【培优版】浙教版数学九上3.8 弧长及扇形面积同步练习

试卷更新日期：2024-09-27 类型：同步测试

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一、选择题

1. 如图，▱ $A B C D$ 中， $∠ C = 110 °$ ， $A B = 2$ ，以 $A B$ 为直径的 $⊙ O$ 交 $B C$ 于点 $E$ ，则 $\overset{⏜}{A E}$ 的长为( )

A、 $\frac{π}{9}$ B、 $\frac{7 π}{18}$ C、 $\frac{7 π}{9}$ D、 $\frac{2 π}{9}$

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2. 如图，在等腰三角形ABC中， $A B = A C = 10, ∠ C = 7 0^{°}$ ，以AB为直径作半圆，与AC，BC分别相交于点D，E，则 $\overset{⌢}{D E}$ 的长度为（）

A、 $\frac{π}{9}$ B、 $\frac{5 π}{9}$ C、 $\frac{10 π}{9}$ D、 $\frac{25 π}{9}$

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3. 如图，在 $⊙ O$ 中，直径 $A B = 8$ ，点D为AB上方圆上的一点， $∠ A B D = 30 °$ ， $O E ⊥ B D$ 于点E ，点P是OE上一点，连接DP ， AP ，得出下列结论：
Ⅰ：阴影部分的面积随着点P的位置的改变而改变，其最小值为 $\frac{8}{3} π$ ．
Ⅱ：阴影部分的周长随着点P的位置的改变而改变，其最小值为 $8 + \frac{4}{3} π$ ．
下列判断正确的是（）．

A、只有Ⅰ正确 B、只有Ⅱ正确 C、Ⅰ、Ⅱ都正确 D、Ⅰ、Ⅱ都不正确

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4. 如图，折扇的骨柄 $O A$ 长为7，折扇扇面宽度 $A B$ 是折扇骨柄长的 $\frac{4}{7}$ ，折扇张开的角度为 $12 0^{∘}$ ，则这把折扇扇面面积为（）

A、 $\frac{8}{3} π$ B、 $\frac{10}{3} π$ C、 $\frac{40}{3} π$ D、 $\frac{80}{3} π$

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5. 如图，Rt△ABC中， $∠ C = 90 °$ ， $⊙ O$ 是△ABC的内切圆，切点分别为点D、E、F ， $C F = 4$ ，则劣弧EF的长是（）

A、 $2 π$ B、 $4 π$ C、 $8 π$ D、 $16 π$

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6. 两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆 $O^{^{'}}$ 的一个直径端点与半圆 $O$ 的圆心重合.若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是（）

A、 $\frac{4}{3} π - \sqrt{3}$ B、 $\frac{4}{3} π$ C、 $\frac{2}{3} π - \sqrt{3}$ D、 $\frac{4}{3} π - \frac{\sqrt{3}}{4}$

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7. 如图，正方形 $A B C D$ 的边长为6，将长为 $4 \sqrt{3}$ 的线段 $Q F$ 的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动.如果点Q从点A出发，在 $A B$ 上滑动，同时点F在 $B C$ 上滑动，当点F到达点C时，运动停止，那么在这个过程中，线段 $Q F$ 的中点M所经过的路线长为（）

A、 $π$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3} π$ C、 $\sqrt{6}$ D、 $3 \sqrt{2} - \sqrt{6}$

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8. 如图， $R t △ B C O$ 中， $∠ B C O = 90 °$ ， $∠ C B O = 30 °$ ， BO＝2cm，将 $△ B C O$ 绕点O逆时针旋转至 $△ B^{'} C^{'} O$ ，点 $C^{'}$ 在BO的延长线上，则边BC扫过区域（图中阴影部分）的面积为（）

A、 $π c m^{2}$ B、 $(\frac{\sqrt{3}}{2} + π) c m^{2}$ C、 $2 π c m^{2}$ D、 $(\frac{\sqrt{3}}{2} + 2 π) c m^{2}$

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二、填空题

9. 如图， $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $∠ B = 30 °$ ， $A C = \sqrt{3}$ ，以 $C$ 为圆心， $C A$ 为半径的圆弧分别交 $A B$ 、 $C B$ 于点 $D$ 、 $E$ ，则图中阴影部分面积之和为．

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10. 如图，是某十字路口机动车转弯时的示意图，设计转弯半径 $O_{1} A = 10 m$ ，转弯角度 $∠ A O_{1} B = 9 0^{°}$ ，大型机动车实际转弯时，转弯半径 $O_{2} C = 20 m$ ，转弯角度 $∠ C O_{2} D = 8 0^{°}$ ，则大型机动车转弯实际行驶路程（ $\overset{⌢}{C D}$ 的长）与设计转弯行驶路程（AB的长）的差为（结果保留 $π$ ）．

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11. 如图，以AD为直径的半圆O经过Rt△ABC的斜边AB的两个端点，交直角边AC于点E．B、E是半圆弧的三等分点，弧BE的长为 $\frac{2 π}{3}$ ，则图中阴影部分的面积为．

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12. 如图，正六边形 $A B C D E F$ 的边长为2，以 $A$ 为圆心， $A C$ 的长为半径画弧，得 $\overset{⌢}{E C}$ ，连接 $A C$ ， $A E$ ，则图中阴影部分的面积为．

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13. 如图，正方形 $A B C D$ 的边长为2，以A为圆心， $A D$ 长为半径画 $\overset{⌢}{D B}$ .以D为圆心， $D A$ 长为半径画 $\overset{⌢}{A C}$ ，形成如图“杯子”样的阴影部分，则阴影部分的面积为.

