浙江省浙附玉泉校区2023-2024学年高一下学期期中数学试题

试卷更新日期：2024-07-12 类型：期中考试

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一、单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目的要求.

1. 下列命题中不正确的是（）

A、圆柱､圆锥､圆台的底面都是圆面 B、正四棱锥的侧面都是正三角形 C、用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台 D、以直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，另一腰和两底边旋转一周所围成的几何体是圆台

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2. 若 $α$ 是第四象限角，则复数 $z = \sin α + i \cos α$ 在复平面内所对应的点在第几象限（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 如图，一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°的等腰梯形，已知直观图OA^'B^'C^'中， $B^{'} C^{'} = 1, O C^{'} = \sqrt{2}$ ，则该平面图形的面积为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、2 C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $4 \sqrt{2}$

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4. 在 $△ A B C$ 中，已知 $\vec{B D} = 2 \vec{D C}$ ，设 $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{A C} = \vec{b}$ ，则（）

A、 $\vec{A D} = \frac{1}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b}$ B、 $\vec{A D} = \frac{2}{3} \vec{a} - \frac{1}{3} \vec{b}$ C、 $\vec{A D} = \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b}$ D、 $\vec{A D} = \frac{1}{3} \vec{a} - \frac{2}{3} \vec{b}$

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5. 在 $△ A B C$ 中， $a = 2 \sqrt{3} ， b = 6 ， A = \frac{π}{6}$ ，则此三角形（）

A、无解 B、一解 C、两解 D、解的个数不确定

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6. 已知圆锥的母线长为3，若轴截面为等腰直角三角形，则圆锥的表面积为（）

A、 $(3 + 3 \sqrt{2}) π$ B、 $\frac{(9 + 9 \sqrt{2}) π}{2}$ C、 $(4 + 6 \sqrt{2}) π$ D、 $(6 + 6 \sqrt{2}) π$

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7. 已知 $\vec{a} = (1, 1)$ ， $\vec{b} = (- 2, 1)$ ，则 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量为（）

A、 $(- \frac{1}{2}, - \frac{1}{2})$ B、 $(- 1, - 1)$ C、 $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ D、 $(1, 1)$

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8. 在 $△ A B C$ 中， $a, b, c$ 分别为 $A, B, C$ 的对边， $O$ 为 $△ A B C$ 的外心，且有 $A B + B C = \frac{2 \sqrt{3}}{3} A C$ ， $\sin C (\cos A - \sqrt{3}) + \cos C \sin A = 0$ ，若 $\overset{⃑}{A O} = x \overset{⃑}{A B} + y \overset{⃑}{A C}$ ， $x, y \in R$ ，则 $x - y =$

A、 $- 2$ B、 $2$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $- \sqrt{3}$

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二、多项选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9. 已知向量 $\vec{a} = (- 2, 1)$ $\vec{b} = (1, t)$ ，则下列说法正确的是（　　）

A、若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则t的值为 $- 2$ B、 $|\vec{a} + \vec{b}|$ 的最小值为1 C、若 $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}|$ ，则t的值为2 D、若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为钝角，则t的取值范围是 $t < 2$

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10. 设 $z_{1}, z_{2}$ 为复数，则下列结论中正确的是（）

A、若 $\frac{1}{z_{1}}$ 为虚数，则 $z_{1}$ 也为虚数 B、若 $|z_{1} + i| = 1$ ，则 $|z_{1}|$ 的最大值为 $\sqrt{2}$ C、 $|z_{1} z_{2}| = |z_{1} \bar{z_{2}}|$ D、 $|z_{1} - z_{2}| \leq |z_{1}| + |z_{2}|$

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11. 设点O是 $△ A B C$ 所在平面内一点，则下列说法正确的是（）

A、若 $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = \vec{0}$ ，则O为 $△ A B C$ 的重心； B、若 $(\vec{O A} + \vec{O B}) \cdot \vec{A B} = (\vec{O B} + \vec{O C}) \cdot \vec{B C} = 0$ ，则O为 $△ A B C$ 的垂心； C、若 $(\frac{\vec{A B}}{| \vec{A B} |} + \frac{\vec{A C}}{| \vec{A C} |}) \cdot \vec{B C} = 0, \frac{\vec{B A}}{| \vec{B A} |} \cdot \frac{\vec{B C}}{| \vec{B C} |} = \frac{1}{2}$ ，则 $△ A B C$ 为等边三角形； D、若 $\vec{O A} + 2 \vec{O B} + 3 \vec{O C} = \vec{0}$ ，则△BOC与△ABC的面积之比为 $S_{△ B O C} : S_{△ A B C} = 1 : 6$ ．

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三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.

