上海市 2024-2025学年九年级上学期期中数学预测卷1

试卷更新日期：2024-09-26 类型：期中考试

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一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）

1. 如果 $3 x = 2 y$ （ $x$ 、 $y$ 均不为零），那么 $x : y$ 的值是（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{3}{5}$

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2. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $C D$ 是 $A B$ 边上的高， $A D = 4 c m$ ， $D B = 1 c m$ ，则 $C D$ 等于（）

A、 $1.5 c m$ B、 $2 c m$ C、 $2.5 c m$ D、 $3 c m$

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3. 在 $△ A B C$ 中，点D、E分别为 $A B 、 A C$ 上的点，且 $D E ∥ B C ， 2 A D = B D$ ， $\vec{B C} = \vec{a}$ ，用向量 $\vec{a}$ 表示向 $\vec{D E}$ 为（）

A、 $\frac{2}{3} \vec{a}$ B、 $- \frac{2}{3} \vec{a}$ C、 $\frac{1}{3} \vec{a}$ D、 $- \frac{1}{3} \vec{a}$

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4. 在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 ° ， ∠ B = 2 ∠ A$ ，那么 $cos A$ 的值等于（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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5. 如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为 $1 : 2$ ，它把物体从地面点A处送到离地面2米高的B处，则物体从A到B所经过的路程为（）

A、4米 B、 $2 \sqrt{3}$ 米 C、 $\sqrt{5}$ 米 D、 $2 \sqrt{5}$ 米

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6. 已知在 $△ A B C$ 中， $D$ 、 $E$ 分别是边 $A B$ 、 $A C$ 的中点， $C D = 6 cm$ ， $B E$ 与 $C D$ 相交于点 $O$ ，那么 $S_{△ D O E} : S_{△ B O C}$ 等于（）

A、 $1 : 2$ B、 $1 : 3$ C、 $1 : 4$ D、 $2 : 3$

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二、填空题：（本大题共12小题，每题4分，满分48分）

7. 在比例尺为 $1 : 3000$ 的地图上，甲、乙两地的距离为 $5 cm$ ，则甲、乙两地的实际距离为米．

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8. 已知线段 $A B = 10$ ，点C是 $A B$ 上的一点，且 $A C^{2} = A B \cdot B C$ ，那么 $A C =$ ．

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9. 如图， $A D ∥ B E ∥ F C ， A B = 2 ， A C = 5 ， D F = 15$ ，则 $D E =$ ．

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10. 等腰梯形 $A B C D$ 中， $A B ∥ C D$ ， E、F分别是 $A D 、 B C$ 的中点， $D C = 2 ， A B = 4$ ，设 $A B = \vec{a}$ ，则 $\vec{E F}$ 用向量 $\vec{a}$ 表示可得 $\vec{E F}$ =

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11. 如图， $△ A B C$ 中，G是重心， $G D ⊥ B C$ ， $A H ⊥ B C$ ，那么 $\frac{G D}{A H} =$

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12. 已知向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 、 $\vec{x}$ 满足 $3 (\vec{a} - \vec{x}) = 2 (\vec{b} - \vec{x})$ ，试用向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 表示向量 $\vec{x}$ ，那么 $\vec{x}$ = ．

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13. 在高为30米的高楼窗户处测得地面花坛中心标志物的俯角为 $60 °$ ，那么这一标志物离高楼的距离为米．

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14. $△ A B C$ 中， $A B = A C = 13$ ， $B C = \sqrt{26}$ ，那么顶角 $∠ A$ 的正弦值等于．

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15. 如图， $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，将 $△ A B C$ 沿图中的虚线翻折，使点 $C$ 落在边 $B C$ 上的点 $D$ 处，如果 $\frac{A D}{D B} = \frac{5}{8}$ ，那么 $\cos ∠ A B C =$ ．

