【培优版】浙教版数学九上4.4 两个三角形相似的判定同步练习

试卷更新日期：2024-09-27 类型：同步测试

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一、选择题

1. 如图，点 $E$ 是□ABCD的边BA延长线上一点，连接CE，交边AD于点F，则下列各式正确的是（）

A、 $\frac{A F}{D F} = \frac{A E}{B E}$ B、 $\frac{D F}{E F} = \frac{C F}{A F}$ C、 $\frac{A B}{A E} = \frac{D F}{B C}$ D、 $\frac{D F}{B C} = \frac{C F}{C E}$

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2. 如图， $△ A O C$ 的顶点 $A$ 在第一象限内，边 $O C$ 在 $x$ 轴正半轴上，点 $O$ 为原点，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 交 $A O$ 于点 $E$ ，交 $A C$ 于点 $B$ ，且点 $E$ 为 $A O$ 中点， $A B = 4 B C$ ，若 $△ A B E$ 的面积为14，则 $k$ 的值为（）

A、 $\frac{14}{3}$ B、 $\frac{28}{3}$ C、 $\frac{40}{3}$ D、 $\frac{52}{3}$

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3. 如图，一块矩形木板 $A B C D$ ，长 $A D = 3 c m$ ，宽 $A B = 2 c m$ ，小虎将一块等腰直角三角板的一条直角边靠在顶点 $C$ 上，另一条直角边与 $A B$ 边交于点 $E$ ，三角板的直角顶点 $P$ 在 $A D$ 边上移动（不含端点 $A 、 D$ ），当线段 $B E$ 最短时， $A P$ 的长为（）

A、 $2 c m$ B、 $1 c m$ C、 $0.5 c m$ D、 $1.5 c m$

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4. 在 $△ A B C$ 中， $A B = 4$ ， $B C = 6$ ， $A C = 5$ ， $D$ 为 $B C$ 边一点且 $B D = 4$ ，若过点 $D$ 作直线截 $△ A B C$ ，使截得的三角形与原三角形相似，则满足条件的直线有（）

A、 $2$ 条 B、 $3$ 条 C、 $4$ 条 D、 $5$ 条

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5. 如图，在矩形 $A B C D$ 中，以A为圆心， $A D$ 长为半径画圆弧，交 $B C$ 于点E ，以E为圆心 $A E$ 长为半径画圆弧与 $B C$ 的延长线交于点F ，连接 $A F$ 分别与 $D E$ 、 $D C$ 交于点M、N ，连接 $D F$ ，下列结论中下列结论中错误的是（）

A、四边形 $A E F D$ 为菱形 B、 $C N = C E$ C、 $△ C F N ∽ △ D A N$ D、 $△ A B E ≌ △ D C F$

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6. 如图，在△ABC中，点D是AB上一点(不与点A ， B重合)，过点D作DE∥BC交AC于点E ，过点E作EF//AB交BC于点F ，点G是线段DE上一点，EG=2DG ，点H是线段CF上一点，CH=2HF ，连接AG ， AH ， GH ， HE. 若已知△AGH的面积，则一定能求出（）

A、△ABC的面积 B、△ADE的面积 C、四边形DBFE的面积 D、△EFC的面积

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7. 如图，四个全等的直角三角形排成“赵爽弦图”，其中四边形ABCD与四边形EFGH都是正方形.连结DG并延长，交BC于点 $P$ ，点 $P$ 为BC的中点.若 $E F = 2$ ，则AE的长为（）

A、4 B、 $1 + \sqrt{2}$ C、 $1 + \sqrt{5}$ D、 $\sqrt{3}$

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8. 如图，在△ABC $A B C$ 纸板中，AC=4，BC=8，AB=10，P是BC上一点，沿过点P $P$ 的直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板．针对CP $C P$ 的不同取值，三人的说法如下．下列判断正确的是（）
甲：若CP=4， $C P = 4$ 则有3 $3$ 种不同的剪法；乙：若CP=2， $C P = 2$ 则有4 $4$ 种不同的剪法；
丙：若CP=1， $C P = 1$ 则有3 $3$ 种不同的剪法．

A、只有甲错 B、只有乙错 C、只有丙错 D、甲、乙、丙都对

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二、填空题

9. 如图，在四边形ABCD中，连接AC ， BD交于点E ，已知BE＝CE ， AB＝AD ， ∠ECB＝2∠ABD ，若BD＝16，AC＝11，则边AB的长为．

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10. 如图所示，点A₁ ， A₂ ， A₃在x轴上且OA₁＝A₁A₂＝A₂A₃ ，分别过点A₁ ， A₂ ， A₃作y轴的平行线与反比例函数y $= \frac{k}{x}$ （k＞0，x＞0）的图象分别交于点B₁ ， B₂ ， B₃ ，分别过点B₁ ， B₂ ， B₃作x轴的平行线分别与y轴交于点C₁ ， C₂ ， C₃ ，连接OB₁ ， OB₂ ， OB₃ ，那么图中阴影部分的面积之和为．

