上海市延安中学2024-2025学年高三上学期开学考试数学试卷

试卷更新日期：2024-09-21 类型：开学考试

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一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分.

1. 若集合 $A = \{1, 3, 4\}, B = \{2, 4\}$ ，则 $A \cup B =$ .

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2. 不等式 $1 - |x| < 0$ 的解集为.

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3. 若 $z = \sqrt{2} + i$ （ $i$ 为虚数单位），则 $z^{2}$ 的共轭复数为.

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4. 若角 $α$ 的终边经过点 $P (3, - 4)$ ，则 $cos α + tan α =$ .

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5. 某校高一（1）班有学生40人，其中共青团员15人，全班分成4个小组，第一组有学生10人，共青团员4人，从该班任选一个作学生代表.已知选到的是共青团员，求他是第一组学生的概率.

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6. 若 ${(x - \frac{a}{x})}^{9}$ 的展开式中 $x^{3}$ 的系数是 $- 84$ ，则 $a =$ ．

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7. 已知圆 $C : {(x + 2)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 1$ ，则圆心 $C$ 到直线 $l : k x + y - k + 3 = 0$ 的最大距离为.

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8. 设当 $x = θ$ 时，函数 $f (x) = sin x - \sqrt{3} cos x$ 取得最大值，则 $cos θ =$ .

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9. 已知 $M (x, y)$ 为函数 $f (x) = cos x (0 \leq x \leq 2 π)$ 图象上的任意一点，则 $x + 2 y$ 的最大值为.

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10. 已知两个非零向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a} - 2 \vec{b}|$ ，则向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 方向上的投影向量为.

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11. 定义 $H_{n} = \frac{a_{1} + 2 a_{2} + \dots + 2^{n - 1} a_{n}}{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的“均值”，已知数列 $\{b_{n}\}$ 的“均值” $H_{n} = 2^{n + 1}$ ，记数列 $\{b_{n} - k n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{n} \leq S_{6}$ 对任意正整数 $n$ 恒成立，则实数 $k$ 的范围为．

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12. 若关于 $x$ 的方程 $t x^{2} - 2 t ln x + 3 (t - 4) = 0$ 在区间 $(0, e)$ 内有两个不同的实数解，那么实数 $t$ 的取值范围是.

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二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.

13. “ $x = 4$ ”是“ $x \geq 3$ ”成立的（）条件.

A、充分非必要 B、必要非充分 C、充分必要 D、既非充分又非必要

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14. 甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有（）

A、6种 B、12种 C、24种 D、30种

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15. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱线长为1，线段 $B_{1} D_{1}$ 上有两个动点E，F，且 $E F = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，则下列结论中错误的是（　　）

A、 $A C ⊥ B E$ B、 $E F / /$ 平面ABCD C、三棱锥 $A - B E F$ 的体积为定值 D、异面直线AE，BF所成的角为定值

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16. 我们知道，互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系.如果坐标系中两条坐标轴的原点重合且不互相垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.在斜坐标系中，两条坐标轴的公共原点称为斜坐标系的原点，其坐标记为 $(0, 0)$ .在 $x$ 轴（ $y$ 轴）上的点的纵坐标（横坐标）为0，如图，在斜坐标系中，如果 $x$ 轴与 $y$ 轴相交所成的角为 $θ$ ，过平面任意一点 $P$ ，分别作坐标轴的平行线，交 $x$ 轴于点 $M$ ，交 $y$ 轴于点 $N$ ，将点 $M$ 在 $x$ 轴上的坐标 $a$ ，点 $N$ 在 $y$ 轴上的坐标 $b$ 称为点 $P$ 在该坐标系中的坐标，记为 $P (a, b)$ .若 $A (x_{1}, y_{1}), B (x_{2}, y_{2})$ 是该坐标系中的任意两点，则点 $A, B$ 之间的距离 $|A B|$ 为（）