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16. 已知线段 $M N$ 的长为 $4$ ，点 $P$ 是线段 $M N$ 的黄金分割点，那么较长线段 $M P$ 的长是．

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17. 已知 $△ A B C$ 中， $A B = A C = m$ ， $∠ A B C = 72 °$ ， $B B_{1}$ 平分 $∠ A B C$ 交 $A C$ 于 $B_{1}$ ，过 $B_{1}$ 作 $B_{1} B_{2} ∥ B C$ 交 $A B$ 于 $B_{2}$ ，作 $B_{2} B_{3}$ 平分 $∠ A B_{2} B_{1}$ 、交 $A C$ 于 $B_{3}$ ，过 $B_{3}$ 作 $B_{3} B_{4} ∥ B C$ 交 $A B$ 于 $B_{4}$ ，则线段 $B_{3} B_{4}$ 的长度为．（用含有m的代数式表示）

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18. 如图， $Δ A B C$ 中， $A B = 5$ ， $B C = 7$ ， $C A = 3$ ．经过点A 的直线交边 $B C$ 于点D，在这个图形中，如果以 $A D$ 为一边的三角形与 $Δ A B C$ 相似，那么 $B D$ 的长为．

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三、简答题（第19-22题各10分，第23、24题各12分，25题14分，满分78分）

19. 如图，已知向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ ，求作向量 $\vec{O A} = (\vec{a} - 2 \vec{b}) - (\frac{1}{2} \vec{a} - \vec{b})$ 并求作向量 $\vec{O A}$ 在向量 $\vec{a}$ 、向量 $\vec{b}$ 方向上的分向量．

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20. 求值： $\tan^{2} 60 ° - \frac{\cos 45 °}{\cot 45 ° - \sin 45 °}$ （结果保留根号）．

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21. 如图，甲乙两幢楼之间的距离 $C D$ 等于45米，现在要测乙楼的高 $B C$ ，（ $B C ⊥ C D$ ），所选观察点A在甲楼一窗口处， $A D ∥ B C$ ．从A处测得乙楼顶端B的仰角为45°，底部C的俯角为30°，求乙楼的高度（取 $\sqrt{3} = 1.7$ ，结果精确到1米）．

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22. 如图，已知等边 $△ A B C$ 的边长为8，点D、P、E分别在边 $A B 、 B C 、 A C$ 上， $B D = 3$ ， E为 $A C$ 中点，当 $△ B P D$ 与 $△ P C E$ 相似时，求 $B P$ 的值．

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23. 已知：如图，E是平行四边形 $A B C D$ 的对角线AC上一点，射线 $B E$ 与 $A D$ 交于点F，与 $C D$ 的延长线交于点 $G$ ．

(1)、求证： $B E$ 是 $E F$ 和 $E G$ 的比例中项；

(2)、若 $A F ∶ F D = 3 ∶ 2$ ，求 $\frac{S_{△ A B F}}{S_{△ G B C}}$ 的值．

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24. 已知：如图，在平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，BE＝DG，BF＝DH．

(1)、求证：四边形EFGH是平行四边形；

(2)、当AB＝BC，且BE＝BF时，求证：四边形EFGH是矩形．

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25. 如图， $A B = 16 cm$ ， $A C = 12 cm$ ，动点P、Q分别以每秒 $2 cm$ 和 $1 cm$ 的速度同时开始运动，其中点P从点A出发沿 $A C$ 边一直移到点C为止，点Q从点B出发沿 $B A$ 边一直移动到点A为止．

(1)、写出 $A P$ 的长 $y {}_{1}$ 和 $A Q$ 的长 $y {}_{2}$ 关于时间t的函数；

(2)、经过多少时间后， $△ A P Q$ 与 $△ A B C$ 相似？

(3)、在整个过程中，是否存在使 $△ A P Q$ 的面积恰好为 $△ A B C$ 面积一半的情况，若存在，请问此时点Q运动了多少时间？若不存在，请说明理由．

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