【培优版】浙教版数学九上4.1 比例线段同步练习

试卷更新日期：2024-09-27 类型：同步测试

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一、选择题

1. 在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比，已知这本书的长为20cm，则它的宽约为（）

A、12.36 cm B、13.6 cm C、32.36 cm D、7.64 cm

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2. 宽与长的比是 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ 的矩形叫黄金矩形，黄金矩形给我们以协调的美感，世界各国许多著名建筑为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计.已知四边形 $A B C D$ 是黄金矩形. $(A B < B C)$ ，点P是边 $A D$ 上一点，则满足 $P B ⊥ P C$ 的点P的个数为( )

A、3 B、2 C、1 D、0

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3. 宽与长的比是 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ 的矩形叫黄金矩形．心理测试表明：黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调、匀称的美感．现在，按照如下的步骤作图（如图）：
第一步：作一个正方形ABCD；
第二步：分别取AD ， BC的中点M ， N ，连接MN；
第三步：以点N为圆心，ND长为半径画弧，交BC的延长线于点E；
第四步：过点E作 $E F ⊥ A D$ ，交AD的延长线于点F ．
则所作图形中是黄金矩形的为（）

A、矩形MNCD B、矩形DCEF C、矩形MNEF D、矩形DCEF和矩形ABEF

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4. 新定义：两边之比等于黄金比的矩形叫做黄金矩形，如图，矩形 $A B C D$ 是黄金矩形（ $A B < B C$ ），点E、F分别在边 $A D$ 、 $B C$ 上，将矩形沿直线 $E F$ 折叠，使点B的对应点 $B^{'}$ 落在CD边上，点A的对应点为 $A^{'}$ ，过点E作 $E G ⊥ B C$ 于点G，当矩形 $A B G E$ 也是黄金矩形（ $A E < A B$ ）时，则 $\frac{B F}{B C} =$ （）

A、 $\frac{3 - \sqrt{5}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ C、 $3 - \sqrt{5}$ D、 $5 - 2 \sqrt{5}$

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5. 如图 1 所示，当光线从空气斜入射到某种透明的液体时发生了折射，满足入射角 $∠ 1$ 与折射角 $∠ 2$ 的度数比为 $3 ： 2$ ．如图 2 所示，在同一平面内，两条光线同时从空气斜射入这种液体中，两条入射光线与水平液面夹角分别为 $α ， β$ ，在液体中两条折射光线的夹角为 $γ$ ，则 $α ， β ， γ$ 三者之间的数量关系为（）

A、 $\frac{2}{3} (α + β) = γ$ B、 $\frac{2}{3} (α + β) = 120^{\circ} - γ$ C、 $α + β = γ$ D、 $α + β + γ = 180^{\circ}$

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6. 校园里一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AB的长度为10cm ，那么AP的长度为（　　）cm ．

A、 $\sqrt{5} - 1$ B、 $2 \sqrt{5} - 2$ C、 $5 \sqrt{5} - 5$ D、 $10 \sqrt{5} - 10$

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7. 如果2m＝3n（n≠0），那么下列比例式中正确的是（）

A、 $\frac{m}{n} = \frac{3}{2}$ B、 $\frac{m}{2} = \frac{3}{n}$ C、 $\frac{m}{n} = \frac{2}{3}$ D、 $\frac{m}{3} = \frac{2}{n}$

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8. 宽与长的比是 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ （约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD、BC的中点E、F，连接EF：以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H，则图中下列矩形是黄金矩形的是（）

A、矩形ABFE B、矩形EFCD C、矩形EFGH D、矩形DCGH

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二、填空题

9. 若 $\frac{a + b}{c} = \frac{b + c}{a} = \frac{c + a}{b}$ ，则 $\frac{(a + b) (b + c) (c + a)}{a b c}$ 的值为.

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10. 在平面直角坐标系中，关于 $x$ 的一次函数 $y = k x + b$ ，其中常数k满足 $k = \frac{c}{a + b} = \frac{a}{b + c} = \frac{b}{a + c}$ ，常数b满足b＞0且b是2和8的比例中项，则该一次函数 $y = k x + b$ 的解析式为．

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11. 如图1，以矩形ABCD的宽BC为边在其内部作正方形BCFE ，若 $\frac{A E}{A D} = \frac{A D}{A B}$ ，则称矩形ABCD为“黄金矩形”， $\frac{长}{宽} = \frac{A B}{A D} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ 称为“黄金比率”，如图2，以矩形ABCD的宽BC为边在其内部作两个正方形BCHG ， GHFE ，若 $\frac{A E}{A D} = \frac{A D}{A B}$ ，则称矩形ABCD为“白银矩形”， $\frac{长}{宽} = \frac{A B}{A D}$ 称为“白银比率”，则该比率为；如图3，A4纸的长与宽的比值近似可以看作 $\sqrt{2}$ ，若沿某条直线裁剪一次，使得A4纸剩下部分为一个“白银矩形”，则该“白银矩形”的面积是．

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12. 黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边MN，PQ上，且 $A B / / N P$ ， “晋”字的笔画“、”的位置在AB的黄金分割点 $C$ 处，且 $\frac{B C}{A B} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ ．若 $N P = 2 c m$ ，则BC的长为 $c m$ （结果保留根号）。

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三、解答题

13. 已知 $\frac{c}{a + b} = \frac{a}{b + c} = \frac{b}{c + a} = k$ ，则一次函数 $y = k x + k$ 与坐标轴围成的三角形的面积是多少?

