广东省深圳市红桂中学2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题

试卷更新日期：2024-09-15 类型：开学考试

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一、选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）

1. 下列式子：① $x - 1 \geq 1$ ；② $x + 2$ ；③ $- 2 < 0$ ；④ $x - \frac{1}{2} y = 0$ ；⑤ $x + 2 y \leq 0$ ．其中是不等式的有（）

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

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2. 下列博物馆的图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 下列各组线段中，能组成直角三角形的一组是（）

A、1，2，3 B、2，3，4 C、4，5，6 D、 $\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}$

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4. 将多项式“ $4 m^{2} - ?$ ”因式分解，结果为 $(2 m + 3) (2 m - 3)$ ，则“？”是（）

A、3 B、 $- 3$ C、9 D、 $- 9$

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5. 若代数式 $\frac{\sqrt{x + 2}}{x}$ 有意义，则实数x的取值范围是（）

A、 $x \geq - 2$ B、 $x \geq - 2$ ，且 $x \neq 0$ C、 $x > - 2$ D、 $x \leq ﹣ 2$ ，且 $x \neq 0$

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6. 如图，平行四边形 $A B C D$ 中， $A D = 8$ ， $A B = 6$ ， $D E$ 平分 $∠ A D C$ 交 $B C$ 边于点 $E$ ，则 $B E$ 的长为（）

A、1 B、4 C、3 D、2

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7. 若关于x的分式方程 $\frac{5}{x - 4} = 2 - \frac{a}{x - 4}$ 有增根，则a的值为（）

A、5 B、 $- 5$ C、4 D、 $- 4$

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8. 如图，在等边 $△ A B C$ 中，以A为直角顶点作等腰直角 $△ C A D$ ， $A F ⊥ B D$ 分别交 $B D$ 、 $C D$ 于点E、F，N为线段 $B G$ 上一动点，M为线段 $A D$ 上一动点，且 $B N = A M$ ，以下4个结论：① $∠ C B N = 3 ∠ A B D$ ；② $D F = 2 E F$ ；③ $D F = C F + A F$ ；④当 $C N + C M$ 的值最小时， $∠ A C M = ∠ D C M$ ．正确的个数为（）

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

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二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）

9. 分解因式： $4 a^{2} b^{2} - 8 a^{2} b + 4 a^{2} =$ ．

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10. 若关于 $x$ 的一元一次方程 $2 x - m + 2 = 0$ 的解是负数，则 $m$ 的取值范围是．

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11. 若 $m + n = 3$ ， $m n = 2$ ，则 $m^{2} n + m n^{2}$ 的值为

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12. 如图， $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $B C = 5$ ， $S_{△ A B C} = 15$ ， $A D ⊥ B C$ 于点D， $E F$ 垂直平分 $A B$ ，交 $A C$ 于点F，在 $E F$ 上确定一点P，使 $P B + P D$ 最小，则这个最小值为．

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13. 已知正方形 $A B C D$ ，点E是边 $A D$ 上的动点，以 $E C$ 为边作等边三角形 $E C F$ ，连接 $B F$ ，交边 $D C$ 于点G，当 $B F$ 最小时， $∠ C G F =$ ．

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三、解答题（共7小题，满分61分）

14. 解不等式组： $\{\begin{cases} x - 3 (x - 1) \leq 6 ① \\ 1 - \frac{2 - 5 x}{3} > x ② \end{cases}$ ，并把解集在数轴上表示出来．

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15. 化简求值：先化简 $(\frac{2}{y - 2} - 1) \div \frac{y^{2} - 4}{y^{2} - 4 y + 4}$ ，再从 $- 2, 2, 4$ ，中选择一个合适的数代入并求值．

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16. 某校学生会为了解本校初中学生每天做作业所用时间情况，采用问卷的方式对一部分学生进行调查．在确定调查对象时，大家提出以下几种方案：A.对各班班长进行调查；B.对某班的全体学生进行调查；C.从全校每班随机抽取5名学生进行调查．在问卷调查时，每位被调查的学生都选择了问卷中适合自己的一个时间，学生会将收集到的数据整理后绘制成如图所示的条形统计图．
(1)为了使收集到的数据具有代表性．学生会在确定调查对象时应选择方案________ (填A，B或C)；
(2)被调查的学生每天做作业所用时间的众数为________h；
(3)根据以上统计结果，估计该校900名初中学生中每天做作业用1.5 h的人数．

