广东省深圳市福田区华富中学2024-2025学年九年级上学期开学数学试卷

试卷更新日期：2024-09-27 类型：开学考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 已知 $a < b$ ，下列式子一定成立的是（）

A、 $a - 1 > b - 1$ B、 $a c < b c$ C、 $\frac{a}{3} < \frac{b}{3}$ D、 $3 - a < 3 - b$

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3. 等腰三角形的一个角是 $80 °$ ，它的底角度数为（）

A、 $100 °$ B、 $50 °$ C、 $100 °$ 或 $50 °$ D、 $80 °$ 或 $50 °$

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4. 若一个多边形的外角和与它的内角和相等，则这个多边形是 $（）$ 边形．

A、三 B、四 C、五 D、六

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5. 下列命题中，假命题的是（　　）

A、矩形的对角线相等 B、平行四边形的对角线互相平分 C、对角线互相垂直平分的四边形是菱形 D、对角线相等且互相垂直的四边形是正方形

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6. 某农场开挖一条长 $480$ 米的渠道，开工后每天比原计划多挖 $20$ 米，结果提前 $4$ 天完成任务，若设原计划每天挖 $x$ 米，那么下列方程中正确的是（）

A、 $\frac{480}{x - 20} - \frac{480}{x} = 4$ B、 $\frac{480}{x} - \frac{480}{x + 4} = 20$ C、 $\frac{480}{x} - \frac{480}{x + 20} = 4$ D、 $\frac{480}{x - 4} - \frac{480}{x} = 20$

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7. 如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，如：因为 $16 = 5^{2} - 3^{2}$ ，所以 $16$ 就是一个“智慧数”，下面 $4$ 个数中不是“智慧数”的是（）

A、 $2021$ B、 $2022$ C、 $2023$ D、 $2024$

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8. 已知， $△ A B C$ 中， $A C = B C$ ， $∠ A C B = 90 °$ ， $C D$ 为边 $A B$ 上的中线，若 $E$ 是线段 $C A$ 上任意一点， $D F ⊥ D E$ ，交直线 $B C$ 于 $F$ 点 $. G$ 为 $E F$ 的中点，连接 $C G$ 并延长交直线 $A B$ 于点 $H .$ 若 $A E = 6$ ， $C H = 10$ ，则 $C E$ 的长为（）

A、 $7$ B、 $8$ C、 $9$ D、 $10$

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二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。

9. 因式分解： $a x^{2} + 4 a x + 4 a =$ ．

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10. 如图，已知一次函数 $y = k x + 3$ 和 $y = - x + b$ 的图象交于点 $P (2,4)$ ，则关于 $x$ 的不等式 $k x + 3 > - x + b$ 的解是．

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11. 如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD＝BC，∠EPF＝140°，则∠EFP的度数是

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12. 如图，在 $▱ A B C D$ 中，小平行四边形沿对角线 $A C$ 平移两次就到了图中的位置（阴影部分），若小平行四边形的面积是2，则 $▱ A B C D$ 面积是．

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13. 如图在 $△ A B C$ 中， $∠ B = ∠ C$ ， $∠ B A C = 52 °$ ，点 $D$ 为 $A B$ 的中点，且 $O D ⊥ A B$ ， $∠ B A C$ 的平分线与 $A B$ 的垂直平分线交于点 $O$ ，将 $∠ C$ 沿 $E F (E$ 在 $B C$ 上， $F$ 在 $A C$ 上 $)$ 折叠，点 $C$ 与点 $O$ 恰好重合，则 $∠ O E C$ 的度数是．

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三、解答题：本题共7小题，共61分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

14. 计算

(1)、解不等式组： $\{\begin{array}{l} 2 x - 1 > x ① \\ \frac{x - 1}{3} \leq 1 ② \end{array}$ ．

(2)、解分式方程： $\frac{x}{2 x - 5} + \frac{5}{5 - 2 x} = 1$ ．

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15. 化简： $(\frac{x + 2}{x^{2} - 2 x} - \frac{x - 1}{x^{2} - 4 x + 4}) \div \frac{x^{2} - 16}{x^{2} + 4 x}$ ，并从 $1$ ， $2$ ， $3$ 中选择一个合适的数代入求值．

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16. 如图，在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 的位置如图所示 $($ 每个小方格都是边长为 $1$ 个单位长度的正方形 $)$ ， $△ A B C$ 和 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 关于点 $D$ 成中心对称．
⑴画出对称中心 $D$ ，并写出点 $D$ 的坐标；
⑵画出 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 绕点 $O$ 逆时针旋转 $90 °$ 后的 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ 并标明对应字母；
⑶画出与 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 关于点 $O$ 成中心对称的 $△ A_{3} B_{3} C_{3}$ 并标明对应字母．

