【培优版】北师大版数学九年级上册4.2平行线分线段成比例同步练习

试卷更新日期：2024-09-28 类型：同步测试

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一、选择题

1. 如图，H是△ABC的重心，延长AH交BC于D，延长BH交AC于M，E是DC上一点，且DE∶EC＝5∶2，连结AE交BM于G，则BH∶HG∶GM等于（）

A、7∶5∶2 B、13∶5∶2 C、5∶3∶1 D、26∶10∶3

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2. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 3$ ， $A D = 4$ ， $C E$ 平分 $∠ A C B$ ，与对角线 $B D$ 相交于点N，F是线段 $C E$ 的中点，则 $S_{Δ C O N}$ 为（）

A、 $\frac{12}{5}$ B、 $\frac{7}{6}$ C、 $\frac{7}{12}$ D、 $\frac{15}{13}$

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3. 如图，一人站在两等高的路灯之间走动， $G B$ 为人 $A B$ 在路灯 $E F$ 照射下的影子， $B H$ 为人 $A B$ 在路灯 $C D$ 照射下的影子．当人从点 $C$ 走向点 $E$ 时两段影子之和 $G H$ 的变化趋势是（）

A、先变长后变短 B、先变短后变长 C、不变 D、先变短后变长再变短

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4. AD是△ABC的中线，E是AD上一点，AE：ED=1：3，BE的延长线交AC于F，AF：FC=（）

A、1：3 B、1：4 C、1：5 D、1：6

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5. 如图，△ABC中，∠A=90°，AB=6，BC=10，∠ABC的平分线交AC于点D，与BC的垂线CE相交于点E，过点D作DF⊥BC于点F，则BD：DE为（）

A、3：2 B、5：3 C、4：3 D、2：1

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二、填空题

6. 如图，矩形纸片ABCD，点E在边AD上，连接BE，点F在线段BE上，且EF= $\frac{1}{3}$ BF，折叠矩形纸片使点C恰好落在点F处，折痕为DG，若AB=4，则折痕DG的长为.

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7. 由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示．将小正方形对角线EF双向延长，分别交边AB，和边BC的延长线于点G，H．若大正方形与小正方形的面积之比为5，GH＝2 $\sqrt{5}$ ，则大正方形的边长为．

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8. 如图，正方形ABCD的边长AB＝4，点E、F分别是CB，DC延长线上的点，连AF交CB于点G，若BE＝1，连接AE，且∠EAF＝45°，则AG长为.

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9. 如图，正方形 $A B C D$ 中，E、F分别为 $A D$ 、 $B C$ 边的中点，连接 $E F$ ，将正方形折叠，使点C落在 $E F$ 上点P的位置，折痕 $B Q$ 交 $E F$ 于点G ，若 $P G = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，则 $E P$ 的长为.

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三、解答题

10. 如图，在 $R t Δ A B C$ 中， $∠ A = 90 °$ ， $A C = 3$ ， $A B = 4$ ，动点 $P$ 从点 $A$ 出发，沿 $A B$ 方向以每秒2个单位长度的速度向终点 $B$ 运动，点 $Q$ 为线段 $A P$ 的中点，过点 $P$ 向上作 $P M ⊥ A B$ ，且 $P M = 3 A Q$ ，以 $P Q$ 、 $P M$ 为边作矩形 $P Q N M$ ．设点 $P$ 的运动时间为（t>0）秒．

(1)、线段 $M P$ 的长为（用含的代数式表示）．

(2)、当点N恰好落在边 $B C$ 上时，求的值．

(3)、当点 $N$ 在 $Δ A B C$ 内部时，设矩形 $P Q N M$ 与 $Δ A B C$ 重叠部分图形的面积为 $S$ ，求 $S$ 与之间的函数关系式．

(4)、当点 $M$ 恰好落在 $Δ A B C$ 的角平分线上时，直接写出的值．

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11. 已知：如图，AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B、D，AD和BC相交于点E，EF⊥BD，垂足为F，我们可以证明 $\frac{1}{A B} + \frac{1}{C D} = \frac{1}{E F}$ 成立（不要求考生证明）．
若将图中的垂线改为斜交，如图，AB∥CD，AD，BC相交于点E，过点E作EF∥AB交BD于点F，则：

(1)、 $\frac{1}{A B} + \frac{1}{C D} = \frac{1}{E F}$ 还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；

(2)、请找出S_△_ABD ， S_△_BED和S_△_BDC间的关系式，并给出证明．

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12. 阅读与计算，请阅读以下材料，完成相应的任务．
材料：三角形的内角平分线定理：
如图1，在 $Δ A B C$ 中， $A D$ 平分 $∠ B A C$ ，交 $B C$ 于点 $D$ ，则 $\frac{A B}{A C} = \frac{B D}{C D}$ ．
下面是这个定理的部分证明过程．
证明：如图2，过 $C$ 作 $C E ∥ D A$ ，交 $B A$ 的延长线于点 $E$ ．

(1)、【思路说明】请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；

(2)、【直接应用】如图3， $△ A B C$ 中， $E$ 是 $B C$ 中点， $A D$ 是 $∠ B A C$ 的平分线， $E F ∥ A D$ 交 $A C$ 于 $F$ ．若 $A B = 11$ ， $A C = 15$ ，求线段 $F C$ 的长；

(3)、【拓展延伸】如图4， $△ A B C$ 中， $A D$ 平分 $∠ B A C$ ， $B C$ 的延长线交 $△ A B C$ 外角角平分线 $A F$ 于点 $F$ ．
①找出 $A B$ 、 $A C$ 、 $B F$ 、 $C F$ 这四条线段的比例关系，并证明；
②若 $B D = 2$ ， $C F = 4$ ，求 $C D$ 的长．

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13. 如图1，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 8$ ， $A D = 6$ ，沿对角线 $A C$ 剪开，再把 $△ A C D$ 沿 $A B$ 方向平移得到图2，其中 $A^{'} D$ 交 $A C$ 于 $E$ ， $A^{'} C^{'}$ 交 $B C$ 于 $F$ ．

(1)、在图2中，除 $△ A B C$ 与 $△ C^{'} D A^{'}$ 外，指出图中全等三角形（不能添加辅助线和字母）并选择一对加以证明；

(2)、设 $A A^{'} = x$ ．
①当 $x$ 为何值时，四边形 $A^{'} E C F$ 是菱形？

②设四边形 $A^{'} E C F$ 的面积为 $y$ ，求 $y$ 与 $x$ 的关系式，并求出 $y$ 最大值．

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14. 如图， $A M // B N$ ， $∠ M A B$ 和 $∠ N B A$ 的角平分线相交于点P，过点P作线 $E F$ 分别交 $A M$ 、 $B N$ 于F，E．

(1)、如图1，求证： $A B = A F + B E$ ；

(2)、若 $E F$ 绕点P旋转，F在 $M A$ 的延长线上滑动，如图2，请你测量，猜想 $A B$ 、 $A F$ 、 $B E$ 之间的关系，写出这个关系式，并加以证明．

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一、选择题

二、填空题

三、解答题

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