广东省佛山市顺德区桂洲中学2025届高三上学期第一次月考数学试卷

试卷更新日期：2024-09-20 类型：月考试卷

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一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 4 x - 12 < 0} ， B = {y | y = \sqrt{x} + 2}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $[0 ， 6)$ B、 $[2 ， 6)$ C、 $(- 2 ， 0]$ D、 $\emptyset$

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2. 已知复数 $z$ 满足 $z - i = \frac{2}{1 - i}$ ，则 $z =$ （）

A、 $1 + 2 i$ B、 $1 - 2 i$ C、 $- 1 + 2 i$ D、 $- 1 - 2 i$

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3. 函数y= $\frac{\sqrt{x}}{\lg (2 - x)}$ 的定义域是（）

A、[0，2） B、[0.1）∪（1，2） C、（1，2） D、[0，1）

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4. 若正实数 $x ， y$ 满足 $x y ＋ 3 x ＝ 3$ ，则 $12 x ＋ y$ 的最小值为（）

A、7 B、8 C、9 D、10

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5. 如图，在矩形 $A B C D$ 中，M是 $C D$ 的中点，若 $\vec{A C} = λ \vec{A M} + μ \vec{A B}$ ，则 $λ + μ =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\frac{3}{2}$ D、2

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6. 若不等式 $x^{2} + a x - 5 > 0$ 在 $\{x |1 \leq x \leq 2\}$ 上有解，则a的取值范围是（）

A、 $\{a |a < \frac{1}{2}\}$ B、 $\{a |a > \frac{1}{2}\}$ C、 $\{a |a < 4\}$ D、 $\{a |a > 4\}$

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7. 已知向量 $\vec{a} = (1, t)$ ， $\vec{b} = (- 3, 1)$ ，且 $(2 \vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，则向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角等于（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2π}{3}$ D、 $\frac{3π}{4}$

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8. 已知 $f (\sqrt{x} + 1) = x + 3$ ，则 $f (x + 1)$ 的解析式为（）

A、 $f (x + 1) = x + 4 (x \geq 0)$ B、 $f (x + 1) = x^{2} + 3 (x \geq 1)$ C、 $f (x + 1) = x^{2} - 2 x + 4 (x \geq 1)$ D、 $f (x + 1) = x^{2} + 3 (x \geq 0)$

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二、多选题（本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求）

9. 已知复数 $z = (2 - i) (i - 1)$ ，则（）

A、复数z的虚部为3 B、 $|z| = \sqrt{2}$ C、复数z的实部为 $- 1$ D、 $z^{2} = - 8 - 6 i$

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10. 下列说法中正确的是（）

A、非零向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}|$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{a} + \vec{b}$ 的夹角为 $60 °$ B、向量 $\vec{e_{1}} = (2, - 3)$ ， $\vec{e_{2}} = (\frac{1}{2}, - \frac{3}{4})$ 不能作为平面内所有向量的一组基底 C、若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量的模为 $|\vec{a}|$ D、若 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (1, 1)$ ，且 $\vec{a}$ 与 $\vec{a} + λ \vec{b}$ 的夹角为锐角，则实数 $λ$ 的取值范围是 $(- \frac{5}{3}, + \infty)$

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11. 已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} {log}_{1 / 2} (1 - x) + 1, x \leq 0, \\ \sqrt{x}, x > 0. \end{array}$ ，则下列结论中正确的是（）.

A、 $(- \infty, 0]$ 是函数 $f (x)$ 的一个单调减区间 B、 $f (x) > 1$ 的解集为 $(1, + \infty)$ C、若 $f (x) = \frac{1}{2}$ ，则 $x = \frac{1}{4}$ ，或 $x = 1 - \sqrt{2}$ D、方程 $f (x) + x = 0$ 必有两个实数根

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三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）

12. 已知向量 $\vec{a} = (- 1, 3)$ ， $\vec{b} = (2, k)$ ，若 $(2 \vec{a} - \vec{b}) ∥ (\vec{a} + \vec{b})$ ，则 $k =$ ．

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13. 已知实数 $x ， y$ 满足 $- 4 ≤ x - y ≤ - 1 ， - 1 ≤ 4 x - y ≤ 5$ ，则 $9 x - 3 y$ 的取值范围是.

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14. 若函数 $f (x) = {\begin{matrix} - x^{2} + (2 - a) x, x \leq 0 \\ (2 a - 1) x + a - 1, x > 0 \end{matrix}$ 在 $R$ 上为增函数，则 $a$ 取值范围为.

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四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

15. 已知复数 $z = m + 2 + (m - 2) i (m \in R)$ ， $\bar{z}$ 为z的共轭复数，且 $z + \bar{z} = 6$ ．

(1)、求m的值；

(2)、若 $z - 3 i$ 是关于x的实系数一元二次方程 $x^{2} + a x + b = 0$ 的一个根，求该一元二次方程的另一复数根．

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16. 已知关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} - x + 1 - a \leq 0$ ．
（1）当 $a > 0$ 时，解关于 $x$ 的不等式；
（2）当 $2 \leq x \leq 3$ 时，不等式 $a x^{2} - x + 1 - a \leq 0$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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17. 在 $△ A B C$ 中， $C A = 2$ ， $A B = 2$ ， $∠ B A C = \frac{2 π}{3}$ ， D为BC的三等分点（靠近B点）．

(1)、求 $\overset{⃑}{A D} \cdot \overset{⃑}{B C}$ 的值；

(2)、若点P满足 $\overset{⃑}{C P} = λ \overset{⃑}{C A}$ ，求 $\overset{⃑}{P B} \cdot \overset{⃑}{P C}$ 的最小值，并求此时的 $λ$ ．

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18. 已知 $f (x) = \{\begin{matrix} x^{2} - 2 x + 3, x \leq 2, \\ - x + 5, 2 < x < 10. \end{matrix}$

(1)、求 $f (\frac{1}{2})$ ， $f (f (6))$ 的值；

(2)、求满足 $f (a) = 6$ 的实数a的值；

(3)、求 $y = f (x)$ 的定义域和值域．

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19. 已知a ， b ， c分别为 $△ A B C$ 三个内角A ， B ， C的对边， $\vec{m} = (c, a + b)$ ， $\vec{n} = (c o s A + \sqrt{3} s i n A, - 1)$ ，且 $\vec{m} ⊥ \vec{n}$ ．

(1)、求 $C$ ；

(2)、若 $c = 2 \sqrt{3}$ ， $△ A B C$ 的面积为 $2 \sqrt{3}$ ，求a ， b ．

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