【培优版】北师大版数学九年级上册4.4探索三角形相似的条件同步练习

试卷更新日期：2024-09-28 类型：同步测试

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一、选择题

1. 如图，将矩形ABCD沿着GE，EC，GF翻折，使得点A，B，D恰好都落在点O处，且点G，O，C在同一条直线上，点E，O，F 在另一条直线上. 以下结论正确的是（）

A、△COF∽△CEG B、OC=3OF C、AB：AD=4：3 D、GE= $\sqrt{6}$ DF

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2. 如图，四边形 $A B C D$ 是边长为2的正方形点P为线段 $A B$ 上的动点，E为 $A D$ 的中点，射线 $P E$ 交 $C D$ 的延长线于点Q，过点E作 $P Q$ 的垂线交 $C D$ 于点H.交 $B C$ 的延长线于点F，则以下结论：① $∠ A E P = ∠ C H F$ ；② $△ E H Q \sim △ C H F$ ；③当点F与点C重合时 $3 P A = P B$ ；④当 $P A = P B$ 时， $C F = 2 \sqrt{2}$ .成立的是（）

A、①②③ B、①③④ C、②③④ D、②④

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3. 在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分割点的方法．如图所示，以线段AB为边作正方形ABCD，取AD的中点E，连结BE，延长DA至F，使得EF=BE，以AF为边作正方形AFGH，则点H即是线段AB的黄金分割点．若记正方形AFGH的面积为S₁ ，矩形BCIH的面积为S₂ ，则S₁ 与S₂的大小关系是（）

A、 B、 C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、1

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4. 如图，点A，B，C，D的坐标分别是(1，7)，(1，1)，(4，1)，(6，1)，以点C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（）

A、(6，5) B、(6，0) C、(6，4) D、(4，2)

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5. 在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，用直尺和圆规在AB上确定点D ，使 $△ A C D ∽ △ C B D$ ，根据作图痕迹判断，正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 如图，在 $△ A B C$ 中，点D，E分别是 $A B$ ， $A C$ 上的点， $C D$ 与 $B E$ 交于点F，下列条件中不能使 $△ A B E$ 和 $△ A C D$ 相似的是（）

A、 $∠ A B E = ∠ A C D$ B、 $\frac{D F}{B F} = \frac{E F}{C F}$ C、 $\frac{A B}{B E} = \frac{A C}{C D}$ D、 $A D \cdot A B = A E \cdot A C$

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7.
如图，在钝角三角形ABC中，AB=6cm，AC=12cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm/秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是（　　）

A、4或4.8 B、3或4.8 C、2或4 D、1或6

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8. 如图正方形 $A B C D$ ，点 $E ， F$ 分别在边 $A B 、 B C$ 上，且 $∠ E D F = 45 °$ ，把 $△ A D E$ 绕点 $D$ 沿逆时针方向旋转 $90 °$ 得到 $△ C D E^{'}$ ，连接 $A C$ 交 $D E 、 D F$ 于点 $G 、 H$ ，连接 $E E^{'}$ ，并在 $D E^{'}$ 上截取 $D M = D G$ ，连接 $M H$ ，有如下结论：① $A E + C F > E F$ ；② $E D$ 始终平分 $∠ A E F$ ；③ $△ D G H ∽ △ D F E$ ；④ $A G^{2} + C H^{2} = G H^{2}$ ；⑤ $D F$ 垂直平分 $E E^{'}$ ，上述结论中，所有正确的个数是（）

A、5个 B、4个 C、3个 D、2个

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二、填空题

9. 在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），延长CB交x轴于点A₁ ，作正方形A₁B₁C₁C ，延长C₁B₁交x轴于点A₂ ，作正方形A₂B₂C₂C₁ ， …按这样的规律进行下去，第1个正方形的面积为；第n个正方形的面积为．

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10. 同学们学习了线段的黄金分割之后，曾老师提出了一个新的定义：点C是线段AB上一点，若 $\frac{B C}{\sqrt{n} A C} = \frac{\sqrt{n} A C}{A B}$ ＝kn，则称点C为线段AB的“近A，n阶黄金分割点”．例如：若 $\frac{B C}{\sqrt{2} A C} = \frac{\sqrt{2} A C}{A B}$ ＝k₂ ，则称点C为线段AB的“近A，2阶黄金分割点”；若 $\frac{B C}{\sqrt{3} A C} = \frac{\sqrt{3} A C}{A B}$ ＝k₃ ，则称点C为线段AB的“近A，3阶黄金分割点”．若点C为线段AB的“近A，6阶黄金分割点”时，k₆＝．

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11. 如图，已知△ABC中，D为边AC上一点，P为边AB上一点，AB=12，AC=8，AD=6，当AP的长度为时，△ADP和△ABC相似.