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三、解答题

14. 如图， $△ A B C$ 内接于 $⊙ O ， A D ∥ B C$ 交 $⊙ O$ 于点 $D ， D F ∥ A B$ 交 $B C$ 于点 $E$ ，交 $⊙ O$ 于点 $F$ ，连结 $A F ， C F$ ．

(1)、求证： $A C = A F$ ．

(2)、若 $⊙ O$ 的半径为 $3 ， ∠ C A F = 30^{\circ}$ ，求 $\overset{⏜}{A D C}$ 的长 (结果保留 $π$ )．

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15. 如图，以等腰AABC的底边BC为直径作半圆，交AB，AC于点D，E.

(1)、证明： $\overset{⌢}{C D} = \overset{⌢}{C E}$

(2)、若∠A=60°，BC=2，求阴影部分面积.

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16. 如图1所示，草坪上的喷水装置 $P A$ 高 $1 m$ ，喷头 $P$ 一瞬间喷出的水流呈抛物线状，喷出的抛物线水流在与喷水装置 $P A$ 的水平距离为 $4 m$ 处，达到最高点 $C$ ，点 $C$ 距离地面 $\frac{25}{9} m$ ．

(1)、请建立适当的平面直角坐标系 $x O y$ ，求出该坐标系中水流所呈现的抛物线的解析式；

(2)、这个喷水装置的喷头 $P$ 能旋转 $220 °$ ，它的喷灌区域是一个扇形，如图2所示，求出它能喷灌的草坪的面积（ $π$ 取3，结果保留整数）．

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四、实践探究题

17. 综合探究
将两块三角板如图1所示放置，∠ACB＝90°，∠BAC＝45°，∠CDE＝90°，∠DCE＝30°，AC＝CD＝6．将△DCE 绕着点C顺时针旋转时CF平分∠BCD．

(1)、如图1，当CD边与CA边重合时，求∠ECF的度数；

(2)、如图2，在旋转过程中，当∠ACD＝2∠ECF时，求线段CD扫过的面积（结果保留π）；

(3)、当边CD与CB重合时停止旋转，探究∠ACD与∠ECF满足的数量关系，并说明理由．

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18.

根据背景素材，探索解决问题．

生活中的数学——自动旋转式洒水喷头如何灌溉草坪
背景素材	数学来源于生活，九4班分四个小组，开展数学项目式实践活动，获取所有数据共享，对草坪喷水管建立数学模型．草坪装有1个自动旋转式洒水喷头，灌溉园林草坪．如图1所示，观察喷头可顺、逆时针往返喷洒．

	甲小组在图2中建立合适的直角坐标系，喷水口中心O有一喷水管OA ，从A点向外喷水，喷出的水柱最外层的形状为抛物线．以水平方向为x轴，点O为原点建立平面直角坐标系，点A（喷水口）在y轴上，x轴上的点D为水柱的最外落水点．	乙小组在甲小组基础上，测量得距洒水喷头水平距离较远若干米的E处，正上方有一树枝叶F ，旋转式喷洒水柱外端刚好碰到树叶F的最低处．
	丙小组在甲小组基础上，测量得喷水口中心O到水柱的最外落水点D距离为半径，建立⊙O半径为OD的扇形平面图（图3）.
问题解决
任务1	获取数据	丁小组测量得喷头的高 $O A = \frac{2}{3}$ 米，喷水口中心点O到水柱的最外落水点D水平距离为8米，经过点 $(7, \frac{5}{4})$ ．
	解决问题	求出水柱所在抛物线的函数解析式．
任务2	获取数据	丁小组测树叶F距水平地面最低高度 $E F = \frac{13}{6}$ 米，点F在抛物线上且离水喷头水平距离较远，E在OD上，OD⊥EF ．
	解决问题	求OE的长．
任务3	推理计算	丁小组观察自动旋转式洒水喷头可顺、逆时针往返喷洒，可平面旋转角度不超过240°，求： ①这个喷头最多可洒水多少平方米？ ②在①条件下，此时DD^'的长．

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19. 数学活动课上，某小组将一个含45°的三角尺AEF和一个正方形纸板ABCD如图1摆放，若AE=1，AB=2．将三角尺AEF绕点A逆时针方向旋转α（0°≤α≤90°）角，观察图形的变化，完成探究活动．

(1)、【初步探究】
如图2，连接BE，DF并延长，延长线相交于点G，BG交AD于点M．
问题1 BE和DF的数量关系是，位置关系是．

(2)、【深入探究】
应用问题1的结论解决下面的问题．
问题2 如图3，连接BD，点O是BD的中点，连接OA，OG．求证OA=OD=OG．

(3)、【尝试应用】
问题3 如图4，请直接写出当旋转角α从0°变化到60°时，点G经过路线的长度．

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五、综合题

20. 如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC．

(1)、求证：AE=ED；

(2)、若AB=10，∠CBD=36°，求 $\overset{⌢}{A C}$ 的长．

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21. 如图所示，以平行四边形 $A B C D$ 的顶点 $A$ 为圆心， $A B$ 为半径作圆，分别交 $A D$ ， $B C$ 于点 $E$ ， $F$ ，延长 $B A$ 交 $⊙ A$ 于点 $G$ ．

(1)、求证： $\overset{⌢}{G E} = \overset{⌢}{E F}$ ；

(2)、若 $∠ C = 120 °$ ， $B G = 8$ ，求阴影部分弓形的面积．

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【培优版】浙教版数学九上3.8 弧长及扇形面积 同步练习

一、选择题

二、填空题

三、解答题

四、实践探究题

五、综合题

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