上海民办南模中学2024-2025学年八年级上学期9月月考数学试题

试卷更新日期：2024-09-22 类型：月考试卷

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一、选择题（本大题共6题，每题2分，满分12分）

1. 下列二次根式中最简二次根式是（）

A、 $\sqrt{\frac{9}{x}}$ B、 $\sqrt{12 x}$ C、 $\sqrt{x^{2} + 1}$ D、 $\sqrt{x^{2} + 2 x y + y^{2}}$

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2. 下列根式中与 $\sqrt{a b}$ 不是同类二次根式的是（）

A、 $\sqrt{\frac{a}{b}}$ B、 $\sqrt{\frac{b}{a}}$ C、 $3 \sqrt{a b}$ D、 $\sqrt{a b^{2}}$

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3. 式子 $\sqrt{\frac{3 - x}{x - 1}} = \frac{\sqrt{3 - x}}{\sqrt{x - 1}}$ 成立的条件是（）

A、 $x$ ≥3 B、 $x$ ≤1 C、1≤ $x$ ≤3 D、1＜ $x$ ≤3

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4. 若 $a = \frac{1}{\sqrt{10} + \sqrt{11}}$ ， $b = \sqrt{10} - \sqrt{11}$ ，则a与b的关系是（）

A、 $a = \frac{1}{b}$ B、 $a = - \frac{1}{b}$ C、 $a < b$ D、 $a > b$

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5. 当 $x < 0$ ， $y < 0$ 时，在下列各式的计算中，正确的是（）

A、 $\sqrt{x^{2} y^{5}} = x y^{2} \sqrt{x y}$ B、 $\sqrt{x^{5} y^{3}} = - x^{2} y \sqrt{x y}$ C、 $\sqrt{4 x^{3} y} = 2 x \sqrt{- x y}$ D、 $\sqrt{- 9 x^{4} y} = - 3 x^{2} \sqrt{y}$

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6. 在下列式子中等号能成立的式子共有（）
① $\sqrt{0.9 x^{2}} = 0.3 x$ ；② $\sqrt{3^{2} + 2^{2}} = 3 + 2 = 5$ ；③ $\sqrt{{(- 5)}^{2}} = \pm 5$ ；④ $\sqrt{3} + \sqrt{2} = \sqrt{5}$ ；⑤ $\sqrt{9 x^{2} + 3} = 3 \sqrt{x + 3}$ ．

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

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二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分）

7. 代数式 $\sqrt{\frac{2}{1 - x}}$ 中，则x的取值范围是．

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8. $\sqrt{m} + \sqrt{n}$ 的倒数是．

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9. 化简： $\sqrt{\frac{5 x}{12 y^{3}}} =$ ．

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10. 化简： $\sqrt{3 p^{2} + 6 p q + 3 q^{2}}$ （ $p \geq 0$ ， $q \geq 0$ ） $=$ ．

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11. 分母有理化： $\frac{1}{4 - 2 \sqrt{3}} =$ ．

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12. 二次根式的乘法在生活和高科技领域中有着广泛的应用，如图，在“神舟八号”中要将某一部件的一个长方形变化成等面积的一个圆形，已知长方形的长是 $\sqrt{140 π} cm$ ，宽是 $\sqrt{35 π} cm$ ，那么圆的半径应是．

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13. 把 $a \sqrt{- \frac{1}{a}}$ 中根号外的a移入根号内，则 $a \sqrt{- \frac{1}{a}} =$ ．

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14. 若 $x = \frac{2}{\sqrt{3} - 1}$ ，则 $x^{2} - 2 x + 2$ 的值为．

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15. 若最简二次根式 $\sqrt[a - 1]{3 b + 5}$ 与 $\sqrt{4 a - 1}$ 是同类二次根式，则代数式 $a^{2} - a b + b^{2}$ 的值为．

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16. 计算： $\sqrt{- a^{2}} + \sqrt{a + 1} - \sqrt{7 - 2 a} + \sqrt{- (a - 7)} =$ ．

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17. 已知 $△ A B C$ 的三边长分别为a、b、c，且满足 $\sqrt{a^{2} - 12 a + 36} + \sqrt{b - 8} = 0$ 求最大边c的取值范围．

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18. 如果无理数m的值介于两个连续正整数之间，即满足 $a ＜ m ＜ b$ （其中a、b为连续正整数），我们则称无理数m的“神奇区间”为 $(a ， b)$ ．例： $2 ＜ \sqrt{5} ＜ 3$ ，所以 $\sqrt{5}$ 的“神奇区间”为 $(2 ， 3)$ ．若某一无理数的“神奇区间”为 $(a ， b)$ ，且满足 $6 ＜ \sqrt{a} + b \leq 16$ ，其中 $x = b$ ， $y = \sqrt{a}$ 是关于x、y的二元一次方程组 $b x + a y = p$ 的一组正整数解，则 $p =$ ．

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三、计算题（本大题共8题，满分40分）

19. 计算： $\sqrt{75} - \frac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} + 10 \sqrt{\frac{1}{5}}$

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20. 计算： $8 \sqrt{a} - b \sqrt{\frac{1}{a}} + \frac{1}{a^{2}} \sqrt{a^{3} b^{2}} (b > 0)$

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21. 计算： $- 5 \sqrt{2.5} \times (- \sqrt{3 \frac{1}{5}}) + \sqrt{1 \frac{3}{5}}$

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22. 计算： $\sqrt{15} + (\frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{5}})$

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23. 计算： $\frac{1 - \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}} - \frac{2 - \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}}$

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24. 计算： $3 \sqrt{\frac{1}{3}} - {(\frac{8}{27})}^{- \frac{1}{3}} - \sqrt{{(\sqrt{3} - 2)}^{2}} + {(\sqrt{5} + \sqrt{3})}^{0}$

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25. 解不等式： $\sqrt{3} x - 3 > 2 x + \sqrt{12}$

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26. 解方程： $\sqrt{7} x = 2 \sqrt{2} (x + 1) - 3 \sqrt{2}$

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四、解答题（本大题共3题，满分24分）

27. 求代数式 $a + \sqrt{1 - 2 a + a^{2}}$ 的值，其中 $a = 1007$ ，如图是小亮和小芳的解答过程：

(1)、__________的解法是错误的；

(2)、求代数式 $a + 2 \sqrt{a^{2} - 6 a + 9}$ 的值，其中 $a = - 2024$ ．

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28. 已知 $x = \frac{1}{\sqrt{3} + 2}$ ， $y = \frac{1}{\sqrt{3} - 2}$ ，求 $x^{3} y + x y^{3}$ 的值．

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29. 阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当 $a > 0$ ， $b > 0$ 时，∵ ${(\sqrt{a} - \sqrt{b})}^{2} = a - 2 \sqrt{a b} + b \geq 0$ ， ∴ $a + b \geq 2 \sqrt{a b}$ ，当且仅当 $a = b$ 时取等号．请利用上述结论解决以下问题：
(1)当 $x > 0$ 时， $x + \frac{1}{x}$ 的最小值为_______；当 $x < 0$ 时， $x + \frac{1}{x}$ 的最大值为__________．
(2)当 $x > 0$ 时，求 $y = \frac{x^{2} + 3 x + 16}{x}$ 的最小值．
(3)如图，四边形ABCD的对角线AC ，BD相交于点O，△AOB、△COD的面积分别为4和9，求四边形ABCD面积的最小值．

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