A、 $\sqrt{{(x_{1} - x_{2})}^{2} + {(y_{1} - y_{2})}^{2}}$ B、 $\sqrt{{(x_{1} - x_{2})}^{2} + 2 (x_{1} - x_{2}) (y_{1} - y_{2}) cos θ + {(y_{1} - y_{2})}^{2}}$ C、 $\sqrt{{(x_{1} - x_{2})}^{2} - 2 (x_{1} - x_{2}) (y_{1} - y_{2}) cos θ + {(y_{1} - y_{2})}^{2}}$ D、 $\sqrt{{(x_{1} - x_{2})}^{2} \pm 2 (x_{1} - x_{2}) (y_{1} - y_{2}) cos θ + {(y_{1} - y_{2})}^{2}}$

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三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤

17. 如图，已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $a$ .

(1)、求直线 $A C_{1}$ 和平面 $A B C D$ 所成角的大小；

(2)、求二面角 $C_{1} - A B - C$ 的大小.

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18. 已知 $f (x) = x + a \sin x$ ，曲线 $y = f (x)$ 在点 $P (π,π)$ 处的切线斜率为 $2$ .

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、求不等式 $f (x + 1) + f (3 - 2 x) > 0$ 的解集.

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19. 2021年8月，义务交于阶段“双减”政策出台，某初中在课后延时服务开设奥数、科技、体育等特色课程，为了进一步了解学生选课的情况，随机选取了400人进行调查问卷，整理后获得如下统计表：

喜欢奥数
不喜欢奥数
总计
已选奥数课（A组）
150
50
200
未选奥数课（B组）
90
110
200
总计
240
160
400

(1)、若从样本内喜欢奥数的240人中用分层抽样方法随机抽取32人，则应在A组、B组各抽取多少人？

(2)、能否有 $99.5 %$ 的把握认为选报奥数延时课与喜欢奥数有关？
附：
$P (χ^{2} \geq α)$
$0.1$
$0.05$
$0.01$
$0.005$
$0.001$
$α$
$2.706$
$3.841$
$6.635$
$7.879$
$10.828$
参考公式： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .

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20. 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线 $C_{1} : 2 x^{2} - y^{2} = 1$ ．
（1）过 $C_{1}$ 的左顶点引 $C_{1}$ 的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积；
（2）设斜率为1的直线l交 $C_{1}$ 于P，Q两点，若l与圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 相切，求证： $O P ⊥ O Q$ ；
（3）设椭圆 $C_{2} : 4 x^{2} + y^{2} = 1$ ，若M，N分别是 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 上的动点，且 $O M ⊥ O N$ ，求证：O到直线MN的距离是定值．

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21. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 中的相邻两项 $a_{2 k - 1}, a_{2 k}$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} - (3 k + 2^{k}) x + 3 k \cdot 2^{k} = 0$ 的两个根，且 $a_{2 k - 1} \leq a_{2 k} (k = 1, 2, 3, \dots)$ ．

(1)、求 $a_{1}$ ， $a_{3}$ ， $a_{5}$ ， $a_{7}$ ；

(2)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $2 n$ 项和 $S_{2 n}$ ；

(3)、记 $f (n) = \frac{1}{2} (\frac{|\sin n|}{\sin n} + 3)$ ， $T_{n} = \frac{{(- 1)}^{f (2)}}{a_{1} a_{2}} + \frac{{(- 1)}^{f (3)}}{a_{3} a_{4}} + \frac{{(- 1)}^{f (4)}}{a_{5} a_{6}} + \dots + \frac{{(- 1)}^{f (n + 1)}}{a_{2 n - 1} a_{2 n}}$ ，求证： $\frac{1}{6} \leq T_{n} \leq \frac{5}{24} (n \in N^{*})$ ．

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	喜欢奥数	不喜欢奥数	总计
已选奥数课（A组）	150	50	200
未选奥数课（B组）	90	110	200
总计	240	160	400

$P (χ^{2} \geq α)$	$0.1$	$0.05$	$0.01$	$0.005$	$0.001$
$α$	$2.706$	$3.841$	$6.635$	$7.879$	$10.828$