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12. 如图，在正方形网格中有三个三角形，分别是 $△ E B C$ ， $△ C D B$ ， $△ D E B$ ，其中与 $△ A B C$ 相似的是．

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三、解答题

13. 如图，在菱形ABCD中，P是它对角线上面的一个点，连接CP后并延长，交CD于点E ，交BA的延长线于点F ．

(1)、求证：∠DCP＝∠DAP；

(2)、如果PE＝4，EF＝7，求线段PC的长．

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14. 巴台农神庙的设计代表了古希腊建筑艺术上的最高水平，它的平面图可看作宽与长的比是 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ 的矩形，我们将这种宽与长的比是 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ 的矩形叫黄金矩形．如图①，已知黄金矩形 $A B C D$ 的宽 $A B = 1$ ．

(1)、黄金矩形 $A B C D$ 的长 $B C =$ ；

(2)、如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以 $A B$ 为边的正方形 $A B E F$ ，得到新的矩形 $D C E F$ ，猜想矩形 $D C E F$ 是否为黄金矩形，并证明你的结论；

(3)、在图②中，连接 $A E$ ，求点 $D$ 到线段 $A E$ 的距离．

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15. 如图，在 $△ P A B$ 中， $C$ 、 $D$ 为 $A B$ 边上的两个动点， $P C = P D$ ．

(1)、若 $P C = C D$ ， $∠ A P B = 120 °$ ，则 $△ A P C$ 与 $△ P B D$ 相似吗？为什么？

(2)、若 $P C ⊥ A B ($ 即 $C$ 、 $D$ 重合 $)$ ，则 $∠ A P B =$ $°$ 时， $△ A P C$ ∽ $△ P B D$ ；

(3)、当 $∠ C P D$ 和 $∠ A P B$ 满足怎样的数量关系时， $△ A P C$ ∽ $△ P B D$ ？请说明理由．

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16. 再读教材：宽与长的比是 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ （约为0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，下面我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形（提示：MN=2）．
第－步：在矩形纸片一端利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平．
第二步：如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平．
第三步：折出内侧矩形的对角线AB ，并把AB折到图③中所示的AD处．
第四步：展平纸片，按照所得的点D折出DE ，使DE⊥ND ，则图④中就会出现黄金矩形．
问题解决：

(1)、图③中，AB=（保留根号）．

(2)、如图③，判断四边形BADQ的形状，并说明理由．

(3)、在图④中，直接写出所有黄金矩形．

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17. 如图，△ABC 中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，动点 P 从点 B 出发以 2cm/s 速度向点C移动，同时动点 Q 从 C 出发以 1cm/s 的速度向点 A 移动，设它们的运动时间为 t.

(1)、根据题意知：CQ= ， CP=；（用含 t 的代数式表示）

(2)、t 为何值时，△CPQ 的面积等于△ABC 面积的 $\frac{1}{8}$ ？

(3)、运动几秒时，△CPQ 与△CBA 相似？

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18. 如图

(1)、感知：如图①，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，点P在BC边上，当∠APD=90°时，可知△ABP∽△PCD．（不要求证明）

(2)、探究：如图②，在四边形ABCD中，点P在BC边上，当∠B=∠C=∠APD时，求证：△ABP∽△PCD．

(3)、拓展：如图③，在△ABC中，点P是边BC的中点，点D、E分别在边AB、AC上．若∠B=∠C=∠DPE=45°，BC=6 $\sqrt{2}$ ，CE=4，则DE的长为．

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19. 如图1，矩形ABCD中，点E为AB边上的动点（不与A，B重合），把 $Δ A D E$ 沿DE翻折，点A的对应点为 $A_{1}$ ，延长 $E A_{1}$ 交直线DC于点F，再把 $∠ B E F$ 折叠，使点B的对应点 $B_{1}$ 落在EF上，折痕EH交直线BC于点H.

(1)、求证： $Δ A_{1} D E ∽ Δ B_{1} E H$ ；

(2)、如图2，直线MN是矩形ABCD的对称轴，若点 $A_{1}$ 恰好落在直线MN上，试判断 $Δ D E F$ 的形状，并说明理由；

(3)、如图3，在（2）的条件下，点G为 $Δ D E F$ 内一点，且 $∠ D G F = 150 °$ ，试探究DG，EG，FG的数量关系.

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一、选择题

二、填空题

三、解答题

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