浙江省杭州市滨江区杭州滨和中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题

试卷更新日期：2024-01-07 类型：期中考试

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一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）

1. ⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离OA＝3cm，则点A与⊙O的位置关系为（）

A、点A在⊙O上 B、点A在⊙O内 C、点A在⊙O外 D、无法确定

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2. 下列事件中，是必然事件的是（）

A、足球运动员射门一次，球射进球门 B、随意翻开一本书，这页的页码是奇数 C、经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯 D、任意画一个三角形，其内角和是180°

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3. 已知 $\frac{a}{b} = \frac{2}{3}$ ，则下列式子中正确的是（）

A、 $a ： b = 4 ： 9$ B、 $a ： b = 4 ： 6$ C、 $a ： b = (a + 2) ： (b + 2)$ D、 $a ： b = 3 ： 2$

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4. 将抛物线y=3x²的图象向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线是（）

A、y=3(x+2)²-3 B、y=3(x+2)²-2 C、y=3(x-2)²-3 D、y=3(x-2)²-2

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5. 已知一个扇形的面积是 $24 π$ ，弧长是 $2 π$ ，则这个扇形的半径为（）

A、24 B、22 C、12 D、6

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6. 如图，△ABC的顶点A、B、C、均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC=90°，则∠AOC的大小是（）

A、30° B、45° C、60° D、70°

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7. 作⊙O的内接正六边形ABCDEF ，甲、乙两人的作法分别是：
甲：第一步：在⊙O上任取一点A ，从点A开始，以⊙O的半径为半径，在⊙O上依次截取点B ， C ， D ， E ， F ．第二步：依次连接这六个点．
乙：第一步：任作一直径AD ．第二步：分别作OA ， OD的中垂线与⊙O相交，交点从点A开始，依次为点B ， C ， E ， F ．第三步：依次连接这六个点．
对于甲、乙两人的作法，可判断（）

A、甲正确，乙错误 B、甲、乙均错误 C、甲错误，乙正确 D、甲、乙均正确

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8. 已知二次函数y=x²−2x−3的自变量x₁ ， x₂ ， x₃对应的函数值分别为y₁ ， y₂ ， y₃.当−1<x₁<0，1<x₂<2，x₃>3时，y₁ ， y₂ ， y₃三者之间的大小关系是（）

A、 $y_{1} < y_{2} < y_{3}$ B、 $y_{2} < y_{1} < y_{3}$ C、 $y_{3} < y_{1} < y_{2}$ D、 $y_{2} < y_{3} < y_{1}$

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9. 如图，四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ， $A E ⊥ C B$ 交 $C B$ 的延长线于点E，若 $B A$ 平分 $∠ D B E$ ， $A D = 7$ ， $C E = 5$ ，则 $A E =$ （）

A、3 B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $2 \sqrt{6}$ D、 $4 \sqrt{3}$

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10. 在抛物线y＝a（x﹣m﹣1）²+c（a≠0）和直线y＝﹣ $\frac{1}{2}$ x的图象上有三点（x₁ ， m）、（x₂ ， m）、（x₃ ， m），则x₁+x₂+x₃的结果是（）

A、 $- \frac{3}{2} m + \frac{1}{2}$ B、0 C、1 D、2

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二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）

11. 20瓶饮料中有2瓶已过了保质期，从20瓶饮料中任取1瓶，取到已过保质期的饮料的概率是．

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12. 已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，若AB＝2，则AC＝．

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13. 已知 $y = 2 x - 1$ ，且 $0 \leq x \leq \frac{1}{2}$ ，若 $S = x y$ ，则 $S$ 的最小值为．

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14. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C ＝ 108 °$ ，将 $△ A B C$ 绕点A按逆时针方向旋转得到 $△ A B^{'} C^{'}$ ．若点 $B^{'}$ 恰好落在 $B C$ 边上，且 $A B^{'} = C B^{'}$ ，则 $∠ C^{'}$ 的度数为．

