广东省深圳市罗湖区翠园东晓中学2024-2025学年九年级上学期开学考数学试题

试卷更新日期：2024-09-19 类型：开学考试

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一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）

1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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2. 实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是（　　）

A、 $a > b$ B、 $a + b < 0$ C、 $| a | < | b |$ D、 $a + b > 0$

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3. 下列运算中，正确的是（　　）

A、 $a^{6} \div a^{3} = a^{2}$ B、 ${(n m^{2})}^{3} = n^{3} m^{5}$ C、 $x \cdot x^{3} = x^{4}$ D、 ${(x + 1)}^{2} = x^{2} + 1$

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4. 某班级开展“好书伴成长”读书活动，统计了1至7月份该班同学每月阅读课外书的数量，绘制了折线统计图，下列说法正确的是（　　）

A、每月阅读课外书本数的众数是58本 B、每月阅读课外书本数的中位数是45本 C、从2到6月份阅读课外书的本数逐月下降 D、从1到7月份每月阅读课外书本数的极差是45

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5. 如图，在等边三角形ABC中， $A D ⊥ B C$ ，垂足为D，点E在线段AD上， $∠ E B C = 45 °$ ，则 $∠ A C E$ 等于（）

A、18° B、20° C、30° D、15°

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6. 在 $▱ A B C D$ 中，用尺规作图作等腰 $△ A B E$ ，下列作图正确的是（）

A、 $① ②$ B、 $① ③$ C、 $② ③$ D、 $① ② ③$

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7. 植树节的起源可以追溯到中国古代“孟春之月，盛德在木”的传统观念，这体现了古人对树木的深深敬仰.2024年4月3日上午，习近平总书记参加首都义务植树活动，和少先队员一起植树，说道：“愿小朋友们像小树苗一样，都能长成中华民族的参天大树．”某校在“植树节”期间带领学生开展植树活动，甲、乙两班同时开始植树，甲班比乙班每小时多植4棵树，植树活动结束时，甲、乙两班同时停止植树，甲班共植80棵树，乙班共植60棵树．设乙班每小时植x棵树，依题意可列方程为（）

A、 $\frac{80}{x + 4} = \frac{60}{x}$ B、 $\frac{80}{x - 4} = \frac{60}{x}$ C、 $\frac{80}{x} = \frac{60}{x - 4}$ D、 $\frac{80}{x + 4} = \frac{60}{x - 4}$

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8. 如图， $A D$ 、 $B E$ 分别是 $△ A B C$ 的中线和角平分线， $A D ⊥ B E$ ， $A D = B E = 6$ ，则 $A C$ 的长为（）

A、 $3 \sqrt{5}$ B、 $\frac{3 \sqrt{5}}{2}$ C、 $9 \sqrt{5}$ D、 $\frac{9 \sqrt{5}}{2}$

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二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

9. 因式分解： $a b^{2} - 4 a$ =.

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10. 如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，点 $D 、 E 、 F$ 分别是 $A B 、 A C 、 B C$ 的中点，若 $C D = 10$ ，则 $E F$ 的长为．

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11. 如图，在 $△ A B C$ 中，以点A为圆心， $A C$ 的长为半径作圆弧交 $B C$ 于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于 $\frac{1}{2} B D$ 的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，连接 $M N$ 交 $A B$ 于点E．若 $A B = 9 ， A C = 7$ ，则 $△ A D E$ 的周长为．

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12. 如图，直线y=x+2与直线y=ax+c相交于点P（m，3），则关于x的不等式x+2≤ax+c的解集为．

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13. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C A B = 120 °$ ， $A C = 2$ ，点P为直线 $B C$ 上一个动点，以 $A P$ 为对称轴折叠． $△ A P C$ 得到 $△ A P Q$ ，点C的对应点为点Q，当以A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形时， $A B$ 的长为．

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三、解答题（本题共7小题，其中第14题5分，第15题7分，第16题8分，第17题8 分，第18题9分，第19题12分，第20题12分，共61分）

14. 计算： $\sqrt[3]{8} - 2 \times (- 3) + {(- 1)}^{2024} - {(π - 3.14)}^{0}$

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15. 先化简，再求值： $(2 - \frac{x}{x - 2}) \div \frac{x^{2} - 16}{x^{2} - 2 x}$ ，其中 $x = 1$ ．

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16. 当今社会提倡全民健康与体育运动，提高公民身体素质．某校为了解九年级共480名同学身体素质情况，对他们进行了体能测试，现随机抽取甲、乙两班各15名同学的测试成绩（满分100分）进行整理分析，过程如下：
【收集数据】
甲班15名学生体能测试成绩分别为78，83，89，97，98，85，100，94，87，90，93，92，99，95，100．
乙班15名学生体能测试成绩中 $90 \leq x < 95$ 的成绩如下：90，91，92，93，94．
【整理数据】
班级
$75 \leq x < 80$
$80 \leq x < 85$
$85 \leq x < 90$
$90 \leq x < 95$
$95 \leq x \leq 100$
甲
1
1
3
4
6
乙
1
2
3
5
4
【分析数据】
班级
平均数
众数
中位数
方差
甲
92
a
93
47.3
乙
90
87
b
50.2
【应用数据】

