广东省东莞市东华初级中学2023-2024学年九年级上学期期中模拟数学试题

试卷更新日期：2023-11-08 类型：期中考试

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一、选择题(每小题3分，共30分)

1. 下列图形是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + (m - 2) x + m + 1 = 0$ 有两个相等的实数根，则 $m$ 的值是（）

A、 $4 \pm \sqrt{2}$ B、8 C、0 D、0或8

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3. 在同一平面直角坐标系内，一次函数 $y = a x + b$ 与二次函数 $y = a x^{2} + 5 x + b$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 关于x的一元二次方程 $x^{2} + (k - 3) x + 1 - k = 0$ 根的情况，下列说法正确的是（）

A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、无实数根 D、无法确定

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5. 抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 经过点 $(- 1 ， 0)$ 、 $(3 ， 0)$ ，且与y轴交于点 $(0 ， - 5)$ ，则当 $x = 2$ 时，y的值为（）

A、 $- 5$ B、 $- 3$ C、 $- 1$ D、5

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6. 如图，四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ， $F$ 是 $C D$ 上一点，且 $\overset{⌢}{B F} = \overset{⌢}{C D}$ ，连接 $C F$ 并延长交 $A D$ 的延长线于点 $E$ ，连接 $A C$ ，若 $∠ A B C = 105 °$ ， $∠ B A C = 25 °$ ，则 $∠ E$ 的度数为（）

A、 $40 °$ B、 $45 °$ C、 $50 °$ D、 $55 °$

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7. 将含有30°角的直角三角板OAB如图放置在平面直角坐标中，OB在x轴上，若OA＝2，将三角板绕原点O顺时针旋转75°，则点A的对应点A^'的坐标为（　　）

A、（ $\sqrt{3}$ ， 1） B、（1，﹣ $\sqrt{3}$ ） C、（ $\sqrt{2}$ ， ﹣ $\sqrt{2}$ ） D、（﹣ $\sqrt{2}$ ， $\sqrt{2}$ ）

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8. 某病毒人传人，3人感染病毒后如果不隔离，那么经过两轮传染将会有 $75$ 人感染，假设每轮每人传染的人数相同.则每轮每人传染的人数为（）

A、4人 B、5人 C、6人 D、7人

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9. 若m、n（n＜m）是关于x的一元二次方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）=0的两个根，且b＜a，则m，n，b，a的大小关系是
（）

A、m＜a＜b＜n B、a＜m＜n＜b C、b＜n＜m＜a D、n＜b＜a＜m

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10. 已知二次函数 $y = x^{2} + (m - 1) x + 1$ ，当x＞1时，y随x的增大而增大，而m的取值范围是（）

A、 $m = - 1$ B、 $m = 3$ C、 $m \leq - 1$ D、 $m \geq - 1$

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二、填空题(每小题4分，共 28分)

11. 若关于x 的一元二次方程 $(m - 1) x^{2} - x + m^{2} - 3 m + 2 = 0$ 有一个解是 $x = 0 ，$ 则 $m$ 的值是．

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12. 如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上， $∠ A O B = ∠ B = 30 °$ ， $O A = 2$ ，将 $△ A O B$ 绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点 $B^{'}$ 的坐标是

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13. 若关于x的方程 $x^{2} + 2 m x + m^{2} + 3 m - 1 = 0$ 有两个实数根 $x_{1} 、 x_{2}$ ，则 $x_{1} (x_{2} + x_{1}) + x_{2}^{2}$ 的最小值为．

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14. 已知二次函数y＝3x²＋c的图象与正比例函数y＝4x的图象只有一个交点，则c的值为．

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15. 如图，等边三角形ABC内有一点P，分别连结AP、BP、CP，若 $A P = 6$ ， $B P = 8$ ， $CP = 10$ ．则 $S_{△ A B P} + S_{△ B P C}$ ＝．

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16. 如图，四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径，过点 $C$ 作 $C E ⊥ A D$ 交 $A D$ 的延长线于点 $E$ ，延长 $E C$ ， $A B$ 交于点 $F$ ， $∠ E C D = ∠ B C F$ ，若 $D E = 2$ ， $C D = 6$ ，则 $⊙ O$ 的半径= ．