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15. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ （a≠0）的自变量x与函数值y之间满足下列数量关系：

x

-1

3

4

y

10

10

202

则（4a-2b+c）（a-b+c）的值为．

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16. 如图， $A B$ 是半径为4的 $⊙ O$ 的弦，且 $A B = 6$ ，将 $A B$ 沿着弦 $A B$ 折叠，点C是折叠后的 $\overset{⌢}{A B}$ 上一动点，连接并延长 $B C$ 交 $⊙ O$ 于点D，点E是 $C D$ 的中点，连接 $E O$ .则 $E O$ 的最小值为．

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三、解答题（本题有8小题，共66分）

17. 四张卡片上分别标有1，2，3，4，它们除数字外没有区别，现将它们放在不透明的盒子里搅拌均匀．

(1)、任意从盒子里抽取一张卡片，将卡片上的数字记为x ，不放回，再任意抽取第二张卡片，将卡片上的数字记为y ，请你用画树状图或列表的方式表示所有可能的结果；

(2)、求出第（1）问中的点（x ， y）在函数y＝x+2图象上的概率．

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18. 如图，在 $6 \times 6$ 的正方形网格中，网格线的交点称为格点，点 $A$ ， $B$ ， $C$ 都是格点．已知每个小正方形的边长为 $1$ ．

(1)、画出 $△ A B C$ 的外接圆 $⊙ O$ ，并直接写出 $⊙ O$ 的半径：

(2)、在圆上找一个点 $P$ ，使得 $△ P A C$ 是直角三角形，且点 $P$ 在格点上．

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19. 如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC．
（1）求证：AE=ED；
（2）若AB=10，∠CBD=36°，求 $\overset{⌢}{A C}$ 的长．

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20. 如图，已知二次函数 $y = x^{2} + b x + c$ 图象经过点 $A (1, - 2)$ 和 $B (0, - 5)$ ．

(1)、求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标．

(2)、当 $y \leq - 2$ 时，请根据图象直接写出x的取值范围．

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21. 如图，AB=AC，AB为⊙O直径，AC、BC分别交⊙O于E、D，连结ED、BE．
（1）试判断DE与BD是否相等，并说明理由
（2）如果BC=6，AB=5，求BE的长．

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22. 根据以下素材，探索完成任务．

如何设计喷泉喷头的升降方案？

素材1

如图1，某景观公园内人工湖里有一个可垂直升降的喷泉，喷出的水柱呈抛物线。记水柱上某一点到喷头的水平距离为x米，到湖面的垂直高度为y米．当喷头位于起始位置时，测量得x与y的四组数据如下：

x（米）	0	2	3	4
y（米）	1	2	1.75	1

素材2

公园想设立新的游玩项目，通过升降喷头，使游船能从水柱下方通过，如图2，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于0.4米．已知游船顶棚宽度为2.8米，顶棚到湖面的高度为2米．

问题解决

任务1

确定喷泉形状

结合素材1，求y关于x的表达式．

任务2

探究喷头升降方案

为使游船按素材2要求顺利通过，求喷头距离湖面高度的最小值．

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23. 在直角坐标系中，设函数 $y = m {(x + 1)}^{2} + 4 n$ （ $m \neq 0$ ，且m，n为实数），

(1)、求函数图象的对称轴．

(2)、若mn异号，求证：函数y的图象与x轴有两个不同的交点．

(3)、已知当 $x = 0, 3, 4$ 时，对应的函数值分别为pqr，若 $2 q < p + r$ ，求证： $m < 0$ ．

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24. 如图，在 $△ A B C$ 中，D在边 $A C$ 上，圆O为锐角 $△ B C D$ 的外接圆，连接 $C O$ 并延长交 $A B$ 于点E．

(1)、若 $∠ D B C = α$ ，请用含 $α$ 的代数式表示 $∠ D C E$ ；

(2)、如图2，作 $B F ⊥ A C$ ，垂足为F， $B F$ 与 $C E$ 交于点G，已知 $∠ A B D = ∠ C B F$ ．
①求证： $E B = E G$ ；
②若 $C E = 5 ， A C = 8$ ，求 $F G + F B$ 的值．

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x	-1	3	4
y	10	10	202