人教版八年级上学期数学课时进阶测试13.4最短路径（三阶）

试卷更新日期：2024-09-26 类型：同步测试

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一、选择题（3分）

1. 如图，∠AOB＝30°，M、N分别是边OA、OB上的定点，P、Q分别是边OB、OA上的动点，记∠AMP＝∠1，∠ONQ＝∠2，当MP＋PQ＋QN最小时，则关于∠1、∠2的数量关系正确的是（）

A、∠1＋∠2＝90° B、2∠1＋∠2＝180° C、∠1－∠2＝90° D、2∠2－∠1＝30°

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2. 如图，在四边形ABCD中，DA⊥AB ． DA＝6cm ， ∠B+∠C=150°，CD与BA的延长线交于E点，A刚好是EB中点，P、Q分别是线段CE、BE上的动点，则BP+PQ最小值是（）

A、12 B、15 C、16 D、18

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3. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），点Q是直线y $= \sqrt{3}$ x上的一个动点，以AQ为边，在AQ的右侧作等边△APQ，使得点P落在第一象限，连接OP，则OP+AP的最小值为（　　）

A、6 B、4 $\sqrt{3}$ C、8 D、6 $\sqrt{3}$

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4. 如图，过边长为2的等边 $△ A B C$ 的顶点C作直线 $l ⊥ B C$ ，然后作 $△ A B C$ 关于直线l对称的 $△ A^{'} B^{'} C$ ， P为线段 $A^{'} C$ 上一动点，连接 $A P$ ， $P B$ ，则 $A P + P B$ 的最小值是（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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5. 如图.在五边形ABCDE中，∠BAE＝136°，∠B＝∠E＝90°，在BC、DE上分别找一点M、N，使得△AMN的周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数为（）

A、84° B、88° C、90° D、96°

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6. 如图， $△ A B C$ 中， $A D ⊥ B C$ ，垂足为 $D ， A D = B C$ ，点 $P$ 为直线 $B C$ 上方的一个动点， $△ P B C$ 的面积等于 $△ A B C$ 的面积的 $\frac{1}{2}$ ，则当 $P B + P C$ 最小时， $∠ P B D$ 的度数为（）

A、 $30 °$ B、 $45 °$ C、 $60 °$ D、 $90 °$

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7. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A = 90 °$ ， $∠ C = 30 °$ ， $A B = 1$ ， $A C = \sqrt{3}$ ，动点P在边 $A B$ 上，点P关于 $B C$ ， $A C$ 的对称点分别为点E，F，连接 $E F$ ，交 $A C$ ， $B C$ 分别为点M，N.
甲：我发现线段 $E F$ 的最大值为2，最小值为 $\sqrt{3}$ ；
乙：我连接 $P M$ ， $P N$ ，发现 $△ P M N$ 一定为钝角三角形.
则下列判断正确的是（）

A、甲对乙对 B、甲对乙错 C、甲错乙对 D、甲错乙错

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8. 如图所示，在四边形ABCD中， $A D = 2$ ， $∠ A = ∠ D = 90 °$ ， $∠ B = 60 °$ ， $B C = 2 C D$ ，在AD上找一点P，使 $P C + P B$ 的值最小；则 $P C + P B$ 的最小值为（）

A、4 B、3 C、5 D、6

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二、填空题（3分）

9. 如图，边长为2的等边 $△ A B C$ 中， $A D$ 是边 $B C$ 上的中线，点E在 $A D$ 上，连接 $C E$ ，在 $A C$ 的下方作等边 $△ C E F$ ，连接 $D F$ ，则 $△ C D F$ 周长的最小值是．

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10. 如图，△ABC和△DCE都是边长为6的等边三角形，且点B、C、E在同一条直线上，点P是CD边上的一个动点，连接AP，BP，则AP+BP的最小值为.

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11. 点A、B均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点上，建立平面直角坐标系如图所示.若P是 $x$ 轴上使得∣PA—PB∣的值最大的点，Q是y轴上使得QA+QB的值最小的点，则OP·OQ=.

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12. 如图，矩形ABCD中，AB=2，AD=3，点E、F分别AD、DC边上的点，且EF=2，点G为EF的中点，点P为BC上一动点，则PA+PG的最小值为．

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13. 如图，四边形ABCD中，∠BAD=110°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为．

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三、解答题

14. 如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ A = 60 °$ ， $A C = 4$ ， $C D$ 平分 $∠ A C B$ ，交边 $A B$ 于点 $D$ ，点 $E$ 是边 $A B$ 的中点．点 $P$ 为边 $C B$ 上的一个动点．


(1)、 $∠ A C D =$ 　        　°， $A E =$ 　     　；

(2)、若 $△ C P D$ 是等腰三角形，求 $∠ C P D$ 的度数；

(3)、若点M在线段 $C D$ 上，连接 $M P$ 、 $M E$ ，则 $M P + M E$ 的值最小时 $C P =$ 　     　．

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四、实践探究题

15. 如图

(1)、问题背景如图（1），在 $△ A B C$ 中， $A D$ 是角平分线．求证： $S_{△ A B D} ： S_{△ A C D} = A B ： A C = D B ： D C$ ；

(2)、在 $△ A B C$ 中， $C A = C B$ ， $∠ A C B = α$ ， $A D$ 是角平分线， $B D = m$ ， $C D = n$ ．
①应用探究如图（2），若 $α = 108 °$ ，求证： $m^{2} - n^{2} = m n$ ；
②迁移拓展如图（3），P为线段 $A D$ 上一点， $C P$ 绕C点逆时针旋转得到 $C Q$ ，使 $∠ P C Q = α$ ，连接 $D Q$ ，当 $Q C + Q D$ 最小时，直接写出 $\frac{Q C}{Q D}$ 的值（用含m，n的式子表示）．

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