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11. 如图，在矩形ABCD中，E是AB的中点，作 $E F ⊥ D E$ 交BC于点F ，对角线AC分别交DE ， DF于点G ， H ，当DH⊥AC时，则 $\frac{G H}{E F}$ 的值为．

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12. 如图，正比例函数 $y = a x (a > 0)$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0)$ 的图象交于A ， B两点，过点A的直线分别与x轴、y轴交于C ， D两点．当 $A C = 2 A D, S_{△ B C D} = 18$ ，时，则 $k =$ ．

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13. 如图，△ABC的面积为2，AD为BC边上的中线，点A ， C₁ ， C₂ ， C₃是线段CC₄的五等分点，点A ， D₁ ， D₂是线段DD₃的四等分点，点A是线段BB₁的中点．

(1)、△AC₁D₁的面积为；

(2)、△B₁C₄D₃的面积为．

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三、解答题

14. 矩形ABCD中，M ， N分别是边AB ， BC上的两个动点.

(1)、如图，当 DM⊥ MN ， AM=BM时. 求证：①△DAM∽△MBN；②DN=AD+BN.

(2)、当 AB=5，BC=3 时，是否存在点 M的某个位置，使得△DAM∽△MBN∽△DCN ，
若存在，求 AM的长. 若不存在，说明理由.

(3)、是否存在矩形 ABCD ，使得△DAM ， △MBN ， △DCN都和△DMN相似，若存在，求 $\frac{A B}{A D}$ 的值；若不存在，请说明理由.

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15. 如图1，在 $△ A B C$ 中， $A B = 6$ ， $B C = 8$ ，点P为AB上一点， $A P = x$ ，过点P作 $P Q / / B C$ 交AC于点Q点P ， Q的距离为 $y_{1}$ ， $△ A B C$ 的周长与 $△ A P Q$ 的周长之比为 $y_{2}$ .

(1)、请直接写出 $y_{1}$ ， $y_{2}$ 分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；

(2)、在给定的平面直角坐标系中，画出函数 $y_{1}$ ， $y_{2}$ 的图象，并分别写出函数 $y_{1}$ ， $y_{2}$ 的一条性质；

(3)、结合函数图象，请直接写出 $y_{1} > y_{2}$ 时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）.

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四、实践探究题

16. 【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容．
猜想：如图，在△ABC中，点D、E分别是AB与AC的中点．根据画出的图形，可以猜想：
DE∥BC ，且DE＝ $\frac{1}{2}$ BC
对此，我们可以用演绎推理给出证明．

(1)、【定理证明】请根据教材内容，结合图①，写出证明过程．

(2)、【定理应用】如图②，已知矩形ABCD中，AD＝6，CD＝4，点P在BC上从B向C移动，R、E、F分别是DC、AP、RP的中点，则EF＝．

(3)、【拓展提升】如图③，△ABC中，AB＝12，BC＝16，点D ， E分别是AB ， AC的中点，点F在DE上，且∠AFB＝90°，则EF＝．

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17. $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 60 °$ ， $A B = A C$ ，点 $D$ 为直线 $B C$ 上一动点 $($ 点 $D$ 不与 $B$ ， $C$ 重合 $)$ ，以 $A D$ 为边在 $A D$ 右侧作菱形 $A D E F$ ，使 $∠ D A F = 60 °$ ，连接 $C F$ ．

(1)、观察猜想：如图 $1$ ，当点 $D$ 在线段 $B C$ 上时，
$① A B$ 与 $C F$ 的位置关系为：．
$② B C$ ， $C D$ ， $C F$ 之间的数量关系为：；

(2)、数学思考：如图 $2$ ，当点 $D$ 在线段 $C B$ 的延长线上时，结论 $①$ ， $②$ 是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．

(3)、拓展延伸：如图 $3$ ，当点 $D$ 在线段 $B C$ 的延长线上时，设 $A D$ 与 $C F$ 相交于点 $G$ ，若已知 $A B = 4$ ， $C D = \frac{1}{2} A B$ ，求 $A G$ 的长．

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18.

(1)、如图1，在矩形 $A B C D$ 中，点 $E$ ， $F$ 分别在边 $D C$ ， $B C$ 上， $A E ⊥ D F$ ，垂足为点 $G$ ．求证： $△ A D E ∽ △ D C F$ ．

(2)、【问题解决】
如图2，在正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ ， $F$ 分别在边 $D C$ ， $B C$ 上， $A E = D F$ ，延长 $B C$ 到点 $H$ ，使 $C H = D E$ ，连接 $D H$ ．求证： $∠ A D F = ∠ H$ ．

(3)、【类比迁移】
如图3，在菱形 $A B C D$ 中，点 $E$ ， $F$ 分别在边 $D C$ ， $B C$ 上， $A E = D F = 11$ ， $D E = 8$ ， $∠ A E D = 60 °$ ，求 $C F$ 的长．

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【培优版】浙教版数学九上4.4 两个三角形相似的判定 同步练习

一、选择题

二、填空题

三、解答题

四、实践探究题

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