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17. 在二十大后，绿色发展战略升级，各地区为推进碳中和目标，都在加大对新能源汽车的推广．某汽车专卖店乘此机会决定购进A、B两种新能源汽车．经调查：其中A类汽车的进价比B类汽车的进价每辆多4万元，且用480万元购进A类汽车的数量是用160万元购进B类汽车的数量两倍．

(1)、求A、B两类新能源汽车的进价分别是每辆多少万元？

(2)、该汽车专卖店打算购进A、B两类新能源汽车共60辆，若汽车店将每辆A类汽车定价为16万元出售，每辆B类汽车定价10万元出售，且全部售出后所获得利润不少于200万元，则汽车店至少需购进A类汽车多少辆？

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18. 如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 ， ∠ C = 30 °$ ， E，F分别是 $B C ， A C$ 的中点，延长 $B A$ 到点D，使 $A B = 2 A D$ ，连接 $D E ， D F ， A E ， E F ， A F$ 与 $D E$ 交于点O．

(1)、试说明 $A F$ 与 $D E$ 互相平分；

(2)、若 $A B = 2$ ，求 $D E$ 的长．

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19. 【定义】对于没有公共点的两个图形M，N，点P是图形M上任意一点，点Q是图形N上任意一点，把P、Q两点之间的距离的最小值称为图形M与图形N的距离，记为 $d [M, N]$ ．
【理解】如图1，在平面直角坐标系中， $▱ A B C D$ 的对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点O，若点A，B的坐标分别为 $(4, 3)$ ， $(- 4, 3)$ ，点G是 $▱ A B C D$ 边上任意一点．
（1）当点G在边 $A D$ 上时， $O G$ 的最小值是__________，因此d[点O，线段 $A D$ ] $=$ __________；
（2）当点G在任意边上时， $O G$ 的最小值是__________，因此d[点O， $▱ A B C D$ ] $=$ __________；
【拓展】如图2，在平面直角坐标系中， $A B C D$ 的对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点O， $A C$ 平分 $∠ B A D$ ，点A，B的坐标分别为 $(4, 3)$ ， $(- \frac{9}{4}, 3)$ ，点 $E (a, n)$ 是对角线 $A C$ 上与点A，C，O不重合的一点，点 $F (b, n)$ 是对角线 $B D$ 上与点B，D，O不重合的一点．
（3）当 $1 < d$ [线段 $E F$ ， $▱ A B C D$ ] $< 2$ 时，则n的取值范围为__________；
（4）当 $n > 0$ 时， $\frac{d [线段 E F, ▱ A B C D]}{d [点 F, 线段 A D]} =$ __________（结果用含n的式子表示）；
【应用】为庆祝母亲节，某商场在广场举行花卉展览，要在长6米，宽4米的长方形花卉展览区外围用彩绳拉出封闭隔离线，要求封闭隔离线与长方形花卉展览区外围的最小距离均为0.5米，请直接写出所需彩绳的长度．

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20. 综合探究：在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ，把 $△ A B C$ 绕点 $A$ 逆时针旋转适当的角度得到 $△ A D E$ ，连接对应点 $B$ ， $D$ 和 $C$ ， $E$ ，延长 $B D$ 交 $C E$ 于点 $M$ ．

(1)、如图1，当点 $D$ 落在边 $A C$ 上时，证明： $M E = M C$ ；

(2)、如图2，当点 $D$ 不落在边 $A C$ 上时， $A C$ ， $B M$ 交于点 $N$ ，请探究 $E M = M C$ 是否还成立？写出探究过程；

(3)、如图3，在（2）的条件下，当 $D A ⊥ A C$ 时， $\frac{A B}{B C} = \frac{3}{4}$ 时，若 $C E = 2 \sqrt{1} 0$ ，求 $D N$ 的长．

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