湖南省岳阳市汨罗市2022-2023学年八年级上学期学习能力检测试题数学

试卷更新日期：2023-04-10 类型：期末考试

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一、单选题（共8小题，每小题2分，共16分.）

1. 已知 $a = 2^{- 2}$ ， $b = {(π - 2)}^{0}$ ， $c = {(- 1)}^{3}$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系是（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > a > c$ C、 $c > a > b$ D、 $b > c > a$

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2. 某公司为尽快给医院供应一批医用防护服，原计划 $x$ 天生产 $1200$ 套防护服，由于采用新技术，每天增加生产 $30$ 套，因此提前 $2$ 天完成任务，列出方程为（）

A、 $\frac{1200}{x} = \frac{1200}{x - 2} - 30$ B、 $\frac{1200}{x} = \frac{1200}{x + 2} - 30$ C、 $\frac{1200}{x + 2} = \frac{1200}{x} - 30$ D、 $\frac{1200}{x - 2} = \frac{1200}{x} - 30$

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3. 估计 $\sqrt{3} \times (2 \sqrt{3} + \sqrt{5})$ 的值应在（）

A、10和11之间 B、9和10之间 C、8和9之间 D、7和8之间

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4. 如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝105°，则∠DAC的度数为（）

A、80° B、82° C、84° D、86°

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5. 如右图，已知AM是 $△ A B C$ 的中线，点P是AC边上一动点，若 $△ A B C$ 的面积为10， $A C = 4$ ，则MP的最小值为（）

A、5 B、4 C、2.5 D、1.25

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6. 当x分别取2022、2020、2018、…、4、2、0、 $\frac{1}{2}$ 、 $\frac{1}{4}$ 、…、 $\frac{1}{2018}$ 、 $\frac{1}{2020}$ 、 $\frac{1}{2022}$ 时，计算分式 $\frac{x - 1}{x + 1}$ 的值，再将所得的结果全部相加，则其和等于（）

A、 $- 1$ B、1 C、0 D、2022

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7. 若 $x$ 是整数，则使分式 $\frac{8 x + 2}{2 x - 1}$ 的值为整数的 $x$ 值有（）个.

A、2 B、3 C、4 D、5

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8. 不等式组 $\{\begin{array}{l} x - 1 \geq 0 \\ 4 - 2 x > 0 \end{array}$ 的解集在数轴上表示为（）

A、 B、 C、 D、

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二、多选题（共4小题，每小题4分，共16分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.）

9. 下列等式不成立的是（）

A、 $\sqrt{a^{2} + b^{2}} = a + b$ B、 $\sqrt{a b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ C、 $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ D、 $\sqrt{- a^{2} b^{2}} = 0$

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10. 如图，下列条件中，能证明 $△ A B C ≅ △ D C B$ 的是（　　）

A、 $A B = D C$ ， $A C = D B$ B、 $A B = D C$ ， $∠ A B C = ∠ D C B$ C、 $B O = C O$ ， $∠ A = ∠ D$ D、 $A B = D C$ ， $∠ A = ∠ D$

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11. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A D$ 是 $B C$ 边上的高， $∠ B A F = ∠ C A G = 90 °$ ， $A B = A F$ ， $A C = A G$ ，连接 $F G$ ，交 $D A$ 的延长线于点E，连接 $B G ， C F$ ，则下列结论：① $B G = C F$ ；② $B G ⊥ C F$ ③ $∠ E A F = ∠ A B C$ ；④ $E F = E G$ ，其中正确的有（）

A、① B、② C、③ D、④

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12. 下列命题：①一个凸多边形的内角中最多有三个锐角；②十边形的对角线有 $40$ 条；③带根号的数都是无理数；④全等三角形的对应中线相等．其中，真命题是（）

A、① B、② C、③ D、④

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三、填空题（共4小题，每小题4分，共16分）

13. 若关于x的分式方程 $\frac{x - a}{x - 1} - 1 = \frac{3}{x}$ 无解，则 $a =$ ．

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14. 若记 $[x]$ 表示任意实数的整数部分，例如： $[3.5] = 3$ ， $[\sqrt{5}] = 2$ ， …，则 $[\sqrt{1}] - [\sqrt{2}] + [\sqrt{3}] - [\sqrt{4}] + \cdot \cdot \cdot + [\sqrt{2021}] - [\sqrt{2022}]$ （其中“＋”“－”依次相间）的值为．

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15. 若不等式 $3 x - m \leq 0$ 的正整数解是1，2，3，则m的取值范围是．

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16. 如图，在 $△ A B C$ 中，延长CA至点F，使得 $A F = C A$ ，延长AB至点D，使得 $B D = 2 A B$ ，延长BC至点E，使得 $C E = 3 C B$ ，连接 $E F 、 F D 、 D E$ ，若 $S_{△ D E F} = 54$ ，则 $S_{△ A B C}$ 为.

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四、解答题（共6小题，共52分）

17. 已知 $a = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1}$ ，求 $a^{4} - 5 a^{3} + 6 a^{2} - 5 a + 4$ 的值．

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18. 设 $b$ 为正整数， $a$ 为实数，记 $M = a^{2} - 4 a b + 5 b^{2} + 2 a - 2 b + \frac{11}{4}$ ，在 $a$ ， $b$ 变动的情况下，求 $M$ 可能取得的最小整数值，并求出 $M$ 取得最小整数值时 $a$ ， $b$ 的值．

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19. 已知 $a b c = 1$ ， $a + b + c = 2$ ， $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 16$ ，求 $\frac{1}{a b + 3 c + 3} + \frac{1}{b c + 3 a + 3} + \frac{1}{c a + 3 b + 3}$ 的值．

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20. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A B ＝ A D ， ∠ B ＋ ∠ D ＝ 180 °$ ，点E，F分别是 $B C ， C D$ 上的点，且 $E F = B E + F D$ ，若 $∠ E A F ＝ 55 °$ ，求 $∠ B A D$ 的度数．

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21. 以诗育德，以诗启智，以诗怡情，以诗塑美，某中学开展诗歌创作比赛，积极营造诗韵书香学生生活．学校决定购买A，B两种笔记本奖励在此次创作比赛中的优秀学生，已知A种笔记本的单价比B种笔记本的单价便宜3元，已知用 $1800$ 元购买A种笔记本的数量是用 $1350$ 元购买B种笔记本的数量的2倍．

(1)、求A种笔记本的单价：

(2)、根据需要，学校准备购买A，B两种笔记本共 $100$ 本，其中购买A种笔记本的数量不超过B种笔记本的二倍，设购买A种笔记本m本，试求学校所需的最少经费．

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22. 已知 $△ A B C$ 中，

(1)、如图1，点E为 $B C$ 的中点，连接 $A E$ 并延长到点F，使 $F E = E A$ ，则 $B F$ 与 $A C$ 的数量关系是．

(2)、如图2，若 $A B = A C$ ，点E为边 $A C$ 上一点，过点C作 $B C$ 的垂线交 $B C$ 的延长线于点D，连接 $A D$ ，若 $∠ D A C = ∠ A B D$ ，求证： $A E = E C$ ．

(3)、如图3，点D在 $△ A B C$ 内部，且满足 $A D = B C ， ∠ B A D = ∠ D C B$ ，点M在 $D C$ 的延长线上，连接 $A M$ 交 $B D$ 的延长线于点N，若点N为 $A M$ 的中点，求证： $D M = A B$ ．

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