12. 石家庄电视塔坐落于石家庄世纪公园内，为全钢构架.电视塔以“宝石”为创造母体，上､下塔楼由九层塔身相连接，寓意登九天，象征丰厚的古文明孕育出灿烂的现代文明.如图，选取了与石家庄电视塔塔底 $O$ 在同一平面内的三个测量基点 $A, B, C$ ，且在 $A, B, C$ 处测得该塔顶点 $P$ 的仰角分别为 $\frac{π}{6}, \frac{π}{4}$ ， $\frac{π}{3}, A B = B C = \frac{280 \sqrt{6}}{3}$ 米，则石家庄电视塔的塔高 $O P$ 为米.

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13. 如图，△ABC中，AB=AC=2，BC= $2 \sqrt{3}$ ，点D 在BC边上，∠ADC=45°，则AD的长度等于．

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14. 如图所示，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，若E，F分别为AB，AC的中点，平面 $E B_{1} C_{1} F$ 将三棱柱分成两部分，其中 $V_{1}$ 是三棱台 $A E F - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积， $V_{2}$ 是多面体 $B C F E B_{1} C_{1}$ 的体积，则 $V_{1} : V_{2}$ 的值是．

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四、解答题：本题共5个小题，共77分.解答题因写出必要的过程或演算步骤.

15. 已知 $m \in R$ ， $i$ 为虚数单位，复数 $z = m - 6 + (m^{2} + 2 m - 3) i$ .

(1)、若 $z \in R$ ，求m的值；

(2)、若复数z对应的点在第三象限，求m的取值范围.

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16. 在 $△ A B C$ 中，已知 $A B = 2$ ， $A C = 6$ ， $∠ B A C = 60 °$ ， AC边上的中线为BN，M为BC边上靠近B的四等分点，连接AM交BN于点P．

(1)、用 $\vec{A B}$ 与 $\vec{A C}$ 表示 $\vec{A M}$ ，并计算AM的长；

(2)、求∠NPM的余弦值．

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17. 如图，在平面斜坐标系 $x O y$ 中， $∠ x O y = 60 °$ ，平面上任一点 $P$ 的斜坐标定义如下：若 $\vec{O P} = x \vec{e_{1}} + y \vec{e_{2}}$ （其中 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 分别为与 $x$ 轴， $y$ 轴同方向的单位向量），则点 $P$ 的斜坐标为 $(x, y)$ ．此时有 $\vec{O A} = (1, 2)$ ， $\vec{O B} = (m, 4)$ ，试在该斜坐标系下探究以下问题：

(1)、若 $m = 3$ ，求 $\vec{O A} \cdot \vec{O B}$ 的值；

(2)、求与 $\vec{O A}$ 垂直的单位向量的坐标．

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18. 已知△ABC的内角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ，且bcosC+ccosB＝2 $\sqrt{3}$ sinA ．

(1)、求△ABC外接圆的面积；

(2)、记△ABC内切圆的半径为r ，若B $= \frac{π}{3} ， b = 2 \sqrt{3}$ r ，求△ABC的面积．

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19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当 $△ A B C$ 的三个内角均小于 $120 °$ 时，使得 $∠ A O B = ∠ B O C = ∠ C O A = 120 °$ 的点 $O$ 即为费马点；当 $△ A B C$ 有一个内角大于或等于 $120 °$ 时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，

(1)、若 $c \sin C - a \sin A = (c - b) \sin B$ ，
①求 $A$ ；
②若 $b c = 2$ ，设点 $P$ 为 $△ A B C$ 的费马点，求 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} + \vec{P B} \cdot \vec{P C} + \vec{P C} \cdot \vec{P A}$ ；

(2)、若 $cos 2 B + cos 2 C - cos 2 A = 1$ ，设点 $P$ 为 $△ A B C$ 的费马点， $|P B| + |P C| = t |P A|$ ，求实数 $t$ 的最小值．

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