【基础版】北师大版数学九年级上册 4.4探索三角形相似的条件同步练习

试卷更新日期：2024-09-28 类型：同步测试

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一、选择题

1. 如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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2. 如图，能使 $△ A B C$ ∽ $△ A E D$ 成立的条件是（）

A、 $∠ A = ∠ A$ B、 $∠ A D E = ∠ A E D$ C、 $\frac{A C}{A D} = \frac{A B}{A E}$ D、 $\frac{B C}{E D} = \frac{A D}{A C}$

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3. 黄金分割由于其美学性质，受到摄影爱好者和艺术家的喜爱，摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法，其原理是：如图，将正方形ABCD的底边BC取中点E，以E为圆心，线段DE为半径作圆，其与底边BC的延长线交于点F，这样就把正方形ABCD延伸为矩形ABFG，称其为黄金矩形，若CF=4a，则AB=（）.

A、（ $\sqrt{5}$ ﹣1）a B、（2 $\sqrt{5}$ ﹣2）a C、（ $\sqrt{5}$ +1）a D、（2 $\sqrt{5}$ +2）a

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4. 如图，点D，E分别在 $△ A B C$ 的AB，AC边上，增加下列条件中的一个：① $∠ A E D = ∠ B$ ， ② $∠ A D E = ∠ C$ ， ③ $\frac{A E}{A B} = \frac{D E}{B C}$ ， ④ $\frac{A D}{A C} = \frac{A E}{A B}$ ， ⑤ $A C^{2} = A D \cdot A E$ ，使 $△ A D E$ 与 $△ A C B$ 一定相似的有（）

A、①②④ B、②④⑤ C、①②③④ D、①②③⑤

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5. 一条线段的黄金分割点有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、无数个

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6. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A D$ 是 $∠ B A C$ 的平分线， $C E$ 与 $A D$ 交于点M ， $∠ A C E = ∠ B$ ，下列结论中正确的个数是（　　）

① $△ A C M ∽ △ A B D$ ；② $△ A C E ∽ △ A B C$ ；
③ $△ A E M ∽ △ C D M$ ；④ $△ A E M ∽ △ A C D$

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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7. 已知 $P$ 是线段AB的黄金分割点 $(P A > P B$ )，则下列结论中，正确的有（）.
① $P A^{2} = P B \cdot A B$ ；② $\frac{P B}{P A} = \frac{P A}{P B}$ ；③ $\frac{P B}{P A} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

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8. 如图所示，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点 $O$ ，且 $\frac{O A}{O C} = \frac{O B}{O D}$ ，则① $△ A O B ∽ △ C O D$ ；② $△ A O D ~ △ B O C$ .下列关于①②的判断，正确的是（）.

A、①②都正确 B、①正确，②错误 C、①错误，②正确 D、①②都错误

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二、填空题

9. 如图1，点 $C$ 把线段 $A B$ 分成两条线段 $A C$ 和 $B C$ ，如果 $\frac{A C}{A B} = \frac{B C}{A C}$ ，那么称线段 $A B$ 被点 $C$ 黄金分割，点 $C$ 叫做线段 $A B$ 的黄金分割点．设 $A B = a$ ， $A C = x$ ，则 $\frac{x}{a} = \frac{a - x}{x}$ ，所以 $\frac{x}{a} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ ，即 $\frac{A C}{A B} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ 叫做黄金比．一些美术家认为：人的上、下身长之比接近黄金比，可以增加美感．如图2的人体雕像高为 $m$ ，下身长为 $n$ ，为增加视觉美感，若图中 $m$ 为2米，则 $n$ 为米．

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10. 底角相等的两个等腰三角形相似.(填“一定”或“不一定”)

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11. 如图，要使图中的两个三角形相似，需要添加一个条件，这个条件可以是．（写一个即可）

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12. 如图所示，点 $D$ 在 $△ A B C$ 的边AC上，若要使 $△ A B D$ 与 $△ A C B$ 相似，可添加的一个条件是.(只需写出一个)

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13. 已知点D是线段AB的黄金分割点，且线段AD的长为12厘米，则最短线段BD的长是.

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三、解答题

14. 一个三角形的三边长分别为12cm，8cm，7cm，另一个三角形的三边长分别为16cm，24cm，14cm，这两个三角形相似吗？为什么？

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15. 如图所示， $△ A B C$ 的三边长分别为 $A B = 3 c m ， B C = 3.5 c m ， C A = 2.5 c m$ ， $△ D E F$ 的三边长分別为 $D E = 3.6 c m ， E F = 4.2 c m ， F D = 3 c m$ . $△ A B C$ 与 $△ D E F$ 是否相似?为什么?

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16. 人体上半身长和下半身长的黄金比为 $0.618 : 1$ ，这时人的身长比例看上去更美观．某演员的身长情况如图所示，她想通过穿高跟鞋使身长比例更美观，于是她购买了一双6厘米的高跟鞋．请依据“黄金比”判断这双高跟鞋的高度是偏高还是偏低？

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17. 如图，矩形ABCD中，AB=16，BC=8，点P为AB边上一动点，DP交AC于点Q.

(1)、求证： $△ A P Q ∽ △ C D Q$ ；

(2)、当 $P D ⊥ A C$ 时，求 $D Q$ 的长.

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18. 如图，在△ABC中，AB=AC= 1，BC= $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ ，在AC边上截取AD= BC，连结BD．

(1)、通过计算，判断AD²与AC·CD的大小关系．

(2)、求证：△ABC∽△BDC．

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19. 已知：如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，∠ADE=∠B，点F在AD上，且 $E F / / C D$ ．求证：

(1)、ΔDEF∽ΔBCD；

(2)、 $A D^{2} = A F \cdot A B$ ．

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20. 鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界鬼斧神工的美丽作品．如图，P是AB的黄金分割点(BP>AP)．

(1)、写出一个与 $\frac{A P}{P B}$ 相等的线段比．

(2)、若线段PB的长为7，求线段AB的长．

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【基础版】北师大版数学九年级上册 4.4探索三角形相似的条件 同步练习

一、选择题

二、填空题

三、解答题

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