的顶点坐标 $(- 1 ， 4)$ 且图象过点 $(2, - 5)$ ，求该函数的解析式．

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20. 已知关于x的方程 $x^{2} + 2 x + a - 2 = 0$ .
（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；
（2）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根．

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21. 已知：二次函数 $y = - x^{2} + 2 x + 3$ ．

（1）将函数关系式化为 $y = a {(x - h)}^{2} + k$ 的形式，并指出函数图象的对称轴和顶点坐标；
（2）画出所给函数的图象．

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22. 如图，用28长的篱笆沿墙建造一边靠墙的矩形菜园，已知墙长 $18 m$ ，设矩形的宽 $A B$ 为 $x m$ ．

(1)、设矩形的面积为 $y$ ，用含 $x$ 的代数式表示矩形的面积 $y$ ，并求出自变量的取值范围；

(2)、若矩形菜园的面积为 $80 m^{2}$ ，求 $A B$ 的长．

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23. 在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 ° ， ∠ A C B = 30 °$ ，将 $△ A B C$ 绕点C顺时针旋转一定的角度 $α$ 得到 $△ D E C$ ，点A、B的对应点分别是D、E．

(1)、当点E恰好在 $A C$ 上时，如图1，求 $∠ A D E$ 的大小；

(2)、若 $α = 60 °$ 时，点F是边 $A C$ 中点，如图2，求证：四边形 $B E D F$ 是平行四边形．

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24. 如图，在平面直角坐标系中，已知点 $B$ 的坐标为 $(- 1, 0)$ ，且 $O A = O C = 4 O B$ ，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 图象经过 $A, B, C$ 三点．
（1）求 $A, C$ 两点的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）若点 $P$ 是直线 $A C$ 下方的抛物线上的一个动点，作 $P D ⊥ A C$ 于点 $D$ ，当 $P D$ 的值最大时，求此时点 $P$ 的坐标及 $P D$ 的最大值．

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