广东省深圳市南山实验教育集团麒麟中学2024-2025学年八年级上学期开学数学试卷

试卷更新日期：2024-09-27 类型：开学考试

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一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 下列运算正确的是（）

A、 $(a^{2})^{4} \div (- 2 a)^{2} = \frac{1}{4} a^{4}$ B、 $5 a^{2} \cdot a = 5 a^{3}$ C、 $. (a - 1)^{2} = a^{2} + 1$ D、 $(4 a + b) (b - 4 a) = 16 a^{2} - b^{2}$

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2. 肥皂泡膜是人眼能够分辨的最薄的东西之一，它的平均厚度约为 $700$ 纳米，已知 $1$ 纳米 $= 10^{- 9}$ 米，那么 $700$ 纳米用科学记数法可表示为（）

A、 $7 \times 10^{- 8}$ B、 $7 \times 10^{- 7}$ C、 $70 \times 10^{- 8}$ D、 $0.7 \times 10^{- 7}$

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3. 下列事件中是必然事件的是（）

A、床前明月光 B、大漠孤烟直 C、手可摘星辰 D、黄河入海流

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4. 根据下列已知条件，能够画出唯一△ABC的是（）

A、AB=5，BC=6，∠A=70° B、AB=5，BC=6，AC=13 C、∠A=50°，∠B=80°，AB=8 D、∠A=40°，∠B=50°，∠C=90°

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5. 如图，在边长为 $2$ 的正方形 $A B C D$ 中剪去一个边长为 $1$ 的小正方形 $C E F G$ ，动点 $P$ 从点 $A$ 出发，沿 $A \to D \to E \to F \to G \to B$ 的路线绕多边形的边匀速运动到点 $B$ 时停止 $($ 不含点 $A$ 和点 $B)$ ，则 $△ A B P$ 的面积 $S$ 随着时间 $t$ 变化的函数图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 如图，将一个直角三角形纸片 $A B C (∠ A C B = 90 °)$ ，沿线段 $C D$ 折叠，使点B落在 $B^{'}$ 处，若 $∠ A C B^{'} = 74 °$ ，则 $∠ A C D$ 的度数为（　　）

A、 $8 °$ B、 $9 °$ C、 $10 °$ D、 $12 °$

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7. 将一副直角三角板按如图所示摆放， $∠ E F G = 45 °$ ， $∠ M N P = 60 °$ ， $A B / / C D$ ，则下列结论不正确的是（）

A、 $G E / / P N$ B、 $∠ P N C = ∠ A F G$ C、 $∠ F M N = 150 °$ D、 $∠ M N D = ∠ P N M$

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8. 如图，△ABC的中线BD、CE相交于点O，OF⊥BC，垂足为F，且AB＝6，BC＝5，AC＝3，OF＝2，则四边形ADOE的面积是（　　）

A、9 B、6 C、5 D、3

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9. 如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形拼接而成的．已知 $B E : A E = 3 : 1$ ，正方形 $A B C D$ 的面积为80．连接 $A C$ ，交 $B E$ 于点 $P$ ，交 $D G$ 于点 $Q$ ，连接 $F Q$ ．则图中阴影部分的面积之和为（）．

A、8 B、12 C、16 D、20

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二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。

10. 已知 $2^{3} \times 8 = 4^{n}$ ，则 $n =$ ．

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11. 如图，地板上每一个小正方形除颜色外都相同，向地板上随机掷一枚石子，石子落在阴影部分的概率是．

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12. 长方形的周长为 $20 c m$ ，其中一边为 $x c m ($ 其中 $x > 0)$ ，面积为 $y c m^{2}$ ，则 $y$ 关于 $x$ 的关系式为．

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13. 如图，直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ， $l_{3}$ 分别过正方形 $A B C D$ 的三个顶点 $A$ ， $D$ ， $C$ ，且相互平行，若 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 的距离为 $1$ ， $l_{2}$ ， $l_{3}$ 的距离为 $2$ ，则正方形的面积为．

