广东省深圳市罗湖区桂园中学2024-2025学年九年级上学期开学数学试卷

试卷更新日期：2024-09-27 类型：开学考试

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一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 下列不等式变形正确的是（）

A、若 $a < b$ ，则 $a - 3 < b - 3$ B、若 $- \frac{1}{2} a < 3$ ，则 $a < - 6$ C、若 $a > b$ ，则 $3 - 2 a > 3 - 2 b$ D、若 $a < b$ ，则 $a c^{2} < b c^{2}$

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3. 关于 $x$ 的不等式 $x - 1 > 0$ ，则 $x$ 的解集在数轴上可表示为（）

A、 B、 C、 D、

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4. 若分式 $\frac{x}{| x | - 1}$ 无意义，则 $X$ 的值是（）

A、 $0$ B、 $1$ C、 $- 1$ D、 $\pm 1$

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5. 若 $m$ 等于它的倒数，则分式 $\frac{m^{2} - 4}{m - 2} \div \frac{m - 3}{m^{2} - 3 m}$ 的值为（）

A、 $- 1$ B、 $3$ C、 $- 1$ 或 $3$ D、 $- \frac{1}{4}$

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6. 若一个多边形的外角和是它内角和的 $\frac{1}{2}$ ，则这个多边形是（）

A、五边形 B、六边形 C、七边形 D、八边形

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7. 下列说法正确的是（）

A、对角线相等的四边形是矩形 B、对角线互相垂直的四边形是菱形 C、对角线相等的平行四边形是矩形 D、对角线互相平分的四边形是菱形

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8. 如图，平行四边形 $A B C D$ 中， $∠ B = 60 ° . G$ 是 $C D$ 的中点， $E$ 是边 $A D$ 上的动点， $E G$ 的延长线与 $B C$ 的延长线交于点 $F$ ，连结 $C E$ ， $D F$ ，下列说法不正确的是（）

A、四边形 $C E D F$ 是平行四边形 B、当 $C E ⊥ A D$ 时，四边形 $C E D F$ 是矩形 C、当 $∠ A E C = 120 °$ 时，四边形 $C E D F$ 是菱形 D、当 $A E = E D$ 时，四边形 $C E D F$ 是菱形

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9. 如图，在平面直角坐标系中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为(-3，0)，(2，0)，点D在y轴上，则点C的坐标是（）

A、(5，4) B、(4，5) C、(4，4) D、(5，3)

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10. 如图，菱形 $A B C D$ 和菱形 $E C G F$ 的边长分别为 $2$ 和 $3$ ， $∠ A = 120 °$ ，则图中阴影部分的面积是（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $\frac{9}{4} \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$

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二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。

11. 因式分解：a³-2a²b+ab²=。

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12. 对于实数 $a$ 、 $b$ ，定义一种新运算“ $\otimes$ ”为： $a \otimes b = \frac{2}{a - b}$ ，这里等式右边是通常的实数运算 $.$ 例如： $1 \otimes 4 = \frac{2}{1 - 4} = - \frac{2}{3}$ ，则方程 $x \otimes 1 = \frac{6}{x - 1} - 1$ 的解是．

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13. 如图，在平面直角坐标系中，函数 $y = 2 x$ 与 $y = k x + b (k < 0)$ 的图象交于点 $P (m, 2)$ ，则不等式 $k x + b > 2 x$ 的解集为．

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14. 如图，四边形 $A B C D$ 中， $∠ A = 90 °$ ， $A B = 2 \sqrt{3}$ ， $A D = 2$ ，点 $M ， N$ 分别为线段 $B C ， A B$ 上的动点（含端点，但点 $M$ 不与点 $B$ 重合），点 $E ， F$ 分别为 $D M ， M N$ 的中点，则 $E F$ 长度的最大值为．

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15. 如图，已知菱形 $A B C D$ 的边长2， $∠ A = 60 °$ ，点E、F分别在边 $A B$ 、 $A D$ 上，若将 $△ A E F$ 沿直线 $E F$ 折叠，使得点A恰好落在 $C D$ 边的中点G处，则 $E F =$ ．

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三、计算题：本大题共1小题，共6分。

16. 解方程： $\frac{x - 2}{x + 2} - \frac{16}{x^{2} - 4} = 1$

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四、解答题：本题共6小题，共49分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17. 解不等式组 $\{\begin{array}{l} 3 (x + 2) < x + 4 \\ \frac{x}{3} \geq \frac{x + 1}{4} \end{array}$ ，并在数轴上表示不等式组的解集．

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18. 先化简，再求值： $(x - 1 - \frac{3 x - 3}{x + 1}) \div \frac{x^{2} - x}{x + 1}$ ，其中 $x$ 是不等式组的整数解 $\{\begin{array}{l} 2 - x \leq 1 \\ 2 x - 4 < 1 \end{array}$ 的整数解．

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19. △ABC在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示．

⑴作△ABC关于点C成中心对称的△A₁B₁C₁ ．

⑵将△A₁B₁C₁向右平移4个单位，作出平移后的△A₂B₂C₂ ．

⑶在x轴上求作一点P ，使PA₁＋PC₂的值最小，并写出点P的坐标（不写解答过程，直接写出结果）

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20. 如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，连接ED并延长至点F，使DF＝DE，连接AF，BF，BE.

(1)、求证：△ADE≌△BDF.

(2)、若∠ABE＝∠CBE，求证：四边形AFBE是矩形.

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21. 随着人们“环保低碳，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商家带来商机．某自行车商行经营的A型自行车去年销售总额为10万元．今年该型自行车每辆售价预计比去年降低180元．若该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少10%，求：

(1)、A型自行车去年每辆售价多少元？

(2)、该车行今年计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍．已知，A型车和B型车的进货价格分别为1500元和1800元，计划B型车销售价格为2300元，应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多？

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22. 如图 $1$ ，在 $R t △ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ A = 90 °$ ，点 $D$ 、 $E$ 分别在边 $A B$ 、 $A C$ 上， $A D = A E$ ，连结 $D C$ ，点 $M$ 、 $P$ 、 $N$ 分别为 $D E$ 、 $D C$ 、 $B C$ 的中点．

(1)、观察猜想：
图 $1$ 中，线段 $P M$ 与 $P N$ 的数量关系是，位置关系是；

(2)、探究证明：
把 $△ A D E$ 绕点 $A$ 逆时针方向旋转到图 $2$ 的位置，连结 $M N$ ，判断 $△ P M N$ 的形状，并说明理由；

(3)、拓展延伸：
把 $△ A D E$ 绕点 $A$ 在平面内自由旋转，若 $D E = 2$ ， $B C = 4$ ，请直接写出 $△ P M N$ 面积的最大值．

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