(1)、根据以上信息，求a和b的值．

(2)、若规定测试成绩90分及以上为优秀，请估计参加体能测试的480名学生中成绩为优秀的学生共有多少人．

(3)、根据以上数据，你认为哪个班的学生体能测试的整体成绩较好？请说明理由（一条即可）．

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17. 根据以下素材，探索完成任务1和任务2：

主题：奶茶销售方案制定问题
年轻人喜欢喝奶茶，入夏之际某知名奶茶品牌店推出两款爆款水果茶“满杯杨梅”和“芝士杨梅”．
素材1	两款奶茶配料表如下：
	芝士杨梅	配料
	19元/杯	芝士 $100 ml$ /杯
		茉莉清茶 $400 m l$ /杯
		杨梅肉
		多肉

	满杯杨梅	配料
	17元/杯	茉莉清茶 $500 ml$ /杯
		杨梅肉
		多肉
素材2	9月2日当天销售“芝士杨梅”共获利润400元，“满杯杨梅”共获利润480元，其中每杯“芝士杨梅”的利润是每杯“满杯杨梅”的 $\frac{5}{4}$ 倍，“满杯杨梅”比“芝士杨梅”多卖20杯．
素材3	由于芝士保质期将至，为了去库存，9月3日决定对“芝士杨梅”每杯降价4元促销，并要求当天芝士消耗量不少于 $3500 m l$ ，配制的 $17500 m l$ 茉莉清茶全部用于制作“芝士杨梅”和“满杯杨梅”．
问题解决
任务1	确定奶茶的利润	每杯“芝士杨梅”和“满杯杨梅”的利润是多少？
任务2	拟定最优方案	为了使9月3日这两种奶茶获利最大，需制做“芝士杨梅”和“满杯杨梅”共多少杯？

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18. 如图，在△ABC中，点D、E分别是边BC、AC的中点，过点A作AF∥BC交DE的延长线于F点，连接AD、CF，过点D作DG⊥CF于点G．

(1)、求证：四边形ADCF是平行四边形：

(2)、若AB=3，BC=5，若四边形ADCF是菱形，求DG的值．

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19. 阅读理解：对于线段 $M N$ 和点 $Q$ ，定义：若 $Q M = Q N$ ，则称点 $Q$ 为线段 $M N$ 的“等距点”；特别地，若 $∠ M Q N = 90 °$ ，则称点 $Q$ 是线段 $M N$ 的“完美等距点”．
解决问题：如图，在平面直角坐标系中， $O$ 为坐标原点，点 $A$ 的坐标为 $(4, 0)$ ，点 $P (m, n)$ 是直线 $y = - \frac{1}{2} x$ 上一动点．

(1)、已知3个点： $B (2, - 3) 、 C (2, - 2) 、 D (- 2, 2)$ ，则这三点中，可以做线段 $O A$ 的“等距点”是，线段 $O A$ 的“完美等距点”是；

(2)、若坐标原点O为线段AP的“等距点”，求出点P的坐标；

(3)、若 $O P = \sqrt{5}$ ，点 $H$ 在 $y$ 轴上，且 $H$ 是线段 $A P$ 的“等距点”，求点 $H$ 的坐标；

(4)、当 $m > 0$ ，是否存在这样的点 $N$ ，使点 $N$ 是线段 $O A$ 的“等距点”，也是线段 $O P$ 的“完美等距点”，请直接写出所有这样的点P的坐标．

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20. 【综合与实践】
【问题背景】几何学的产生，源于人们对土地面积测量的需要，可以说几何学从一开始便与面积结下了不解之缘．我们已经掌握了平行四边形面积的求法，但是一般四边形的面积往往不易求得，那么我们能否将其转化为平行四边形来求呢？
【问题解决】下面是两位同学的转化方法：
方法1：如图1，连接四边形 $A B C D$ 的对角线 $A C, B D$ ，分别过四边形 $A B C D$ 的四个顶点作对角线的平行线，所作四条线相交形成四边形 $E F G H$ ，易证四边形 $E F G H$ 是平行四边形．
（1）请直接写出 $S_{四边形 A B C D}$ 和 $S_{四边形 E F G H}$ 之间的数量关系：______．
方法2：如图2，取四边形 $A B C D$ 四边的中点 $E$ ， $F$ ， $G$ ， $H$ ，连接 $E F$ ， $F G$ ， $G H$ ， $H E$ ，可以得出 $S_{四边形 A B C D} = 2 S_{四边形 E F G H}$ ．
（2）求证：四边形 $E F G H$ 是平行四边形；
【实践应用】如图3，某村有一个四边形池塘，它的四个顶点 $A, B, C, D$ 处均有一棵大树，村里准备开挖池塘建鱼塘，想使池塘的面积扩大一倍，又想保持大树不动，并要求扩建后的池塘成平行四边形的形状．
（3）请问能否实现这一设想？若能，请你画出你设计的图形；若不能，请说明理由．
（4）已知，在四边形池塘 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 与 $B D$ 交于点 $O$ ． $A C = 8 cm$ ， $B D = 6 cm$ ， $∠ A O B = 60 °$ ，则求四边形池塘 $A B C D$ 的面积．

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班级	$75 \leq x < 80$	$80 \leq x < 85$	$85 \leq x < 90$	$90 \leq x < 95$	$95 \leq x \leq 100$
甲	1	1	3	4	6
乙	1	2	3	5	4

班级	平均数	众数	中位数	方差
甲	92	a	93	47.3
乙	90	87	b	50.2