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17. 在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， E、F分别是 $B C$ 、 $A C$ 的中点，延长 $B A$ 到点D，使 $A B = 2 A D$ ，连接 $D E$ 、 $D F$ 、 $A E$ 、 $E F$ ， $A F$ 与 $D E$ 交于点O．

(1)、试说明 $A F$ 与 $D E$ 互相平分；

(2)、若 $A B = 8 ， B C = 12$ ，求 $D O$ 的长．

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18. 某校在商场购进A ， B两种品牌的篮球，购买A品牌篮球花费了2500元，购买B品牌篮球花费了2000元，且购买A品牌篮球的数量是购买B品牌篮球数量的2倍，已知购买一个B品牌篮球比购买一个A品牌篮球多花30元．

(1)、问购买一个A品牌，一个B品牌的篮球各需多少元？

(2)、该校决定再次购进A ， B两种品牌篮球共50个，恰逢商场对两种品牌篮球的售价进行调整，A品牌篮球售价比第一次购买时提高了 $8 %$ ， B品牌篮球按第一次购买时售价的9折出售，如果该校此次购买A ， B两种品牌篮球的总费用不超过3060元，那么该校此次最多可购买多少个B品牌篮球？

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19. 定义：若分式 $A$ 与分式 $B$ 的和等于它们的积，即 $A + B = A B$ ，则称分式 $A$ 与分式 $B$ 互为“等和积分式” $.$ 如 $\frac{2}{1 + x}$ 与 $\frac{2}{1 - x}$ ，因为 $\frac{2}{1 + x} + \frac{2}{1 - x} = \frac{4}{(1 + x) (1 - x)} = \frac{2}{1 + x} \cdot \frac{2}{1 - x} .$ 所以 $\frac{2}{1 + x}$ 与 $\frac{2}{1 - x}$ 互为“等和积分式”，其中一个分式是另外一个分式的“等和积分式” $.$ 又如求 $\frac{1}{a}$ 的等和积分式，可设其为 $B$ ，由定义有 $\frac{1}{a} + B = \frac{1}{a} \cdot B$ ，去分母得 $1 + a \cdot B = B$ ，解得 $B = \frac{1}{1 - a} .$ 解答以下问题：

(1)、判断分式 $\frac{2 a}{a + 1}$ 与分式 $\frac{2 a}{a - 1}$ 是不是等和积分式，说明理由；

(2)、求分式 $\frac{x}{x - 3 y}$ 的“等和积分式”；

(3)、 $①$ 观察 $(1) (2)$ 的结果，寻找规律，直接写出分式 $\frac{b}{a}$ 的“等和积分式” ▲ ；
$②$ 用发现的规律解决问题：
若 $\frac{m - 1}{n x + 2 x}$ 与 $\frac{n + 1}{2 m - m x}$ 互为“等和积分式”，求实数 $m$ ， $n$ 的值．

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20. 【课本再现】

(1)、如图 $1$ ，正方形 $A B C D$ 的对角线相交于点 $O$ ，点 $O$ 又是正方形 $A_{1} B_{1} C_{1} O$ 的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为 $1$ ，四边形 $O E B F$ 为两个正方形重叠部分，正方形 $A_{1} B_{1} C_{1} O$ 可绕点 $O$ 转动 $.$ 则下列结论正确的是 $($ 填序号即可 $)$ ．
$① △ A E O$ ≌ $△ B F O$ ；
$② O E = O F$ ；
$③$ 四边形 $O E B F$ 的面积总等于 $\frac{1}{4}$ ；
$④$ 连接 $E F$ ，总有 $A E^{2} + C F^{2} = E F^{2}$ ．

(2)、【类比迁移】
如图 $2$ ，矩形 $A B C D$ 的中心 $O$ 是矩形 $A_{1} B_{1} C_{1} O$ 的一个顶点， $A_{1} O$ 与边 $A B$ 相交于点 $E$ ， $C_{1} O$ 与边 $C B$ 相交于点 $F$ ，连接 $E F$ ，矩形 $A_{1} B_{1} C_{1} O$ 可绕着点 $O$ 旋转，猜想 $A E$ ， $C F$ ， $E F$ 之间的数量关系，并进行证明；

(3)、【拓展应用】
如图 $3$ ，在 $R t △ A C B$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 3 c m$ ， $B C = 4 c m$ ，直角 $∠ E D F$ 的顶点 $D$ 在边 $A B$ 的中点处，它的两条边 $D E$ 和 $D F$ 分别与直线 $A C$ ， $B C$ 相交于点 $E$ ， $F$ ， $∠ E D F$ 可绕着点 $D$ 旋转，当 $A E = 2 c m$ 时，求线段 $E F$ 的长度．

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