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14. 阅读材料：整体代值是数学中常用的方法．例如“已知 $3 a - b = 2$ ，求代数式 $6 a - 2 b - 1$ 的值．”可以这样解： $6 a - 2 b - 1 = 2 (3 a - b) - 1 = 2 \times 2 - 1 = 3 .$ 根据阅读材料，解决问题：若 $x = 2$ 是关于 $x$ 的一元一次方程 $a x + b = 3$ 的解，则代数式 $4 a^{2} + 4 a b + b^{2} + 4 a + 2 b - 1$ 的值是．

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三、解答题：本题共7小题，共55分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15. 计算：
$(1) (- 3 x y^{2})^{2} \cdot (- 6 x^{2} y) \div (9 x^{4} y^{5})$ ；
$(2) 899 \times 901 + 1 ($ 简便运算 $)$ ；
$(3) - 1^{2021} - | - 2^{3} | - (2020 - π)^{0} + (- \frac{1}{2})^{- 3}$ ；
$(4) (a + 2 b + 1) (a + 2 b - 1)$ ．

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16. 先化简，再求值： $[(2 a + b)^{2} - (2 a + b) (2 a - b)] \div (- \frac{1}{2} b)$ ，其中 $a = 1$ ， $b = 2$ ．

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17. 如图所示，已知锐角∠AOB及一点P．

(1)、过点P作OA、OB的垂线，垂足分别是M、N；（只作图，保留作图痕迹，不写作法）

(2)、猜想∠MPN与∠AOB之间的关系，并证明．

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18. 如图，在一条笔直的东西方向的公路上有A、B两地，相距500米，且离公路不远处有一块山地C需要开发，已知C与A地的距离为300米，与B地的距离为400米，在施工过程中需要实施爆破，为了安全起见，爆破点C周围半径260米范围内不得进入．

(1)、山地C距离公路的垂直距离为多少米？

(2)、在进行爆破时， A、B两地之间的公路是否有危险需要暂时封锁？若需要封锁，请求出需要封锁的公路长．

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19. 小南一家到某度假村度假．小南和妈妈坐公交车先出发，爸爸自驾车沿着相同的道路后出发．爸爸到达度假村后，发现忘了东西在家里，于是立即返回家里取，取到东西后又马上驾车前往度假村（取东西的时间忽略不计）．如下图是他们离家的距离s（km）与小南离家的时间t（h）的关系图．请根据图回答下列问题：

(1)、图中的自变量是，因变量是，小南家到该度假村的距离是km．

(2)、小南出发小时后爸爸驾车出发，爸爸驾车的平均速度为km/h，图中点A表示．

(3)、小南从家到度假村的路途中，当他与爸爸相遇时，离家的距离约是km．

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20. 如果一个三角形被一条线段分割成两个等腰三角形，那么这种分割叫做等腰分割，这条线段称为这个三角形的等腰分割线．如图1，当△ABD和△ACD为等腰三角形时，AD为△ABC的等腰分割线．

(1)、如图2，△ABC中，∠B＝2∠C ，线段AC的垂直平分线ED交AC于点D ，交BC于点E ．求证：AE是△ABC的一条等腰分割线．

(2)、如图3，在△ABC中，∠A＝120°，∠B＝20°，∠C＝40°，请你用两种不同的方法完成△ABC的等腰分割，并直接写出每种分割之后两个等腰三角形的顶角度数．

(3)、在△ABC中，AD为△ABC的等腰分割线，且AD＝BD ， ∠C＝30°，请直接写出∠B的度数．

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21.

(1)、问题发现：如图1，△ABC和△DCE均为等边三角形，当△DCA旋转至点A ， D ， E在同一直线上，连接BE ，易证△BCE≌△ACD ，则
①线段AD、BE之间的数量关系是；
②∠BEC＝；

(2)、拓展研究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°，点A ， D ， E在同一直线上，若AE＝15，DE＝7，求AB的长度；

(3)、探究发现：如图3，点P为等边三角形ABC内一点，且∠BPC＝150°，∠DPB＝30°，BP＝6，CP＝4，DP＝8，求AD的长．

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