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17. 已知关于 $x$ 的方程 $(a - 1) x^{2} + 2 x - (a + 1) = 0$ 的根都是整数，则满足条件的整数 $a$ 的值为．

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三、解答题(一)(本大题共3小题，每题6分，共 18分)

18. 解方程：

(1)、 $2 {(x - 2)}^{2} = 3 (2 - x)$ ；

(2)、 ${(2 x - 1)}^{2} + 3 (2 x - 1) + 2 = 0$ ．

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19. 关于x 的方程 $\frac{1}{4} x^{2} + (a - 2) x + a^{2} + 1 = 0$ ．

(1)、方程有两个相等的实数根，求 $a$ 的值；

(2)、方程有两个不相等的实数根，求 $a$ 的取值范围．

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20. 如图所示，已知 $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径， $C D$ 是弦，且 $A B ⊥ C D$ 于点 $E$ ．连接 $A C$ 、 $O C$ 、 $B C$ ．

(1)、若 $∠ A C O = 25 °$ ，求 $∠ B C D$ 的度数．

(2)、若 $E B = 4 cm$ ， $C D = 16 cm$ ，求 $⊙ O$ 的直径．

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四、解答题(二)(本大题共3小题，每题8分，共 24分)

21. 在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 ° ， ∠ A C B = 30 °$ ，将 $△ A B C$ 绕点C顺时针旋转一定的角度 $α$ 得到 $△ D E C$ ，点A、B的对应点分别是D、E．

(1)、当点E恰好在 $A C$ 上时，如图1，求 $∠ A D E$ 的大小；

(2)、若 $α = 60 °$ 时，点F是边 $A C$ 中点，如图2，求证：四边形 $B E D F$ 是平行四边形．

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22. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $A B = 6 \sqrt{2}$ ， M是弧 $A B$ 的中点， $O C ⊥ O D$ ， $△ C O D$ 绕点O旋转与 $△ A M B$ 的两边分别交于E、F（点E、F与点A、B、M均不重合），与 $⊙ O$ 分别交于P、Q两点．

(1)、求证： $O E = O F$ ；

(2)、连接 $P M$ 、 $Q M$ ，试探究：在 $△ C O D$ 绕点O旋转的过程中， $∠ P M Q$ 是否为定值？若是，求出 $∠ P M Q$ 的大小；若不是，请说明理由；

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23. 小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为 $y = a {(x - h)}^{2} + k$ ，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，y（m）是水柱距地面的高度．

(1)、求抛物线的表达式．

(2)、爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离．

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五、解答题(三)(本大题共2小题，每题 10分，共20分)

24. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} - (m + 1) x + \frac{1}{2} (m^{2} + 1) = 0$ 有实数根．
（1）求m的值；
（2）先作 $y = x^{2} - (m + 1) x + \frac{1}{2} (m^{2} + 1)$ 的图象关于x轴的对称图形，然后将所作图形向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，写出变化后图象的解析式；
（3）在（2）的条件下，当直线y=2x+n（n≥m）与变化后的图象有公共点时，求 $n^{2} - 4 n$ 的最大值和最小值．

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25. 如图，某跳水运动员进行10米跳台跳水训练，水面边缘点 $E (- 1.5, - 10)$ ，运动员（可视为一质点）在空中运动的路线是经过原点 $O$ 的抛物线，在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处点 $A (1, 1.25)$ ，正常情况下，运动员在距水面高度5米前必须完成规定的翻腾，打开动作，并调整好入水姿势，否则就为失误．运动员入水后，运动路线为另一条抛物线．

(1)、求该运动员在空中运动时所对应抛物线的解析式；

(2)、若运动员在空中调整好入水姿势时，人水点恰好距点 $E$ 的水平距离为5米，问该运动员此次跳水是否失误？请通过计算说明理由；

(3)、在该运动员入水点 $B$ 的正前方 $M$ ， $N$ 两点，且 $E M = 10.5$ ， $E N = 13.5$ ，该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为 $y = a {(x - h)}^{2} + k$ ，且顶点 $C$ 距水面4米．若该运动员的出水点 $D$ 在 $M N$ 之间（含 $M$ ， $N$ 两点），求 $a$ 的取值范围．

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