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14. 如图甲所示，C将线段AB分成两部分，如果 $\frac{A C}{A B} = \frac{B C}{A C}$ ，那么称 $C$ 为线段AB的黄金分割点.某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分测线”.现给出“黄金分割线”的定义：直线 $l$ 将一个面积为 $S$ 的图形分成两部分，这两部分的面积分别为 $S_{1} ， S_{2}$ ，如果 $\frac{S_{1}}{S} = \frac{S_{2}}{S_{1}}$ ，那么称直线 $l$ 为该图形的“黄金分割线”.请回答下列问题：

(1)、研究小组猜想：在 $△ A B C$ 中，若 $D$ 为AB边的黄金分割点(如图乙所示)，则直线CD是 $△ A B C$ 的“黄金分割线”.你认为这种猜想对吗?为什么?

(2)、三角形的中线是否也是该三角形的“黄金分割线”?请说明理由.

(3)、研究小组在进一步探究中发现：过点 $C$ 任作一条直线交AB于点 $E$ ，再过点 $D$ 作直线 $D F / / C E$ ，交AC于点 $F$ ，连结EF（如图丙所示），则直线EF也是 $△ A B C$ 的“黄金分割线”.请说明理由.

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四、阅读理解题

15. 阅读理解：
已知：a，b，c，d都是不为0的数，且 $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ ，求证： $\frac{a + b}{b} = \frac{c + d}{d}$ .

证明：∵ $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ ，

∴ $\frac{a}{b} + 1 = \frac{c}{d} + 1$ .

∴ $\frac{a + b}{b} = \frac{c + d}{d}$ .

根据以上方法，解答下列问题：

(1)、若 $\frac{a}{b} = \frac{3}{5}$ ，求 $\frac{a + b}{b}$ 的值；

(2)、若 $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ ，且a≠b，c≠d，证明 $\frac{a - b}{a + b} = \frac{c - d}{c + d}$ .

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五、综合题

16. 已知 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ ， $e$ ， $f$ 六个数，如果 $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = k (b + d + f \neq 0)$ ，那么 $\frac{a + c + e}{b + d + f} = k$ ．
理由如下：
$∵ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = k (b + d + f \neq 0)$ ，
$∴ a = b k$ ， $c = d k$ ， $e = f k ($ 第一步 $)$ ，
$∴ \frac{a + c + e}{b + d + f} = \frac{b k + d k + f k}{b + d + f} = \frac{k (b + d + f)}{b + d + f} = k ($ 第二步 $)$ ．

(1)、解题过程中第一步应用了的基本性质；在第二步解题过程中， $\frac{k (b + d + f)}{b + d + f} = k$ 应用了的基本性质；

(2)、应用此解题过程中的思路和方法解决问题：
$①$ 如果 $\frac{2 a}{5} = \frac{b}{6} = \frac{c}{7} = 2$ ，则 $\frac{2 a + b + c}{18} =$ _▲_；
$②$ 已知 $\frac{x}{3} = \frac{y}{4} = \frac{z}{5} \neq 0$ ，求 $\frac{x - y + z}{x + 2 y - 3 z}$ 的值．

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17. 根据以下素材，探索完成任务．

素材1	定义：如图1，点 $G$ 将线段 $A D$ 分成两部分，如果 $\frac{A G}{G D} = \frac{G D}{A D}$ ，那么点 $G$ 称为线段 $A D$ 的黄金分割点．
素材2	某兴趣小组在进行研究性学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出黄金分割线的定义：直线 $l$ 将一个面积为 $S$ 的图形分成面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ 的两部分，如果 $\frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{S_{2}}{S}$ ，那么直线 $l$ 称为该图形的黄金分割线．
素材3	平行四边形是中心对称图形：在同一平面内，一个三角形绕其中一边的中点旋转 $180 °$ ，其余两边与旋转后相对应的两边组成一个平行四边形，例如，图2中的 $△ A B D$ 绕 $B D$ 的中点旋转 $180 °$ 后与原三角形组成一个平行四边形 $A B C D$ （如图3）．

	问题解决
任务1	问题1：如图3， $A D$ 边上黄金分割点 $G$ 旋转后的对称点 $H$ 是否也是 $B C$ 边上的黄金分割点？请写出你的判断结论，并说明理由．问题2：直线 $G H$ 是不是四边形 $A B C D$ 的黄金分割线？请写出你的判断结论：．
任务2	请在图3探索： $B C$ 边上是否存在点 $M$ ，使得直线 $G M$ 是四边形 $A B C D$ 的黄金分割线？如果存在，请说明点 $M$ 的位置；如果不存在，请说明理由．
任务3	兴趣小组探索图2时猜想：在 $△ A B D$ 中，若点 $G$ 为 $A D$ 边上的黄金分割点，连接 $B G$ ，则直线 $B G$ 是 $△ A B D$ 的黄金分割线，你认为对吗？为什么？
任务4	兴趣小组探索图2时还发现：若点 $G$ 是 $△ A B D$ 的边 $A D$ 的黄金分割点，过点 $B$ 任意作一条直线交 $G D$ 于点 $E$ ，再过点 $G$ 作 $G F / / B E$ 交 $A B$ 于点 $F$ ，则直线 $E F$ 是 $△ A B D$ 的黄金分割线，请你给出证明．

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